তাপগতিবিদ্যার দ্বিতীয় সূত্র

1. প্রত্যাবর্তিতা, অপ্রত্যাবর্তিতা ও সময়ের তির

পাঠ 5-এ জুল—গে-লুসাক প্রসারণের পরিচয় দেওয়া হয়েছিল। মনে করুন, এটি শূন্যস্থানে গ্যাসের প্রসারণ। প্রথমে গ্যাসটি একটি দৃঢ়, তাপরোধী পাত্রের $v$ আয়তনের অংশে আবদ্ধ থাকে; পাত্রের বাকি অংশ শূন্য এবং মোট আয়তন $V$। আটকানোর দেয়াল সরালে গ্যাস স্বতঃস্ফূর্তভাবে গোটা পাত্রে ছড়িয়ে পড়ে এবং নতুন সাম্য প্রতিষ্ঠিত হয়।

প্রথম সূত্র এই প্রক্রিয়া অনুমোদন তো করেই, শক্তির দিক থেকেও প্রক্রিয়াটি অত্যন্ত সরল। যেমন দেখেছি, প্রসারণের সময় শূন্যস্থানের বিরুদ্ধে কোনো কাজ হয় না, তাই $W=0$; দেয়াল তাপরোধী, তাই $Q=0$। প্রথম সূত্র থেকে সিদ্ধান্ত:

ফলে এই শক্তির হিসাব বিপরীত প্রক্রিয়াকে নিষিদ্ধ করে না। অথচ দৈনন্দিন অভিজ্ঞতা বলে, আমাদের মাপে তা কখনো ঘটে না: ঘরের বাতাসকে স্বতঃস্ফূর্তভাবে এক কোণে জমে বাকি ঘর শূন্য করতে দেখা যায় না। এই ধরনের আরও বহু ঘটনা খুবই সাধারণ। রান্না করা ডিম, যত ধীরেই রান্না হোক, নিজে থেকে কাঁচা হয় না। তাপ স্বতঃস্ফূর্তভাবে উষ্ণ বস্তু থেকে শীতল বস্তুতে যায়, কখনো উল্টো দিকে নয়, ইত্যাদি।

এসব অভিজ্ঞতা দেখায়, তন্ত্রের তাপগতীয় বিবর্তনের একটি বিশেষ, অগ্রাধিকারপ্রাপ্ত দিক আছে, যা প্রথম সূত্র একা ধরতে পারে না। দ্বিতীয় সূত্রে পৌঁছাতে প্রথমে বিপরীত প্রক্রিয়া সম্ভব কি না ভাবি। বিপরীত প্রক্রিয়া সম্ভব হলে মূল প্রক্রিয়াকে প্রত্যাবর্তী বলা হয়; নইলে অপ্রত্যাবর্তী।

জুল—গে-লুসাক প্রসারণ কি প্রত্যাবর্তী? দৈনন্দিন ভাষায় এর অর্থ মনে হতে পারে, গ্যাসকে প্রাথমিক অবস্থায় ফেরানো সম্ভব কি না। সেক্ষেত্রে উত্তর অবশ্যই হ্যাঁ। গ্যাসকে $v$ আয়তনে সংকুচিত করে প্রাথমিক তাপমাত্রায় ফেরার অপেক্ষা করলেই এবং দেয়াল পুনঃস্থাপন করলেই চলে। কিন্তু বোঝা জরুরি, এতে আমরা শুধু তন্ত্রের দৃষ্টিতে প্রক্রিয়াটি উল্টেছি। এই পদ্ধতি গোটা “বিশ্ব”, অর্থাৎ তন্ত্র ও তার পরিবেশের জন্য প্রসারণের বিপরীত নয়।

এখানে আদর্শ ধরে নেওয়া গ্যাসকে সংকুচিত করতে পরিবেশকে কাজ সরবরাহ করতে হয়। ধরা যাক, সংকোচন স্থির তাপমাত্রায় করা হলো; তখন গ্যাস সেই শক্তি তাপ হিসেবে ছেড়ে দেয়। শেষে গ্যাস প্রাথমিক অবস্থায় ফিরলেও পরিবেশ কাজ হারিয়েছে এবং বদলে তাপ পেয়েছে: তন্ত্রকে পুনঃস্থাপন করতে বাইরের জগতের অবস্থা বদলেছে।

পার্থক্যটি সূক্ষ্ম, কিন্তু অপরিহার্য। একটি অপ্রত্যাবর্তী প্রক্রিয়া উল্টে দিতে চাইলে তন্ত্র নিজে $A \to B$ প্রক্রিয়ার স্মৃতি হারায়, কারণ সে $A$ অবস্থায় ফিরেছে। কিন্তু পরিবেশে তার চিহ্ন, বা বলা যায় স্মৃতি, থেকে যায়। প্রতীকীভাবে:

যেখানে $\textrm{Ext}_C \neq \textrm{Ext}_A$। অপ্রত্যাবর্তী প্রক্রিয়ার বৈশিষ্ট্য হলো, তাকে সম্পূর্ণ মুছে দেওয়া যায় না। পরিবেশে রাখা চিহ্ন মুছতে গেলে কেবল অন্য তন্ত্রে সেটি স্থানান্তরিত করা যায়, এবং এভাবেই চলতে থাকে।

ভৌত স্মৃতি আসলে কোনো তন্ত্রে অতীত ঘটনার উপস্থিত চিহ্ন। সব সংরক্ষণযন্ত্রই ভৌত তন্ত্র, যাদের বর্তমান অবস্থা আগে কী ঘটেছে তার উপর নির্ভর করে। আমাদের স্মৃতিও মস্তিষ্কের বিশেষ অবস্থার উপর নির্ভরশীল, যা পূর্ববর্তী ঘটনার সঙ্গে সম্পর্কিত। ভবিষ্যৎ অবস্থা অতীত অবস্থার স্মৃতি বহন করে, অথচ অতীত অবস্থা ভবিষ্যতের স্মৃতি বহন করে না। অর্থাৎ সময়ের তির ও স্মৃতি গঠনের সম্ভাবনা যেন একই বিষয় নির্দেশ করে।¹

এই সুনির্দিষ্ট অর্থেই তাপগতিবিদ্যা অপ্রত্যাবর্তী, অমোচনীয় প্রক্রিয়ার মডেল দিয়ে তাপগতীয় সময়ের তির ধারণাটি আনে।

মনোযোগী পাঠক নিশ্চয়ই লক্ষ করেছেন, আমরা শূন্যস্থানে প্রসারণের অপ্রত্যাবর্তিতা প্রমাণ করিনি। আমরা দেখিয়েছি তন্ত্র ও পরিবেশ পুনঃস্থাপনের একটি বিশেষ প্রচেষ্টা ব্যর্থ হয়। সব কল্পনাযোগ্য প্রক্রিয়াতেই তা হবে বলা অনেক শক্তিশালী সর্বজনীন দাবি, যার জন্য নতুন হাতিয়ার দরকার। দ্বিতীয় সূত্র সেই ভূমিকা নেবে। এটি এনট্রপি নামে নতুন রাশি আনে, যা দেখাতে পারে কোথাও পরিবর্তন ঘটেছে এবং অন্যত্র না সরিয়ে তাকে মোছা যায় না।

2. প্রত্যাবর্তী প্রক্রিয়া

দ্বিতীয় সূত্রে পৌঁছাতে এবার এর পরিপূরক হিসেবে তাপগতীয় প্রক্রিয়ার একটি বিশেষ শ্রেণি আনি। নিচের সংজ্ঞা আগের আলোচনার সারবস্তু প্রকাশ করে।

তাই শুধু তন্ত্রের প্রাথমিক ও চূড়ান্ত অবস্থা দিয়ে প্রত্যাবর্তিতা নির্ধারণ করা যায় না: পরিবেশে কী পরিবর্তন হয়েছে তাও জানতে হবে।

সংজ্ঞাটি সামগ্রিক। এতে তন্ত্র এবং প্রক্রিয়ায় অংশ নেওয়া সবকিছুর উপর ফলাফল বিবেচিত হয়, কিন্তু পথ নির্দিষ্ট হয় না। শুধু জানতে চাওয়া হয়, প্রক্রিয়ার প্রতিটি চিহ্ন মোছা সম্ভব কি না। বিশেষত ফেরত প্রক্রিয়াকে মূল প্রক্রিয়ার ঠিক একই পথ বিপরীত দিকে অনুসরণ করতে হবে, এমন শর্ত নেই।

