আদর্শ গ্যাসে প্রয়োগ

এ পর্যন্ত কোনো নির্দিষ্ট তন্ত্র-মডেল ধরে না নিয়েই প্রথম সূত্রটি প্রণয়ন করা হয়েছে। যে বদ্ধ তন্ত্রের সামষ্টিক গতিশক্তি ও স্থিতিশক্তি পরিবর্তিত হয় না, তার জন্য এটি লেখা হয়

$$\Delta U=Q+W.$$

তবে শুধু এই সম্পর্ক থেকে $\Delta U$ গণনা করা যায় না; যেমন তন্ত্রের উপর ক্রিয়াশীল বলগুলি জানা না থাকলে নিউটনের দ্বিতীয় সূত্রও তার বিবর্তন পূর্বানুমান করতে পারে না। তাই অধ্যয়নাধীন তন্ত্রটিকে আরও নির্দিষ্টভাবে চিহ্নিত করতে হবে; এখন আমরা আদর্শ গ্যাসের ক্ষেত্রে তা করব।

1. আদর্শ গ্যাসের অবস্থা সমীকরণ

আদর্শ গ্যাসের একটি প্রথম অবস্থা সমীকরণ হলো

পাঠ ২-এ যেমন দেখা হয়েছে, এই সম্পর্কটি দীর্ঘ পরীক্ষামূলক অনুসন্ধানের ইতিহাসের ফল। এটি নিজে থেকে গ্যাসের অভ্যন্তরীণ শক্তি সম্পর্কে কিছুই বলে না। তার জন্য অন্য পরীক্ষা প্রয়োজন। প্রথম পাঠে এড়িয়ে যাওয়া যেতে পারে এমন পরবর্তী অনুচ্ছেদে আদর্শ গ্যাসের অপর গুরুত্বপূর্ণ সূত্রটির দিকে নিয়ে যাওয়া পরীক্ষামূলক পদ্ধতি দেখানো হয়েছে:

যেখানে $c_V$ একটি ধ্রুবক, যার আলোচনায় আমরা পরে ফিরব; আর $U_0(n)$ হলো তাপমাত্রা-স্বাধীন একটি প্রসঙ্গ-শক্তি পদ। এখনই লক্ষ করুন, তাপগতিবিদ্যার রীতিবদ্ধ কাঠামো থেকে এই অবস্থা সমীকরণগুলি নিষ্পন্ন করা যায় না। তবে পরিসাংখ্যিক পদার্থবিজ্ঞান একটি আণুবীক্ষণিক মডেল থেকে এগুলি পুনরুদ্ধার করতে পারবে।

1.1. জুল-গে-লুসাক প্রসারণ

মূল পরীক্ষাটি হলো শূন্যস্থানে একটি গ্যাসের প্রসারণ পর্যবেক্ষণ করা। বাস্তবে অণুগুলির পারস্পরিক ক্রিয়া কমিয়ে আদর্শ গ্যাসের মডেলের কাছাকাছি যাওয়ার জন্য যথেষ্ট বিরল গ্যাস ব্যবহার করা হয়। একটি দৃঢ় ও তাপ-নিরোধী পাত্রকে দুটি প্রকোষ্ঠে ভাগ করা থাকে। প্রথমটিতে সাম্যাবস্থায় গ্যাস থাকে, দ্বিতীয়টি শূন্য। তাদের মধ্যবর্তী দেয়াল সরিয়ে নতুন সাম্যাবস্থা প্রতিষ্ঠিত হওয়া পর্যন্ত অপেক্ষা করা হয়, তারপর সেই অবস্থাকে পরীক্ষামূলকভাবে চিহ্নিত করা হয়।

XIX^e শতকের শুরুতে গে-লুসাক প্রথম এই ধরনের পরীক্ষা করেন; পরে, প্রায় ১৮৪৫ সালে, জুল পরীক্ষাগুলি পুনরায় করেন। গুরুত্বপূর্ণ পরীক্ষামূলক ফল হলো, গ্যাসের প্রাথমিক ও চূড়ান্ত অবস্থার মধ্যে তাপমাত্রার কোনো পরিবর্তন দেখা যায় না। বাস্তবে, কোনো বাস্তব গ্যাসে সামান্য পরিবর্তন থেকে যায় এবং গ্যাস ও শর্তের উপর নির্ভর করে তা ধনাত্মক বা ঋণাত্মক হতে পারে; কিন্তু ঘনত্ব কমলে এই পরিবর্তন শূন্যের দিকে যায়। তাই আদর্শ মডেলে ঠিক $T_B=T_A$ বলে ধরে নেওয়া স্বাভাবিক।

