আদর্শ গ্যাস: এনট্রপির পরিবর্তন

প্রশ্ন 1. দুই অবস্থার মধ্যে একটি প্রত্যাবর্তী পথ বেছে নিই। গ্যাসের প্রাপ্ত কাজ $\delta W=-P\,\mathrm dV$। প্রথম সূত্র থেকে

$$\mathrm dU=\delta Q_{\mathrm{rev}}-P\,\mathrm dV, \qquad \delta Q_{\mathrm{rev}}=\mathrm dU+P\,\mathrm dV.$$

$n$ মোলের জন্য $\mathrm dU=nc_V\,\mathrm dT$ এবং $P=nRT/V$। এগুলি বসিয়ে $T$ দিয়ে ভাগ করলে

$$\mathrm dS=\frac{\delta Q_{\mathrm{rev}}}{T} =nc_V\frac{\mathrm dT}{T}+nR\frac{\mathrm dV}{V}.$$

প্রথমে স্থির আয়তনে তাপমাত্রা এবং পরে স্থির তাপমাত্রায় আয়তন বদলানো যায়। দুই সমাকল যোগ করলে

$$\begin{aligned} \Delta S&=nc_V\int_{T_I}^{T_F}\frac{\mathrm dT}{T} +nR\int_{V_I}^{V_F}\frac{\mathrm dV}{V}\\ &=nc_V[\ln T]_{T_I}^{T_F}+nR[\ln V]_{V_I}^{V_F}\\ &=nc_V\ln\frac{T_F}{T_I}+nR\ln\frac{V_F}{V_I}. \end{aligned}$$

এনট্রপি একটি অবস্থা অপেক্ষক: ফলটি শুধু প্রাথমিক ও চূড়ান্ত অবস্থার ওপর নির্ভর করে। তাই একই অবস্থাগুলির মধ্যে বাস্তব অপ্রত্যাবর্তী প্রক্রিয়াতেও এটি প্রযোজ্য, যদিও সেই প্রক্রিয়ায় $\mathrm dS=\delta Q/T$ লেখা যায় না।

প্রশ্ন 2. পদার্থের পরিমাণ স্থির থাকলে $V=nRT/P$ থেকে

$$\frac{V_F}{V_I}=\frac{T_F}{T_I}\frac{P_I}{P_F},\qquad \ln\frac{V_F}{V_I}=\ln\frac{T_F}{T_I}-\ln\frac{P_F}{P_I}.$$

প্রশ্ন 1-এর ফলে বসিয়ে তাপমাত্রার পদগুলি একত্র করলে

$$\Delta S=n(c_V+R)\ln\frac{T_F}{T_I}-nR\ln\frac{P_F}{P_I} =nc_P\ln\frac{T_F}{T_I}-nR\ln\frac{P_F}{P_I}.$$

মেয়ারের সম্পর্ক $c_V+R=c_P$ আকারে ব্যবহার করা হয়েছে। একইভাবে $\mathrm dV/V=\mathrm dT/T-\mathrm dP/P$, ফলে

$$\mathrm dS=nc_V\frac{\mathrm dT}{T} +nR\left(\frac{\mathrm dT}{T}-\frac{\mathrm dP}{P}\right) =nc_P\frac{\mathrm dT}{T}-nR\frac{\mathrm dP}{P}.$$

প্রশ্ন 3. $\Delta S=0$ বসিয়ে $nc_V$ দিয়ে ভাগ করলে

$$\ln\frac{T_F}{T_I}+\frac{R}{c_V}\ln\frac{V_F}{V_I}=0.$$

$\gamma=c_P/c_V$, $R/c_V=\gamma-1$ এবং লগারিদমের ধর্ম থেকে

$$\ln\left[\frac{T_F}{T_I}\left(\frac{V_F}{V_I}\right)^{\gamma-1}\right]=0.$$

সুতরাং লগারিদমের আর্গুমেন্ট 1: $T_FV_F^{\gamma-1}=T_IV_I^{\gamma-1}$, অর্থাৎ $TV^{\gamma-1}=\mathrm{const}$। $T$-এর স্থানে $PV/(nR)$ বসালে $PV^\gamma=\mathrm{const}$-ও পাওয়া যায়। প্রত্যাবর্তী রুদ্ধতাপীয় প্রক্রিয়ায় $\delta Q_{\mathrm{rev}}=0$, তাই প্রতিটি ধাপে $\mathrm dS=0$: প্রক্রিয়াটি সমএনট্রপি।

প্রশ্ন 4. এক মোলের জন্য $nc_V=3R/2$ ও $nR=R$। (a)-তে $T_F/T_I=1$ এবং $V_F/V_I=2$:

$$\Delta S_a=\frac32R\ln1+R\ln2=R\ln2\simeq5{,}76\ \mathrm{J\,K^{-1}}.$$

(b)-তে $T_F/T_I=600/300=2$ এবং $V_F/V_I=1$:

$$\Delta S_b=\frac32R\ln2+R\ln1\simeq8{,}64\ \mathrm{J\,K^{-1}}.$$

পরপর দুটি প্রক্রিয়ার ক্ষেত্রে পরিবর্তনগুলি যোগ হয়: $\Delta S=\Delta S_a+\Delta S_b=(5/2)R\ln2\simeq14{,}4\ \mathrm{J\,K^{-1}}$। সংখ্যাগত মানগুলিতে $R=8{,}314\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}$ ব্যবহার করা হয়েছে।