এখানকার সংজ্ঞা অধিকাংশ পাঠ্যপুস্তকের সংজ্ঞা থেকে আলাদা। সেই কারণেই “সামগ্রিক” বিশেষণ যোগ করা হয়েছে। প্রচলিত উপস্থাপনায় প্রায়ই দুটি আলাদা ধারণা একই শব্দে মেশানো হয়: একদিকে তন্ত্র ও পরিবেশের পুনঃস্থাপন, অন্যদিকে একই পথ বিপরীতে চলার সম্ভাবনা। যেমন চেঙ্গেল ও বোলসের পাঠ্যবইয়ে ^[5]। অন্য উপস্থাপনায় দ্বিতীয় বৈশিষ্ট্যটিই প্রাধান্য পায়; যেমন অ্যাটকিন্স ও ডি পাওলার পাঠ্যবই ^[6]। আমাদের মনে হয়, দুটি স্পষ্টভাবে আলাদা করা জরুরি। লিব ও ইংভাসন তাঁদের তাপগতিবিদ্যার স্বীকার্যভিত্তিক পুনর্গঠনে আমাদের অনুরূপ ভাবনার, যদিও ভিন্ন, একটি পদ্ধতি দিয়েছেন ^[7]।

তাই পরিপূরক হিসেবে নিচের সংজ্ঞা নেব।

তখন মূল পথ পুনরায় অনুসরণ করা যায়: প্রতিটি অসীম ক্ষুদ্র ধাপ উল্টে দিয়ে উল্টো ধাপগুলি বিপরীত ক্রমে জোড়া যায়। তাই সরাসরি প্রক্রিয়া যদি এই ক্রম অনুসরণ করে,

তবে বিপরীত প্রক্রিয়া ঠিক একই ক্রম বিপরীত দিকে অনুসরণ করতে পারে। প্রতি ধাপে তাপীয় ও যান্ত্রিক বিনিময়ের চিহ্ন বদলে যায়। বিপরীত প্রক্রিয়া যেন মূল প্রক্রিয়ার চলচ্চিত্র উল্টো চালানো।

নির্মাণ অনুসারেই স্থানীয় প্রত্যাবর্তিতা থেকে সামগ্রিক প্রত্যাবর্তিতা আসে। বিপরীত দাবিটি আগে থেকে সত্য নয়, কারণ সামগ্রিক পুনঃস্থাপন অন্য পথেও হতে পারে। শূন্যস্থানে প্রসারণ কোয়াসি-স্থিতিশীল নয়, তাই স্থানীয়ভাবে প্রত্যাবর্তী হতে পারে না; কিন্তু এতে এখনও তার সামগ্রিক অপ্রত্যাবর্তিতা প্রমাণিত হয় না।

এই পার্থক্য কেন আনছি, যা তাপগতিবিদ্যার পাঠে সব সময় স্পষ্ট করা হয় না? অভিজ্ঞতায় দেখা যায়, নতুন শিক্ষার্থীর কাছে প্রত্যাবর্তিতা অত্যন্ত কঠিন ধারণা। বিশেষত সামগ্রিক ও স্থানীয় স্বজ্ঞা মিশে গেলে বড় সমস্যা হয়। ফলে শিক্ষার্থী প্রায়ই প্রত্যাবর্তিতার সংজ্ঞা ও প্রত্যাবর্তিতার ভৌত শর্তগুলি গুলিয়ে ফেলে; দ্বিতীয়টি হলো সেই ব্যবহারিক অনুমানগুলি, যার অধীনে বাস্তব তাপগতীয় প্রক্রিয়াকে প্রত্যাবর্তী ধরা যায়।

শর্তগুলি বিচার করি। প্রথমত, প্রক্রিয়ার ধীরতা যথেষ্ট নয়। দুটি বস্তুর মধ্যে খুব কম পরিবাহী দেয়াল বসিয়ে তাপ সঞ্চালন ইচ্ছামতো ধীর করা যায়। তাপমাত্রায় সসীম পার্থক্য থাকলে তাপ সঞ্চালন অপ্রত্যাবর্তীই থাকে।

স্থানীয় প্রত্যাবর্তিতার জন্য প্রয়োজনীয় কোয়াসি-স্থিতিশীল বৈশিষ্ট্যও যথেষ্ট নয়। ঘর্ষণযুক্ত পিস্টন দিয়ে খুব ধীরে গ্যাস সংকুচিত করা হোক। গ্যাস প্রতি মুহূর্তে যান্ত্রিক সাম্যের ইচ্ছামতো কাছে থাকতে পারে। তবু সরবরাহ করা কাজের কিছু অংশ ঘর্ষণে তাপে রূপান্তরিত হয়। পরে গ্যাসকে প্রাথমিক অবস্থায় ফেরালেও পরিবেশের কোথাও সেই তাপ থাকে: প্রক্রিয়া চিহ্ন রেখে গেছে।

ঘর্ষণ অপ্রত্যাবর্তিতার বহু কারণের একটি মাত্র। তাই প্রায়ই “অপচয়হীন কোয়াসি-স্থিতিশীল প্রক্রিয়া” বলা হয়। বিস্তৃত অর্থে এতে তন্ত্র সাম্যাবস্থার ক্রম দিয়ে যায় এবং চাপ, তাপমাত্রা বা রাসায়নিক বিভবের অসীম ক্ষুদ্র পার্থক্য দিয়ে প্রক্রিয়া চালানো হয়, ঘর্ষণ, সান্দ্রতা বা হিস্টেরেসিস ছাড়াই। তাপগতিবিদ্যার প্রচলিত কাঠামোয় এসব শর্ত স্থানীয়ভাবে প্রত্যাবর্তী প্রক্রিয়া নির্মাণ করতে দেয়। এগুলি বাস্তবায়নের শর্ত, প্রত্যাবর্তিতার সাধারণ সংজ্ঞা নয়।

এভাবে নির্মিত স্থানীয়ভাবে প্রত্যাবর্তী প্রক্রিয়াগুলি আদর্শ সীমা। পরীক্ষার যন্ত্রপাতি যতটা দেয়, বাস্তব প্রক্রিয়া ততটা কাছে যেতে পারে; কিন্তু চাপ, তাপমাত্রা বা রাসায়নিক বিভবের যেকোনো সসীম পার্থক্য এবং সব অপচয়মূলক ঘটনা অবশিষ্ট অপ্রত্যাবর্তিতা সৃষ্টি করে।

3. নতুন একটি অবস্থা অপেক্ষকের দিকে

প্রত্যাবর্তিতার সামগ্রিক সংজ্ঞার আরেক সুবিধা হলো, তা একটি কাঠামোগত অসুবিধা এবং তার সমাধানের পথ একসঙ্গে তুলে ধরে।

অসুবিধাটি এই: প্রক্রিয়া প্রত্যাবর্তী প্রমাণ করতে তন্ত্র ও পরিবেশ সম্পূর্ণ পুনঃস্থাপনকারী একটি ফেরত প্রক্রিয়া পেলেই চলে। অপ্রত্যাবর্তী প্রমাণ করতে দেখাতে হয়, এমন কোনো প্রক্রিয়াই নেই; তা অনেক কঠিন।

এ থেকে সমাধান বোঝা যায়। সামগ্রিক সংজ্ঞা কীভাবে ফিরতে হবে তা জানতে চায় না, শুধু সম্পূর্ণ তন্ত্র $\mathcal S+\textrm{Ext}$-এর প্রাথমিক ও চূড়ান্ত অবস্থা যুক্ত করা সম্ভব কি না বিবেচনা করে। তাই এমন অবস্থা অপেক্ষক খুব উপযোগী হবে, যার পরিবর্তনের চিহ্ন সব সম্ভব প্রক্রিয়ায় নির্ধারিত। সেটি সঙ্গে সঙ্গে জানাবে বিপরীত প্রক্রিয়া সম্ভব কি না। ধরা যাক, আমাদের যোগধর্মী অবস্থা অপেক্ষক $S$ আছে, যা সব সম্ভব প্রক্রিয়ার জন্য এই মানদণ্ড মেনে চলে:

তাহলে:

বিশেষত কোনো প্রক্রিয়া $A \to B$-তে $\Delta S_{\mathrm{tot}}>0$ হলে, সম্পূর্ণ তন্ত্রের প্রাথমিক অবস্থা ফেরানোর প্রক্রিয়ায় বিপরীত পরিবর্তন লাগবে, কারণ $S$ অবস্থা অপেক্ষক। তাই হবে $\Delta S_{\mathrm{tot}}^{B\to A} < 0$, যা দেখায় ফেরত প্রক্রিয়াটি অসম্ভব। অনুচ্ছেদ 9 অন্য নিহিতার্থগুলি প্রতিষ্ঠা করে উপরের সম্পূর্ণ বৈশিষ্ট্যায়ন সমর্থন করবে। দ্বিতীয় সূত্র এভাবেই কাজ করবে। $S$ রাশির নাম এনট্রপি। মোট এনট্রপি না কমাই দ্বিতীয় সূত্রের এনট্রপিভিত্তিক রূপ।

