রুদ্ধতাপীয় পিস্টন: তাপীয় সাম্য ছাড়া যান্ত্রিক সাম্য

প্রশ্ন 1। চিত্রে প্রকোষ্ঠ 1-এর রোধ, তাপরোধী পিস্টন এবং বাইরের সীমানা পার হওয়া বৈদ্যুতিক তার রয়েছে। গ্যাস 2 পিস্টনের মাধ্যমে যান্ত্রিক কাজ পায়, তাপ পায় না। «দুটি গ্যাস + রোধ»-এর জন্য বাইরের তাপ শূন্য এবং বাইরের দেয়াল দৃঢ়: শুধু বৈদ্যুতিক কাজ প্রবেশ করে। পিস্টনের দুই পাশের কাজ এই সমগ্রের অভ্যন্তরীণ বিনিময়।

প্রশ্ন 2। গ্যাস 2 প্রত্যাবর্তী রুদ্ধতাপীয়ভাবে সংকুচিত হয়, তাই $P_0V_0^\gamma=P_fV_{2,f}^\gamma$। $P_f=xP_0$ হলে,

$$\left(\frac{V_{2,f}}{V_0}\right)^\gamma=\frac1x, \qquad V_{2,f}=x^{-1/\gamma}V_0.$$

ধরি $a=x^{-1/\gamma}$। দুই প্রান্তের অবস্থার সমীকরণ দেয়

$$\frac{T_{2,f}}{T_0}=\frac{P_fV_{2,f}}{P_0V_0}=xa, \qquad T_{2,f}=xaT_0.$$

মোট আয়তন $2V_0$ এবং পিস্টন 1 ও 2-এ একই চাপ বজায় রাখে:

$$V_{1,f}=2V_0-V_{2,f}=(2-a)V_0, \qquad T_{1,f}=T_0\frac{P_fV_{1,f}}{P_0V_0}=x(2-a)T_0.$$

$x>1$ ও $\gamma>1$ হওয়ায় $0<a<1$, তাই $2-a>a$ ও $T_{1,f}>T_{2,f}$। দেয়াল কাজের বিনিময় অনুমোদন করে, সরাসরি তাপপ্রবাহ নয়। বিদ্যুৎ বন্ধ করার পর এই অবস্থা ব্যবহৃত স্থূল মডেলে রুদ্ধতাপীয় বাধার অধীনে যান্ত্রিক সাম্য।

প্রশ্ন 3। প্রতিটি গ্যাসের জন্য $\Delta U=nc_V(T_f-T_0)$ ও $nc_VT_0=nRT_0/(\gamma-1)=P_0V_0/(\gamma-1)$। গণনা করা তাপমাত্রা বসালে,

$$\Delta U_1=\frac{P_0V_0}{\gamma-1}[x(2-a)-1],\qquad \Delta U_2=\frac{P_0V_0}{\gamma-1}(xa-1).$$

রোধে সঞ্চিত শক্তি উপেক্ষণীয়। তাই সমগ্রে প্রথম সূত্র প্রয়োগ করে পাই

$$\begin{aligned} W_{\mathrm{elec}}&=\Delta U_1+\Delta U_2\\ &=\frac{P_0V_0}{\gamma-1}[x(2-a)-1+xa-1]\\ &=\frac{P_0V_0}{\gamma-1}(2x-2) =\frac{2P_0V_0}{\gamma-1}(x-1). \end{aligned}$$

গ্যাস 2-এ $Q_2=0$, তাই পিস্টনের কাজ $W_2=\Delta U_2$। পিস্টন শক্তি সঞ্চয় করে না, তাই গ্যাস 1-এর ওপর তার কাজ $-W_2$। সমগ্রের হিসাবে এই দুই কাজ কাটাকাটি হয়।

প্রশ্ন 4। গ্যাস 2-এর জন্য এনট্রপির সূত্র দেয়

$$\begin{aligned} \Delta S_2&=nc_V\ln(xa)+nR\ln a\\ &=nc_V[\ln x+\ln a+(\gamma-1)\ln a]\\ &=nc_V\ln(xa^\gamma)=0, \end{aligned}$$

কারণ $a^\gamma=1/x$। আবার প্রত্যাবর্তী সংকোচনের সমএনট্রপীয়তা পাওয়া যায়। গ্যাস 1-এর জন্য,

$$\begin{aligned} \Delta S_1&=nc_V\ln[x(2-a)]+nR\ln(2-a)\\ &=nc_V[\ln x+\gamma\ln(2-a)] =nc_V\ln[x(2-a)^\gamma]. \end{aligned}$$

$x>1$ ও $2-a>1$, তাই লগারিদমের আর্গুমেন্ট 1-এর বেশি: $\Delta S_1>0$। সমগ্র বাইরে থেকে এনট্রপি পায় না: বৈদ্যুতিক কাজ এনট্রপি বহন করে না। তাই $S_{\mathrm{i}}=\Delta S_1+\Delta S_2=\Delta S_1$। উত্তাপন ধীর হলেও জুল প্রভাব এনট্রপি উৎপন্ন করে। সুতরাং গ্যাস 1-এ লাপ্লাসের সূত্র প্রযোজ্য নয়।

প্রশ্ন 5। বিদ্যুৎ বন্ধ করার পর সমগ্র বিচ্ছিন্ন। দেয়াল তাপপরিবাহী ও চলমান হওয়ায় অন্তিম তাপমাত্রা ও চাপ সমান হতে পারে। দুই গ্যাসে একই $n$ থাকায় $P_*V_{1,*}=nRT_*=P_*V_{2,*}$ থেকে $V_{1,*}=V_{2,*}=V_0$। শক্তি সংরক্ষণ অনুযায়ী

$$nc_V(T_*-T_{1,f})+nc_V(T_*-T_{2,f})=0.$$

$nc_V$ দিয়ে ভাগ করে তাপমাত্রাগুলি বসালে,

$$2T_*=T_{1,f}+T_{2,f}=xT_0[(2-a)+a]=2xT_0,$$

তাই $T_*=xT_0$ ও $P_*=nRxT_0/V_0=xP_0$। এই নতুন পরিবর্তনে এনট্রপির পরিবর্তনগুলি

$$\begin{aligned} \Delta S_{1,\mathrm{add}} &=nc_V\ln\frac{xT_0}{x(2-a)T_0}+nR\ln\frac{V_0}{(2-a)V_0} =-nc_P\ln(2-a),\\ \Delta S_{2,\mathrm{add}} &=nc_V\ln\frac{xT_0}{xaT_0}+nR\ln\frac{V_0}{aV_0} =-nc_P\ln a. \end{aligned}$$

সমগ্র বিচ্ছিন্ন হওয়ায় তাদের যোগফলই অতিরিক্ত উৎপন্ন এনট্রপি:

$$S_{\mathrm{i},\mathrm{add}}=-nc_P[\ln(2-a)+\ln a]=-nc_P\ln[a(2-a)].$$

$0<a<1$ হলে $0<a(2-a)=1-(1-a)^2<1$, তাই লগারিদম ঋণাত্মক। বিয়োগ চিহ্নের ফলে $S_{\mathrm{i},\mathrm{add}}>0$।