এই ফল ব্যাখ্যা করতে প্রথম সূত্রটি কী বলে তা দেখি। গ্যাস শূন্যস্থানে ছড়িয়ে পড়ে, তাই বাহ্যিক চাপ শূন্য এবং সুতরাং $W=0$। অন্যদিকে তন্ত্রের দেয়ালগুলি তাপ-নিরোধী, তাই $Q=0$-ও হয়। প্রথম সূত্র তখন দেয়

$$\Delta U=0.$$

এখন (সাময়িকভাবে) মেনে নিই যে অভ্যন্তরীণ শক্তি $U=U(T,V,n)$ আকারে লেখা যায়; দ্বিতীয় সূত্র প্রতিষ্ঠার পরে এই চলক নির্বাচন ন্যায্য প্রতিপন্ন করা হবে। তন্ত্রটি বদ্ধ হওয়ায় $n$ স্থির। বিভিন্ন প্রাথমিক ও চূড়ান্ত আয়তনের জন্য পরীক্ষাটি পুনরাবৃত্তি করলে দেখা যায়, স্থির তাপমাত্রায় ($T_B=T_A$ বলে) আয়তন পরিবর্তিত হলেও অভ্যন্তরীণ শক্তি পরিবর্তিত হয় না ($\Delta U=0$)। তাই

পাওয়া যায়। এই ধর্মটি জুলের সূত্র: আদর্শ গ্যাসের অভ্যন্তরীণ শক্তি তার আয়তনের উপর নির্ভর করে না। এই পরীক্ষা এখনও $U(T,n)$ অপেক্ষকের রূপ দেয় না।

1.2. আদর্শ গ্যাসের অভ্যন্তরীণ শক্তি

$U$-এর রূপ নির্ণয় করতে দ্বিতীয় একটি পরীক্ষা বিবেচনা করি। জানা পরিমাণের গ্যাস একটি দৃঢ় পাত্রে উত্তপ্ত করা হয়। স্থির আয়তনে চাপবলগুলির কাজ শূন্য; ফলে গ্যাসে সরবরাহ করা শক্তি $Q$ তার অভ্যন্তরীণ শক্তির পরিবর্তনের সমান। অল্প অল্প শক্তি দিয়ে এবং তার সঙ্গে সঙ্গত তাপমাত্রা-বৃদ্ধি মেপে পরীক্ষামূলকভাবে স্থির আয়তনে মোলার তাপধারণ ক্ষমতা নির্ণয় করা হয়:

নীতিগতভাবে এই তাপধারণ ক্ষমতা তাপমাত্রার উপর নির্ভর করে। সরাসরি পরিমাপ কঠিন, কারণ পাত্র ও ক্যালরিমিটারের তুলনায় গ্যাসের তাপধারণ ক্ষমতা কম। তবু এই পরিমাপ সম্ভব, এবং এমনকি দেখানো যায় যে বিরল গ্যাসের জন্য $c_V(T)$ প্রায় ধ্রুব। একে সম্পূর্ণ ধ্রুব ধরে আগের সম্পর্কটি সমাকলন করলে পাওয়া যায়

পদার্থের পরিমাণ স্থির থাকলে সমাকলন তাই দেয়

$$U(T,n)=n c_V T+U_0(n),$$

যেখানে প্রসঙ্গ পদ $U_0(n)$ তাপমাত্রার উপর নির্ভর করে না। পদার্থের পরিমাণ স্থির থাকলে অভ্যন্তরীণ শক্তির উৎস এমনভাবে বেছে নেওয়া যায় যেন $U_0(n)=0$, কারণ কেবল $U$-এর পরিবর্তনই প্রাসঙ্গিক। তখন আবার $U=n c_V T$ পাওয়া যায়। সাধারণ তাপমাত্রায় বিরল হিলিয়ামের মতো একপরমাণুক গ্যাসের জন্য $c_V\simeq 3R/2$ এবং অনেক দ্বিপরমাণুক গ্যাসের জন্য $c_V\simeq 5R/2$ পরিমাপ করা হয়; এখানে $R$ আদর্শ গ্যাস ধ্রুবক। $c_V$-এর মানগুলির আলোচনায় আমরা পরে ফিরব।