তত্ত্ব নির্মাণের দুটি পথ আছে। প্রথমে সরাসরি এনট্রপির অস্তিত্ব ও বৃদ্ধির নীতি স্বীকার করে, তার ভিত্তিতে প্রত্যাবর্তী ও অপ্রত্যাবর্তী প্রক্রিয়া চিহ্নিত করা যায়। ক্যালেনের বইয়ে এই স্বীকার্যভিত্তিক পদ্ধতি বিশেষভাবে বিকশিত ^[8]। দ্বিতীয়, অধিক ঐতিহাসিক পথটি তাপ ইঞ্জিন থেকে কার্নো ও ক্লসিয়াসের উপপাদ্য হয়ে এনট্রপিতে পৌঁছায়। এখানে আমরা সেটিই অনুসরণ করব।

4. দ্বিতীয় সূত্র: প্রয়োগভিত্তিক বিবৃতি

এর পরের তাপ ইঞ্জিনের সব আলোচনায় কার্যকরী প্রবাহী একটি বদ্ধ তন্ত্র: পরিবেশের সঙ্গে পদার্থ বিনিময় করে না। এটি বদ্ধ চক্র সম্পন্ন করে, অর্থাৎ প্রতি চক্র শেষে প্রাথমিক তাপগতীয় অবস্থায় ফেরে। ফলে এক চক্রে অভ্যন্তরীণ শক্তির পরিবর্তন শূন্য, $\Delta U=0$, যদিও পরিবেশের সঙ্গে তাপ ও কাজ বিনিময় হয়েছে।

এই পাঠ শুরু করেছি তাপ স্বতঃস্ফূর্তভাবে উষ্ণ থেকে শীতলের দিকে যায়, উল্টো দিকে কখনো নয়, এই পর্যবেক্ষণ দিয়ে। 1850 সালে ক্লসিয়াস একে সাধারণতর নীতিতে রূপ দেন: উষ্ণ ও শীতল তাপাধারের মধ্যে এমন তাপগতীয় তন্ত্র বসানো অসম্ভব, যার একমাত্র ফল এই স্বতঃস্ফূর্ত সঞ্চালন উল্টানো।

একমাত্র ফল কথাটি অপরিহার্য। রেফ্রিজারেটর শীতল থেকে উষ্ণে তাপ সরায় বটে, কিন্তু বাইরের কাজ গ্রহণ করে। প্রথম সূত্র থেকে এই বিবৃতি পাওয়া যায় না। এটি নতুন ভৌত নীতি, যাকে আমরা এনট্রপির অস্তিত্ব ও ধর্মের সমতুল্য দেখাব। এই নির্মাণে আরেকটি রূপ লাগবে, যা কেলভিন 1851 সালে প্রস্তাব করেন এবং প্লাঙ্ক পরে আরও নির্দিষ্ট করেন।

প্রথম পাঠে এই বিবৃতি দেখেছি। এটিই নিখুঁত শীতাতপনিয়ন্ত্রক নিষিদ্ধ করে, যা আপনার ঘর থেকে তাপ নিয়ে ঠান্ডা করবে এবং সেই তাপশক্তি সম্পূর্ণ উপযোগী কাজে বদলাবে।

দুটি বিবৃতি নিচের উপপাদ্য দ্বারা সম্পর্কিত।

প্রমাণ.

প্রথমে ধরি কেলভিনের বিবৃতি মিথ্যা। তাহলে একটি যন্ত্র $\mathcal M$ এক চক্রে উষ্ণ তাপাধার থেকে তাপ $Q_{\mathcal M}>0$ নিয়ে কাজ $W_{\mathcal M}=-Q_{\mathcal M}<0$ দেবে। সমস্ত কাজ দিয়ে সাধারণ রেফ্রিজারেটর $\mathcal M'$ চালাই। যন্ত্রদুটি এমনভাবে সমন্বয় করি যাতে $W_{\mathcal M'}=-W_{\mathcal M}>0$।

রেফ্রিজারেটর শীতল তাপাধার থেকে তাপ $Q_{{\rm C},\mathcal M'}>0$ নেয় এবং উষ্ণ তাপাধারে তাপ $Q_{{\rm H},\mathcal M'}<0$ দেয়। তার চক্রে প্রথম সূত্র প্রয়োগে $$Q_{{\rm C},\mathcal M'} +Q_{{\rm H},\mathcal M'} +W_{\mathcal M'}=0.$$

যন্ত্রদুটি একত্র করলে তাদের কাজ পরস্পর বাতিল হয়। তাই উষ্ণ তাপাধার থেকে সমগ্রের গৃহীত তাপের হিসাব

$$Q_{\mathcal M}+Q_{{\rm H},\mathcal M'} =-Q_{{\rm C},\mathcal M'}<0.$$

সমগ্রের একমাত্র ফল শীতল তাপাধার থেকে তাপ নিয়ে উষ্ণ তাপাধারে দেওয়া। ক্লসিয়াস বিবৃতি লঙ্ঘিত হয়।

উল্টোভাবে ধরি ক্লসিয়াস বিবৃতি মিথ্যা। এমন যন্ত্র $\mathcal M'$ থাকবে যা কোনো কাজ না নিয়ে শীতল তাপাধার থেকে তাপ $Q_{{\rm C},\mathcal M'}>0$ তুলে সমপরিমাণ উষ্ণ তাপাধারে দেয়। একই তাপাধারদ্বয়ের মধ্যে চলা সাধারণ ইঞ্জিন $\mathcal M$-এর সঙ্গে সেটি যুক্ত করি। যন্ত্রগুলি এমনভাবে সমন্বয় করি যাতে ইঞ্জিন শীতল তাপাধারে যত তাপ দেয়, ঠিক ততটাই $\mathcal M'$ তুলে নেয়:

$$Q_{{\rm C},\mathcal M}+Q_{{\rm C},\mathcal M'}=0.$$

শীতল তাপাধারের সঙ্গে নিট বিনিময় শূন্য। প্রথম সূত্র তখন বলে, উষ্ণ তাপাধার থেকে নেওয়া নিট তাপের মান ইঞ্জিনের দেওয়া কাজের পরম মানের সমান। সমগ্রটি তাই একটিমাত্র তাপাধার থেকে নেওয়া তাপ কাজে রূপান্তর করবে। কেলভিন বিবৃতি লঙ্ঘিত হবে।

□

এই বিবৃতিগুলি দিয়ে তাপ ইঞ্জিনের দক্ষতা সম্পর্কে কার্নোর উপপাদ্য, তারপর ক্লসিয়াস অসমতা প্রতিষ্ঠা করব; সেই অসমতা থেকেই এনট্রপি নির্মাণ করব।

5. কার্নোর উপপাদ্যসমূহ

প্রথম পাঠে তাপগতিবিদ্যাকে অধিক দক্ষ তাপ ইঞ্জিন খোঁজার প্রচেষ্টা থেকে জন্ম নেওয়া তত্ত্ব বলেছি। মূল প্রশ্ন ছিল, ইঞ্জিনের দক্ষতার এমন মৌলিক সীমা আছে কি না, যা নির্মাণের বিশেষ প্রযুক্তিগত অসুবিধা থেকে স্বাধীন। এখন নির্দিষ্ট উত্তর দিতে পারি। প্রথম পাঠে নিচের প্রমাণগুলি এড়ানো যায়: আগে কার্নোর উপপাদ্য $\to$ ক্লসিয়াস অসমতা $\to$ এনট্রপি নির্মাণের ধারাটি বোঝা বেশি জরুরি। পরে প্রমাণে ফেরা যাবে।

প্রথমে দ্বিতাপীয় যন্ত্র ধরি, যা শুধু দুটি তাপাধারের মধ্যে চলে: $T_{\rm H}$ তাপমাত্রায় উষ্ণ তাপাধার এবং $T_{\rm C}<T_{\rm H}$ তাপমাত্রায় শীতল তাপাধার। ইঞ্জিন হিসেবে যন্ত্র উষ্ণ তাপাধার থেকে তাপ $Q_{\rm H}>0$ এবং শীতল তাপাধার থেকে তাপ $Q_{\rm C}<0$ গ্রহণ করে। অর্থাৎ শীতল তাপাধারে $\lvert Q_{\rm C}\rvert$ পরিমাণ তাপ ছাড়ে। সে কাজ $W<0$-ও গ্রহণ করে, অর্থাৎ পরিবেশে কাজ $\lvert W\rvert$ দেয়। প্রথম সূত্রে $Q_{\rm H}+Q_{\rm C}+W=0$।

ইঞ্জিনগুলির কার্যকারিতা তুলনা করতে দক্ষতা প্রবর্তন করি।

5.1. সর্বোচ্চ দক্ষতা

প্রমাণ.

দুই যন্ত্রই ইঞ্জিন হিসেবে চলে, তাই দক্ষতা কঠোরভাবে ধনাত্মক। বিরোধের জন্য ধরি $\eta_{\mathcal M}>\eta_{\mathcal M'}$। $\mathcal M$-কে ইঞ্জিন হিসেবে চালাই। $\mathcal M'$ স্থানীয়ভাবে প্রত্যাবর্তী বলে তার চক্র উল্টো চালানো যায়: সব তাপ ও কাজ বিনিময়ের চিহ্ন বদলাবে, পরম মান একই থাকবে। তাই $(\mathcal M')^{-1}$ কাজ নিয়ে শীতল তাপাধার থেকে তাপ তুলে উষ্ণ তাপাধারে দেয়: এটি রেফ্রিজারেটর। এমন সমন্বয় করি যাতে $\mathcal M$-এর দেওয়া কাজ ঠিক $(\mathcal M')^{-1}$ গ্রহণ করে। এই কার্যগুলির সাধারণ পরম মান $\lvert W\rvert$ লিখি।

যন্ত্র $\mathcal M$ উষ্ণ তাপাধার থেকে তাপ $Q_{{\rm H},\mathcal M}=\lvert W\rvert/\eta_{\mathcal M}$ নেয়। ইঞ্জিন হিসেবে $\mathcal M'$ একই তাপাধার থেকে $\lvert W\rvert/\eta_{\mathcal M'}$ নিত। তাই বিপরীত চক্রে তার সঙ্গে বীজগাণিতিক তাপ বিনিময় $Q_{{\rm H},(\mathcal M')^{-1}}=-\lvert W\rvert/\eta_{\mathcal M'}$। দক্ষতা সম্পর্কে অনুমান থেকে $$Q_{{\rm H},\mathcal M} +Q_{{\rm H},(\mathcal M')^{-1}} = \lvert W\rvert \left(\frac{1}{\eta_{\mathcal M}} -\frac{1}{\eta_{\mathcal M'}}\right) <0.$$

অর্থাৎ সমান কাজের জন্য অধিক দক্ষ বলে ধরা ইঞ্জিন $\mathcal M$ উষ্ণ তাপাধার থেকে যত তাপ নেয়, $\mathcal M'$-এর বিপরীত চক্র তার চেয়ে বেশি ফেরায়। উষ্ণ তাপাধার তাই নিট তাপ পায়। দুই যন্ত্রের কাজ বাতিল হয় এবং দুই কার্যকরী প্রবাহী প্রাথমিক অবস্থায় ফেরে। শক্তি সংরক্ষণ অনুসারে উষ্ণ তাপাধারের পাওয়া সমস্ত তাপ শীতল তাপাধার থেকে এসেছে। সমগ্রের একমাত্র ফল হবে কাজ না দিয়েই শীতল থেকে উষ্ণে তাপ সঞ্চালন। এটি ক্লসিয়াস বিবৃতির বিরোধী।

তাই প্রাথমিক অনুমান অসম্ভব এবং $\eta_{\mathcal M}\leq\eta_{\mathcal M'}$।

এবার সমতার ক্ষেত্র ধরি: $\eta_{\mathcal M}=\eta_{\mathcal M'}$। একই সংযোগ ও সমন্বয় রাখলে কাজ ও তাপ বিনিময় এবার হুবহু বাতিল হয়। অর্থাৎ $\mathcal M$-এর চক্র সামগ্রিকভাবে প্রত্যাবর্তী।

বোঝার জন্য কাজদুটি পরপর ভাবি। প্রথমে $\mathcal M$ ইঞ্জিন হিসেবে চলে: সে প্রাথমিক অবস্থায় ফেরে, কিন্তু দুই তাপাধার ও কাজের উৎস বদলায়। তারপর $\mathcal M$ স্থির রেখে $\mathcal M'$ উল্টো চালাই, আগে সংগৃহীত কাজ দিয়ে। দ্বিতীয় কাজ দুই তাপাধার ও কাজের উৎসের পরিবর্তন হুবহু বাতিল করে। সহায়ক যন্ত্র $\mathcal M'$-ও চক্র সম্পন্ন করে প্রাথমিক অবস্থায় ফেরে।

দুটি কাজ শেষে তন্ত্র $\mathcal M$ এবং সহায়ক যন্ত্রসহ তার গোটা পরিবেশ প্রাথমিক অবস্থায় ফিরেছে। সামগ্রিক প্রত্যাবর্তিতার সংজ্ঞা ঠিক এই ফেরতই চায়। তাই দক্ষতার সমতা থেকে $\mathcal M$-এর চক্রের সামগ্রিক প্রত্যাবর্তিতা আসে। প্রতিন্যাসে, চক্রটি সামগ্রিকভাবে অপ্রত্যাবর্তী হলে সমতা বাদ যায় এবং $\eta_{\mathcal M}<\eta_{\mathcal M'}$।

তবে এই যুক্তি $\mathcal M$-এর চক্রের স্থানীয় প্রত্যাবর্তিতা প্রমাণ করে না। $\mathcal M$-কে নিজের অবস্থাগুলি বিপরীত ক্রমে পার করানো ছাড়াই অন্য যন্ত্র দিয়ে পরিবেশে তার প্রভাব মুছেছি। এই পাঠের সংজ্ঞা অনুযায়ী কঠোর অসমতা তাই সামগ্রিকভাবে অপ্রত্যাবর্তী চক্রের জন্য প্রতিষ্ঠিত। চক্র কেবল স্থানীয়ভাবে প্রত্যাবর্তী নয় বলেই এই পর্যায়ে তার দক্ষতা কঠোরভাবে কম বলা যায় না। □

মন্তব্য: পরম তাপমাত্রার স্কেল।

দ্বিতীয় উপপাদ্য স্থানীয়ভাবে প্রত্যাবর্তী যন্ত্রের অনুপাত $Q_{\rm H}/\lvert Q_{\rm C}\rvert$-কে সর্বজনীন করে। তাই কার্যকরী প্রবাহী থেকে স্বাধীন পরম তাপমাত্রা সংজ্ঞায়িত করা যায়: এটিই কেলভিন স্কেল (বিস্তারিত অনুচ্ছেদ 11.1-এ)।

সর্বজনীন দক্ষতা গণনা করতে একটি বিশেষ ক্ষেত্রে গণনা করাই যথেষ্ট।

5.2. আদর্শ গ্যাসের কার্নো চক্র

এই চক্রে আদর্শ গ্যাস ব্যবহৃত হয়; দুটি সমতাপ প্রক্রিয়া দুটি রুদ্ধতাপীয় প্রক্রিয়া দিয়ে যুক্ত, সবই স্থানীয়ভাবে প্রত্যাবর্তী। চার শীর্ষ $A$, $B$, $C$ ও $D$ লিখি:

6. ক্লসিয়াস অসমতা

কার্নোর উপপাদ্য দ্বিতাপীয় ইঞ্জিনের দক্ষতার সীমা দেয়। এবার তা থেকে চক্রের তাপ বিনিময়ের একটি বিধিনিষেধ, ক্লসিয়াস অসমতা, বার করব; এটি এনট্রপি প্রবর্তনের দিকে নিয়ে যাবে। যেকোনো দ্বিতাপীয় ইঞ্জিনের জন্য কার্নোর প্রথম উপপাদ্য দেয়

সেখান থেকে

এবং $Q_{\rm C}<0$ বলে,

এটিই দ্বিতাপীয় যন্ত্রের ক্লসিয়াস অসমতা। যেকোনো সসীম সংখ্যক তাপাধারের জন্য এর সাধারণীকরণ হয়:

এর প্রমাণ অনুচ্ছেদ 11.2-এ দেওয়া হয়েছে।

7. এনট্রপির নির্মাণ

এবার ধরি, যে বাহ্যিক তাপমাত্রায় যন্ত্র তাপ বিনিময় করে তা চক্রে অবিচ্ছিন্নভাবে বদলায়। তাপাধারের অবিচ্ছিন্ন পরিবার দিয়ে বিনিময়গুলিকে আদর্শায়িত করি এবং সসীম সংখ্যক তাপাধারের ফলের সীমায় যাওয়া মেনে নিই। চক্রকে এমন ছোট অংশে ভাগ করা যায় যাতে প্রতি বিনিময় প্রায় স্থির বাহ্যিক তাপমাত্রায় হয়। অবিচ্ছিন্ন সীমায় যোগফল গোটা চক্রের উপর সমাকলন হয়:

এখানে $\oint$ চিহ্নের বৃত্ত মনে করায়, তন্ত্র প্রাথমিক অবস্থায় ফিরে আসে। চক্র স্থানীয়ভাবে প্রত্যাবর্তী হলে তন্ত্র সাম্যাবস্থার ক্রম দিয়ে যায় এবং প্রতি মুহূর্তে তার তাপমাত্রা $T$, যা বাহ্যিক তাপমাত্রা থেকে কেবল অসীম ক্ষুদ্র পরিমাণে আলাদা। তখন $T = T_{\rm ext}$ ধরা যায় এবং প্রতিটি স্থানীয়ভাবে প্রত্যাবর্তী চক্রের জন্য পাই:

সূত্রদুটি স্পষ্টভাবে আলাদা করুন: প্রথমটি যেকোনো চক্রের, যেখানে প্রকৃত বিনিময় করা তাপ $\delta Q$ এবং বাহ্যিক তাপমাত্রা $T_{\rm ext}$ আছে। দ্বিতীয়টি স্থানীয়ভাবে প্রত্যাবর্তী চক্রের: $\delta Q_{\rm rev}$ সেই পথের বিনিময় করা তাপ এবং $T$ তন্ত্রের তাপমাত্রা, যা প্রত্যাবর্তী সীমায় $T_{\rm ext}$-এর সমান।

এই সমতা সব স্থানীয়ভাবে প্রত্যাবর্তী চক্রে সত্য। দেখাই, এটি পথ থেকে স্বাধীনতা দেয়, ফলে অবস্থা অপেক্ষক সংজ্ঞায়িত হয়। তন্ত্রের দুটি সাম্যাবস্থা $A$ ও $B$ এবং তাদের যুক্ত করা দুটি স্থানীয়ভাবে প্রত্যাবর্তী পথ $\mathcal C_1$ ও $\mathcal C_2$ ধরি। $\mathcal C_1$-এর পর $\mathcal C_2$ উল্টো চললে স্থানীয়ভাবে প্রত্যাবর্তী চক্র হয়। আগের সমতা তখন দেয়

তাই $A$ থেকে $B$ পর্যন্ত $\delta Q_{\rm rev}/T$-এর সমাকলন নির্বাচিত স্থানীয়ভাবে প্রত্যাবর্তী পথের উপর নির্ভর করে না। শুধু প্রাথমিক ও চূড়ান্ত অবস্থার উপর নির্ভর করে। বিবেচ্য অঞ্চলে অন্তরক রূপ $\delta Q_{\rm rev}/T$ তাই পূর্ণ: এটি একটি অবস্থা অপেক্ষকের অন্তরক, যার নাম এনট্রপি। পাই:

বিনিময় করা তাপ $\delta Q_{\rm rev}$-এর নিচের “rev” সূচক অত্যন্ত জরুরি। যেকোনো তন্ত্রের গৃহীত যেকোনো তাপের জন্য $dS=\delta Q/T$ লেখা ভুল। শুধু প্রত্যাবর্তী সঞ্চালনে এটি সত্য।

8. এনট্রপির ধর্ম

একক

আগের সমীকরণগুলি এনট্রপির একক নির্ধারণ করে: জুল প্রতি কেলভিন।

যোগধর্মিতা ও ব্যাপকতা

পাঠ 4-এ শক্তির মতো, এখানে পারস্পরিক মিথস্ক্রিয়া উপেক্ষণীয় এমন সামষ্টিক তন্ত্র নিই। স্বল্পপাল্লার মিথস্ক্রিয়াযুক্ত তন্ত্রে এটি ভালো আসন্নায়ন। এই কাঠামোয় নিচের যোগধর্মিতা মেনে নিই।

একই কাঠামোয় এনট্রপিকে পাঠ 3-এর অর্থে ব্যাপকও ধরি: নিবিড় চলকগুলি স্থির রেখে তন্ত্রের আকার $\lambda$ গুণ করলে এনট্রপি $\lambda$ গুণ হয়:

দীর্ঘপাল্লার মিথস্ক্রিয়াযুক্ত তন্ত্রে যোগধর্মিতা ও ব্যাপকতা আর নিশ্চিত নয়। বইয়ের উন্নত অংশে এই সূক্ষ্ম বিষয়গুলিতে ফিরব।

এনট্রপি, শক্তি ও তাপমাত্রা

একটি সরল, বদ্ধ, স্থির উপাদানগত গঠনবিশিষ্ট তন্ত্র ধরি, যার উপর শুধু চাপবলের কাজ হয়। তাই কণাসংখ্যা $N$ স্থির। কোয়াসি-স্থিতিশীল প্রক্রিয়ায় প্রথম সূত্র

প্রক্রিয়াটি স্থানীয়ভাবে প্রত্যাবর্তীও হলে

অর্থাৎ

এই সমীকরণের নাম মৌলিক সম্পর্ক। স্থানীয়ভাবে প্রত্যাবর্তী প্রক্রিয়া থেকে পেলেও, দুটি সাম্যাবস্থা যুক্তকারী যেকোনো ক্ষুদ্র প্রক্রিয়ায় এটি প্রযোজ্য, কারণ $S$ ও $U$ অবস্থা অপেক্ষক। পরের পাঠে বিস্তারিত পড়ব। আপাতত অন্তরকের ধর্ম থেকে লক্ষ করি,

তাই তাপমাত্রার বিপরীত রাশি স্থির আয়তন ও পদার্থের পরিমাণে অভ্যন্তরীণ শক্তির সঙ্গে এনট্রপির পরিবর্তন মাপে। এই পাঠে আমরা পরম তাপমাত্রা $T>0$-এর অবস্থা বিবেচনা করি। আগের সম্পর্ক তখন দেখায়, এনট্রপি $U$-এর বর্ধমান অপেক্ষক।

9. দ্বিতীয় সূত্রের পরিমাণগত রূপ

এখন দ্বিতীয় সূত্রের প্রচলিত এনট্রপিভিত্তিক রূপ দেওয়ার সব হাতিয়ার আছে। তিনটি ধারাবাহিক উপপাদ্য হিসেবে উপস্থাপন করব; এগুলি সত্যিই উপপাদ্য, নীতি নয়, কারণ ক্লসিয়াস বিবৃতিকে আমরা মূল নীতি নিয়েছি।

এনট্রপি কোন সমগ্রের, তা স্পষ্ট করা জরুরি। অধ্যয়নকৃত তন্ত্রের এনট্রপি $S_{\mathcal S}$ এবং তন্ত্র ও পরিবেশের এনট্রপি $S_{\rm tot}=S_{\mathcal S}+S_{\textrm{Ext}}$ লিখব। প্রথম উপপাদ্য বিচ্ছিন্ন তন্ত্রের। দ্বিতীয়টি বিচ্ছিন্ন সমগ্র $\mathcal S+\textrm{Ext}$-এর। তৃতীয়টি আবার শুধু তন্ত্রের, যা বদ্ধ কিন্তু শক্তি বিনিময় করতে পারে: মোট এনট্রপি না কমলেও তার এনট্রপি কমতে পারে।

বিবৃতির তাৎপর্য বুঝতে মনে করি, ইতিমধ্যে সাম্যে থাকা বিচ্ছিন্ন তন্ত্র স্বতঃস্ফূর্তভাবে বিবর্তিত হয় না। প্রাথমিক অবস্থা যখন বিধিনিষেধযুক্ত সাম্য, যেমন পরে পরিবেশের সঙ্গে বিনিময় ছাড়াই সরিয়ে দেওয়া হবে এমন বিভাজক দ্বারা বজায় রাখা সাম্য, তখন বিবৃতিটি পূর্ণ অর্থ পায়। তন্ত্র তখন নতুন সাম্যে যায়, যার এনট্রপি প্রাথমিক অবস্থার চেয়ে বেশি বা সমান। শূন্যস্থানে জুল প্রসারণ একটি উদাহরণ।

উপপাদ্যের প্রমাণ শিক্ষণীয়, কারণ এটি ক্লসিয়াস অসমতা ব্যবহারের উপায় দেখায়।

তন্ত্র বিচ্ছিন্ন না হলে পরিবেশে তাপ ছাড়ার সময় তার এনট্রপি কমতে পারে। প্রক্রিয়ায় অংশ নেওয়া সব বস্তু ও যন্ত্র অন্তর্ভুক্ত করলে আবার বিচ্ছিন্ন সমগ্র পাই। আগের ফল ও এনট্রপির যোগধর্মিতা মিলে অনুচ্ছেদ 3-এর ঘোষিত রূপ দেয়:

সামগ্রিকভাবে অপ্রত্যাবর্তী প্রক্রিয়া তাই মোট এনট্রপি বাড়ায়। শুধু তন্ত্রের হিসাব রাখতে এবার দুটি অবদান আলাদা করি: পরিবেশের সঙ্গে বিনিময় করা এনট্রপি এবং উৎপন্ন এনট্রপি। সংজ্ঞা দিই:

$T_{\rm ext}>0$ বলে তাপ ছাড়া মানে এনট্রপি ছাড়া। তন্ত্র যত এনট্রপি উৎপন্ন করে তার চেয়ে বেশি ছাড়লে তার এনট্রপি কমতে পারে, যেমন নিচের হিসাব বলে।

বিনিময় করা ও উৎপন্ন এনট্রপির এই বিভাজন প্রিগোজিন তাঁর 1977 সালের নোবেল বক্তৃতায় ব্যবহার করেন ^[4]। অন্য পাঠেও এটি পাবেন। মনে রাখবেন, এখানে শুধু $dS$ অবস্থা অপেক্ষকের অন্তরক; $\delta_{\rm e}S$ ও $\delta_{\rm i}S$ প্রক্রিয়ানির্ভর, তাই অপূর্ণ অন্তরক; সেজন্য এগুলি $\delta$ দিয়ে লেখা হয়েছে (প্রিগোজিন লেখেন $d_{\rm e}S$ ও $d_{\rm i}S$)।

10. এনট্রপি, বিবর্তনের দিক ও সাম্য

প্রথম সূত্র শক্তির সংরক্ষণ আরোপ করে; দ্বিতীয় সূত্র মোট এনট্রপির বৃদ্ধি দিয়ে সম্ভব বিবর্তনের দিক নির্ধারণ করে। এই হিসাব দিয়ে এবার জুল প্রসারণের অপ্রত্যাবর্তিতা পরিমাপ করব এবং তাপীয় বা যান্ত্রিক সঞ্চালনের স্বতঃস্ফূর্ত দিক দেখব। বদ্ধ তন্ত্রের মধ্যেই থাকব, আর প্রতিবার অধ্যয়নকৃত তন্ত্রকে দ্বিতীয় সূত্র প্রযোজ্য এমন বিচ্ছিন্ন সমগ্র থেকে আলাদা করব।

10.1. এনট্রপির পরিবর্তন গণনা

তাপগতিবিদ্যার মূল কৌশল এই: $S$ অবস্থা অপেক্ষক বলে তন্ত্রের দুটি সাম্যাবস্থা $A$ ও $B$-এর মধ্যে তার পরিবর্তন প্রকৃত অনুসৃত প্রক্রিয়ার উপর নির্ভর করে না। প্রক্রিয়া অপ্রত্যাবর্তী হলেও একই অবস্থাদুটি যুক্ত করে এমন স্থানীয়ভাবে প্রত্যাবর্তী পথ কল্পনা করে গণনা করা যায়

তাপ $\delta Q_{\rm rev}$ গণনার জন্য নির্বাচিত পথের। অধ্যয়নকৃত প্রকৃত প্রক্রিয়ায় বিনিময় করা তাপের সঙ্গে তার সমান হওয়া আবশ্যক নয়। $\Delta S$ গণনার পর প্রকৃত প্রক্রিয়ায় ফিরে বিনিময় করা ও উৎপন্ন এনট্রপি নির্ণয় করা যায়।

10.2. জুল প্রসারণের অপ্রত্যাবর্তিতা

শূন্যস্থানে জুল প্রসারণে পদ্ধতিটি প্রয়োগ করি। প্রকৃত প্রক্রিয়ায় আদর্শ গ্যাস তাপ বা কাজ না নিয়ে $v$ থেকে $V>v$ আয়তনে যায়। অভ্যন্তরীণ শক্তি স্থির থাকে, তাই চূড়ান্ত ও প্রাথমিক তাপমাত্রা সমান। এনট্রপি পরিবর্তন গণনার জন্য একই অবস্থার মধ্যে স্থানীয়ভাবে প্রত্যাবর্তী সমতাপ প্রসারণ কল্পনা করি। প্রথম সূত্র দেয়

কারণ আদর্শ গ্যাসের সমতাপ প্রক্রিয়ায় $dU=0$। এই পথে $dS=\delta Q_{\rm rev}/T$ সমাকলন করে পাই

প্রকৃত প্রসারণে পরিবেশের সঙ্গে শক্তি বিনিময় হয় না। গৃহীত আদর্শায়নে পাত্র অপরিবর্তিত থাকে এবং বিভাজক সরানো নিজেও কোনো বাহ্যিক পরিবর্তন রাখে না। তাই $\Delta S_{\rm ext}=0$, এবং বিচ্ছিন্ন সমগ্রের এনট্রপির হিসাব দেয়

তাই জুল—গে-লুসাক প্রসারণ সামগ্রিকভাবে অপ্রত্যাবর্তী। মোট এনট্রপির বৃদ্ধি দেখায়, কোথাও চিহ্ন না রেখে কোনো পদ্ধতিই গ্যাস ও পরিবেশ পুনঃস্থাপন করতে পারে না।

10.3. তাপ সঞ্চালনের অপ্রত্যাবর্তিতা

স্থির আয়তনের দুটি বদ্ধ তন্ত্র $\mathcal S_1$ ও $\mathcal S_2$ তাপীয় সংযোগে রাখি। তারা গ্যাস হওয়া জরুরি নয়; যুক্তিটি সাধারণ। পদার্থ বা কাজ বিনিময় করে না, কিন্তু তাপ বিনিময় করতে পারে। সমগ্রটি বিচ্ছিন্ন ধরা হয়েছে। দুর্বল পরিবাহী দেয়াল বিনিময় যথেষ্ট ধীর করে, যাতে প্রতিটি তন্ত্র অভ্যন্তরীণ সাম্যের কাছে থাকে। প্রতিটির বিবর্তন তখন কোয়াসি-স্থিতিশীল এবং প্রতি মুহূর্তে তাপমাত্রা $T_i>0$ থাকে। শক্তি ও এনট্রপিতে দেয়ালের অবদান উপেক্ষা করি।

স্থির আয়তন ও পদার্থের পরিমাণে মৌলিক সম্পর্ক, $dV_i=0$ দিয়ে, দেয়

সমগ্র বিচ্ছিন্ন হওয়ায় প্রথম সূত্র ও শক্তির যোগধর্মিতা দেয়

তন্ত্র $i$-এর গৃহীত বীজগাণিতিক তাপ $\delta Q_i$ লিখি। কোনো তন্ত্রই কাজ বিনিময় করে না বলে,

তাই শক্তি সংরক্ষণ দেয়

1 থেকে 2-এ যাওয়া তাপ $\delta Q_{1\to2}$ লিখি, এই দিকে ধনাত্মক ধরে; তাহলে

এনট্রপির যোগধর্মিতা ব্যবহার করে বিচ্ছিন্ন সমগ্রে দ্বিতীয় সূত্র দেয়

$T_1>T_2$ হলে অসমতা দাবি করে $\delta Q_{1\to2}\geq0$: সঞ্চালন তাই উষ্ণ থেকে শীতলে। $T_1<T_2$ হলে দিক উল্টায়, কিন্তু সঞ্চালন এখনও উষ্ণ থেকে শীতলে। এভাবে দ্বিতীয় সূত্র সাধারণ অভিজ্ঞতা অনুযায়ী সম্ভব বিনিময়ের দিক নির্ধারণ করে।

$T_1\neq T_2$ হলে অনুমোদিত দিকে যেকোনো অশূন্য সঞ্চালন দেয় $dS_{\rm tot}>0$। উষ্ণ থেকে শীতলে স্বতঃস্ফূর্ত সঞ্চালন তাই সামগ্রিকভাবে অপ্রত্যাবর্তী, প্রতিটি অংশ কোয়াসি-স্থিতিশীলভাবে বিবর্তিত হলেও।

10.4. এনট্রপি ও সাম্য

আগের উদাহরণ চালাই। $T_1\neq T_2$ হলে উষ্ণ থেকে শীতলে সঞ্চালন মোট এনট্রপি বাড়ায়। দেয়াল পরিবাহী বলে তাপমাত্রার পার্থক্য থাকা পর্যন্ত সঞ্চালন চলবে। তাপীয় সাম্যে তাই $T_1=T_2$।

তখন দুই বস্তুর মধ্যে শক্তির সব ছোট পুনর্বণ্টনে $dS_{\rm tot}$ শূন্য: মোট এনট্রপি স্থিরবিন্দুতে। এই ফল থেকে যে সাধারণ মানদণ্ড মেনে নেব তা হলো: সাম্যে বিচ্ছিন্ন সমগ্রের এনট্রপি বিধিনিষেধে অনুমোদিত ক্ষুদ্র অভ্যন্তরীণ পরিবর্তনের সাপেক্ষে স্থিরবিন্দুতে থাকে। অর্থাৎ প্রথম ক্রমের পরিবর্তন শূন্য। এটি সাম্যের প্রয়োজনীয় শর্ত; সাম্যের এককত্ব বা সব বিবর্তন সেই অবস্থায় অভিসারী হওয়া প্রমাণ করে না।

উদাহরণে একটি দৃঢ়, বিচ্ছিন্ন সিলিন্ডারের দুটি কক্ষে আদর্শ গ্যাস ধরি, মাঝখানে চলনশীল, তাপপরিবাহী কিন্তু পদার্থ-অভেদ্য দেয়াল। দেয়াল ঘর্ষণ ছাড়াই চলে এবং তার উপর অতিরিক্ত বল নেই। তার নিজস্ব শক্তি উপেক্ষা করি। মোট শক্তি সংরক্ষণে $dU_2=-dU_1$, মোট আয়তন সংরক্ষণে $dV_2=-dV_1$। মৌলিক সম্পর্ক তখন দেয়

দেয়াল তাপ সঞ্চালন ও সরণ দুটিই অনুমোদন করে: স্থিরবিন্দু পরীক্ষা করতে শক্তি ও আয়তনের পুনর্বণ্টন স্বাধীনভাবে বদলানো যায়। এখানে নিকটবর্তী অবস্থার তুলনা করছি, দেয়ালের প্রকৃত গতি বর্ণনা করছি না। সাম্যে সব পরিবর্তনের জন্য এই রাশি শূন্য হতে হবে। দুই সহগ শূন্য: পাই $T_1=T_2$, তারপর $P_1/T_1=P_2/T_2$, অর্থাৎ

এই পরিচিত শর্তগুলি স্থিরবিন্দু মানদণ্ডের উপযোগিতা এবং বিধিনিষেধের গুরুত্ব দেখায়। দেয়াল চলনশীল থাকলেও রুদ্ধতাপ হয়ে গেলে কাজ বিনিময় চলবে, তাপ সঞ্চালন বন্ধ হবে: তখন $dU_1$ ও $dV_1$ স্বাধীন পরিবর্তন নয়। তাই আগের মতো দুই সহগ আলাদাভাবে শূন্য করা যায় না। দেয়ালে বলের সাম্য থেকে যান্ত্রিক সাম্যে এখনও $P_1=P_2$ চাই, কিন্তু শুধু এতে $T_1=T_2$ আরোপিত হয় না।

11. আরও গভীরে

11.1. তাপগতীয় তাপমাত্রা

কেলভিনের পরম তাপমাত্রা স্কেল নির্মাণ কার্নোর দ্বিতীয় উপপাদ্যভিত্তিক। সাময়িকভাবে $\vartheta$ দিয়ে শীতল থেকে উষ্ণের দিকে বাড়ে এমন পরীক্ষালব্ধ তাপমাত্রা বোঝাই। $\vartheta_1>\vartheta_2$-এর মধ্যে স্থানীয়ভাবে প্রত্যাবর্তী দ্বিতাপীয় যন্ত্রের উষ্ণ তাপাধার থেকে নেওয়া তাপ $q_1>0$ এবং শীতল তাপাধারে দেওয়া তাপ $q_2>0$ লিখি। অনুপাত

প্রবাহী বা চক্র কোনোটির উপর নির্ভর করে না, কারণ উপপাদ্য অনুসারে দক্ষতা $1-q_2/q_1$ সর্বজনীন। কিন্তু এই সর্বজনীনতা এখনও $\Phi(\vartheta_1,\vartheta_2)$-কে $T_2/T_1$ অনুপাত হিসেবে লেখার জন্য যথেষ্ট নয়: মধ্যবর্তী তাপাধার দিয়ে গেলে তাপাধারগুলির তুলনা সঙ্গত থাকে কি না যাচাই করতে হবে।

তিনটি তাপাধার ধরি, $\vartheta_1>\vartheta_2>\vartheta_3$। দুটি স্থানীয়ভাবে প্রত্যাবর্তী যন্ত্র যুক্ত করি: একটি 1 ও 2-এর মধ্যে, অন্যটি 2 ও 3-এর মধ্যে। এমন সমন্বয় করি যাতে প্রথমটি 2 নম্বর তাপাধারে যত তাপ দেয়, দ্বিতীয়টি ঠিক তত নেয়। মধ্যবর্তী তাপাধার তখন বদলায় না। সমগ্রটি 1 ও 3-এর মধ্যে স্থানীয়ভাবে প্রত্যাবর্তী যন্ত্র: দুই চক্র ও সব বিনিময় উল্টানো যায়। দক্ষতার সর্বজনীনতা তাই দেয়

চক্রের দিক উল্টালে $\Phi(\vartheta_2,\vartheta_1)=1/\Phi(\vartheta_1,\vartheta_2)$ পাই। ধরি $\Phi(\vartheta,\vartheta)=1$ এবং মানদণ্ড তাপাধার $\vartheta_0$-কে তাপমাত্রা $T_0>0$ দিই। তখন সংজ্ঞায়িত করি

প্রতিটি তাপমাত্রা এভাবে একই মানদণ্ডের সঙ্গে তুলনা করে সংজ্ঞায়িত। এই স্কেলে অনুপাত $\Phi(\vartheta_1,\vartheta_2)=q_2/q_1$ প্রকাশ করতে সংযোজনের নিয়ম প্রয়োগ করি:

পাই

অর্থাৎ

এভাবে আদর্শ গ্যাস ছাড়াই পাই

যেখানে প্রত্যাবর্তী যন্ত্রের আদর্শ দক্ষতা থেকে নির্মিত $T$ স্কেলই কেলভিন স্কেল।

11.2. ক্লসিয়াস অসমতার প্রমাণ

এখানে উপপাদ্য 5-এ বিবৃত ক্লসিয়াস অসমতা প্রমাণ করা হলো।

প্রমাণ.

সব কাজ একই আদর্শ, অপচয়হীন উৎসের সঙ্গে বিনিময় হয়; যেমন একটি ভার, যার শুধু উচ্চতা বদলায়। একটি মানদণ্ড তাপমাত্রা $T_0>0$ নিই। প্রতিটি তাপাধার $T_k$-এর সঙ্গে $T_k$ ও $T_0$-এর মধ্যে চলা স্থানীয়ভাবে প্রত্যাবর্তী দ্বিতাপীয় যন্ত্র $\mathcal M'_k$ যুক্ত করি। মূল যন্ত্র $T_k$ তাপাধারে যে পরিবর্তন করেছে, সহায়ক যন্ত্রটি সেই পরিবর্তন ঠিক বাতিল করার মতো সমন্বয় করা হয়। তাই ওই তাপাধার থেকে তার গৃহীত বীজগাণিতিক তাপ $$Q'_k=-Q_k.$$

প্রত্যাবর্তী যন্ত্রের জন্য পাওয়া সম্পর্ক দেয়²

Note 2 : $T_1>T_2$-এর মধ্যে ইঞ্জিন হিসেবে চললে সমীকরণ (3) দেয় $\lvert Q_2\rvert/Q_1=T_2/T_1$, অর্থাৎ $Q_1/T_1+Q_2/T_2=0$, কারণ $Q_1>0$ ও $Q_2<0$। চক্র উল্টালে দুই তাপের চিহ্ন বদলায়, সমতা থাকে; সূচক বদলালেও থাকে। তাই তাপমাত্রার ক্রম যাই হোক, উভয় পরিচালনদিকেই এটি সত্য। সমান তাপমাত্রার ক্ষেত্র এড়াতে সব $T_k$ থেকে আলাদা $T_0$ বেছে নিই, যা সসীম সংখ্যক তাপাধারের জন্য সব সময় সম্ভব।

$$\frac{Q'_k}{T_k}+\frac{Q'_{0k}}{T_0}=0,$$

ফলে

$$Q'_{0k}=T_0\frac{Q_k}{T_k}.$$

প্রতিটি সহায়ক যন্ত্র কার্যও বিনিময় করে

$$W'_k =-Q'_k-Q'_{0k} =Q_k\left(1-\frac{T_0}{T_k}\right).$$

তার পরিচালনদিক $Q_k$ ও $T_k-T_0$-এর চিহ্নের উপর নির্ভর করে। তাই $T_0$-কে সব তাপাধারের চেয়ে উষ্ণ বা শীতল হতে হবে না।

সব যন্ত্র একত্র করলে প্রতিটি তাপাধার $T_k$-এর সঙ্গে বিনিময় বাতিল হয়। একমাত্র বাতিল না হওয়া তাপীয় বিনিময় $T_0$-এর সঙ্গে:

$$Q_0 =\sum_k Q'_{0k} =T_0\sum_k\frac{Q_k}{T_k}.$$

যৌগিক যন্ত্র চক্রাকার। তাই প্রথম সূত্র অনুসারে

$$W_{\rm tot}=-Q_0.$$

$Q_0$ ধনাত্মক হলে যৌগিক যন্ত্র একটিমাত্র তাপাধার থেকে তাপ নিয়ে সম্পূর্ণ কাজে বদলাত। কেলভিন বিবৃতি তা নিষিদ্ধ করে। তাই $Q_0\leq0$। $T_0>0$ হওয়ায় ঘোষিত অসমতা পাই।

চক্র স্থানীয়ভাবে প্রত্যাবর্তী হলে বিপরীত দিকে চলা সম্ভব এবং সব বিনিময়ের চিহ্ন বদলায়। দুই দিকেই ক্লসিয়াস অসমতা প্রয়োগ করলে

$$\sum_k\frac{Q_k}{T_k}\leq0, \qquad -\sum_k\frac{Q_k}{T_k}\leq0.$$

তাই যোগফল শূন্য।

উল্টোভাবে যোগফল শূন্য হলে সহায়ক যন্ত্রগুলি $T_0$ তাপাধার না বদলে এবং নিট কাজ না করে সব তাপাধার পুনঃস্থাপন করে। কাজের উৎসও তাই প্রাথমিক অবস্থায় ফেরে: ভার আগের উচ্চতায় ফিরে যায়। সহায়ক যন্ত্রগুলি নিজেরাও চক্র সম্পন্ন করে বলে তারা এমন ফেরত নির্মাণ করে যা মূল যন্ত্রের বাহ্যিক পরিবর্তন মুছে দেয়। তখন চক্র সামগ্রিকভাবে প্রত্যাবর্তী। এখানে সমতা তাই সামগ্রিক প্রত্যাবর্তিতার লক্ষণ; তা একা মূল পথের স্থানীয় প্রত্যাবর্তিতা প্রমাণ করে না। □

11.3. মুক্ত প্রসারণের পরিসাংখ্যানিক ব্যাখ্যা

পাঠ 4-এ কয়েকটি তাপগতীয় রাশি দিয়ে বর্ণিত স্থূলাবস্থা ও কণার অবস্থান ও বেগ নির্দিষ্ট করা সূক্ষ্মাবস্থা আলাদা করেছি। একই স্থূলাবস্থার সঙ্গে বিপুলসংখ্যক সূক্ষ্মাবস্থা সঙ্গতিপূর্ণ, যাদের আমাদের মাপে পৃথক করা যায় না। এই পার্থক্য মুক্ত প্রসারণের অপ্রত্যাবর্তিতা ব্যাখ্যা করতে দেয়।

$N$ কণার আদর্শ গ্যাস একটি বিচ্ছিন্ন পাত্রের বাঁ অর্ধেকে আবদ্ধ, ডান অর্ধেক শূন্য। বিভাজক সরালে প্রতিটি কণা দ্বিগুণ আয়তনে যেতে পারে। তাই প্রতিটি কণার সম্ভাব্য স্থানিক বিন্যাস $2$ গুণ, পুরো গ্যাসের $2^N$ গুণ। সব কণা বামে থাকা বিন্যাসের তুলনায় দুই অর্ধেকে ছড়িয়ে থাকা বিন্যাস তখন অনেক বেশি।

তাপগতিবিদ্যায় বিবেচ্য সাম্যাবস্থার মধ্যে স্থানীয়ভাবে প্রত্যাবর্তী পথ ধরে এনট্রপি পরিবর্তন গণনা করি। পরিসাংখ্যানিক পদার্থবিদ্যা সূক্ষ্মাবস্থা গুনে সাম্যাবস্থার এনট্রপি পেতে দেয়। বোলৎজমান সূত্র এভাবে এনট্রপিকে স্থূলাবস্থার সঙ্গে সঙ্গতিপূর্ণ সূক্ষ্মাবস্থার সংখ্যার সঙ্গে যুক্ত করে:

এখানে $\Omega$ একই গণনাপদ্ধতিতে গোনা সূক্ষ্মাবস্থার সংখ্যা, আর $k_{\rm B}$ বোলৎজমান ধ্রুবক, জুল প্রতি কেলভিন এককে। উদাহরণে গ্যাসের শক্তি অপরিবর্তিত থাকে, অথচ আয়তন দ্বিগুণ হলে $\Omega$ হয় $2^N$ গুণ। তাই এনট্রপির বৃদ্ধি

কারণ $Nk_{\rm B}=nR$, যেখানে $n$ গ্যাসের পদার্থের পরিমাণ। $v$ থেকে $V=2v$ প্রসারণের তাপগতীয় ফল ফিরে পাই।

এই পরিসাংখ্যানিক ব্যাখ্যা দেখায় কেন তাপগতিবিদ্যায় নিষিদ্ধ সব কণার স্বতঃস্ফূর্তভাবে বাঁ অর্ধেকে ফেরা কঠোর অর্থে অসম্ভব নয়। সাম্যে প্রতি কণার ওই অর্ধেকে থাকার সম্ভাবনা $1/2$। অবস্থানগুলি স্বাধীন ধরে, কোনো নির্দিষ্ট মুহূর্তে সবার সেখানে থাকার সম্ভাবনা

সামষ্টিক সংখ্যক কণার জন্য সম্ভাবনাটি অকল্পনীয়ভাবে ক্ষুদ্র; বাস্তবে শূন্য ধরা ঠিক। পরিসাংখ্যানিক পদার্থবিদ্যা তাই দেখায়, অপ্রত্যাবর্তিতা নিরঙ্কুশ ঘটনা নয়: তার প্রকৃতি সম্ভাবনামূলক।

11.4. আণুবীক্ষণিক প্রত্যাবর্তিতার আপাতবিরোধ

প্রত্যাবর্তী আণুবীক্ষণিক নিয়ম থেকে অপ্রত্যাবর্তী বিবর্তন কীভাবে আসে? মনে করুন, ধ্রুপদি বলবিদ্যার নিয়ম সময়ের সাপেক্ষে প্রত্যাবর্তী। এটিই লোশমিটের আপাতবিরোধ: এনট্রপি বাড়ে এমন প্রতি বিবর্তনের জন্য নিয়মগুলি এনট্রপি কমে এমন বিপরীত বিবর্তনও দেয়। তাই বুঝতে হবে, আণুবীক্ষণিক স্তরে সম্ভব দুই দিক আমাদের মাপে সমান হারে দেখা যায় না কেন।

তন্ত্রের সামষ্টিক বর্ণনা আণুবীক্ষণিক তথ্যের শুধু একটি অংশ রাখে। প্রসারণের পর সব বেগ ঠিক উল্টানো গেলে তন্ত্র তার বিবর্তনের পথ ফিরে চলত। কিন্তু বিভাজক পুনঃস্থাপন বা বাহ্যিক চাপ উল্টানো সেই কাজ করে না। এসব কাজ অল্প কয়েকটি সামষ্টিক চলরাশি নিয়ন্ত্রণ করে এবং তথ্য ছড়িয়ে পড়া আণুবীক্ষণিক বিশদ অপরিবর্তিত রাখে।

এতেই বোঝা যায় কেন আণুবীক্ষণিক নিয়মের প্রত্যাবর্তিতা সামষ্টিক প্রক্রিয়াকে প্রত্যাবর্তী করে না। বোলৎজমান এনট্রপি তন্ত্র যে স্থূলাবস্থার অন্তর্ভুক্ত সেটি বর্ণনা করে। বিপরীতে নির্ভুল আণুবীক্ষণিক বর্ণনা তাপগতীয় চলরাশির চেয়ে অনেক বেশি তথ্য রাখে। মুক্ত প্রসারণে গ্যাস প্রথমে কম এনট্রপির অবস্থায় প্রস্তুত থাকে, যেখান থেকে তার বিবর্তন অত্যন্ত সম্ভবত বেশি এনট্রপির অবস্থায় যায়। ফেরার জন্য খুব বিশেষ আণুবীক্ষণিক সহসম্পর্ক লাগবে, যা বেগের নির্ভুল বিপরীতকরণ তৈরি করত।

12. তথ্যসূত্র