2. আদর্শ গ্যাসে প্রথম সূত্রের প্রয়োগ

এখন আদর্শ গ্যাসের পরিচিত রূপান্তরগুলির সময় অভ্যন্তরীণ শক্তির পরিবর্তন এবং বিনিময় করা কাজ ও তাপ নির্ণয় করা যায়। আমরা এমন একটি বদ্ধ তন্ত্রে সীমাবদ্ধ থাকব, যার সামষ্টিক গতিশক্তি বা স্থিতিশক্তি পরিবর্তিত হয় না এবং যার একমাত্র কাজ হলো চাপবলগুলির কাজ। পাঠ ৪-এর ফলগুলি দেয়

পরবর্তী গণনাগুলিতে রূপান্তরটি কোয়াসি-স্থিতিশীল বলেও ধরা হবে: তখন তন্ত্রটি সাম্যাবস্থার পৃষ্ঠে একটি পথ অনুসরণ করে। এরপর আমরা আরও ধরে নেব যে বাহ্যিক চাপ $P_{\mathrm{ext}}$-কে গ্যাসের চাপ $P$-এর সঙ্গে অভিন্ন করা যায়। এই অনুমানটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ: আকস্মিক রূপান্তরে গ্যাসের চাপ সুষম নাও হতে পারে এবং $P_{\mathrm{ext}}$-এর জায়গায় $P$ বসানো ভুল। দ্বিতীয় সূত্র এবং তথাকথিত প্রত্যাবর্তী ও অপ্রত্যাবর্তী রূপান্তর অধ্যয়নের সময় আমরা এই অনুমানে ফিরে আসব।

2.1. সমআয়তন রূপান্তর

সমআয়তন রূপান্তরে $dV=0$। তাই চাপবলগুলির কাজ শূন্য: $W=0$। প্রথম সূত্র তখন দেয়

গ্যাস তাপ গ্রহণ করলে ($Q>0$) তার তাপমাত্রা বাড়ে, এবং বিপরীতটিও সত্য। একটি ওভেনের ভিতরের বায়ু গরম করলে মূলত এটিই ঘটে (ওভেনটিকে বদ্ধ ধরে নিলে, যদিও সেটি পুরোপুরি বদ্ধ নয়)।

2.2. সমতাপ রূপান্তর

তাপমাত্রা $T=T_0$ ধ্রুব হলে $\Delta U=0$, কারণ $U$ শুধু $T$-এর উপর নির্ভর করে। তাই $Q=-W$। $P=\frac{nRT_0}{V}$ ব্যবহার করলে গ্যাসের গৃহীত কাজ

$$W =- \int_{V_A}^{V_B}P\,dV = - \int_{V_A}^{V_B}\frac{nRT_0}{V}\,dV$$

হয়, যা দেয়

প্রসারণে $V_B>V_A$ এবং তাই $W<0$: গ্যাস কাজ সরবরাহ করে এবং তাপ হিসেবে সমান পরিমাণ শক্তি গ্রহণ করে ($Q = - W >0$)। সমতাপ প্রসারণের এই পর্যায়টি আদর্শ শক্তি-উৎপাদক চক্রে প্রায়ই ব্যবহৃত হবে। সংকোচনে চিহ্নগুলি বিপরীত হয়।

2.3. সমচাপ রূপান্তর

স্থির চাপ $P=P_0$-এ গ্যাসের গৃহীত কাজ হলো

অন্যভাবে, অবস্থা সমীকরণ $PV=nRT$ দেয় $P_0(V_B-V_A)=nR(T_B-T_A)$, এবং তাই $W=-nR\Delta T$-ও হয়। যেহেতু $Q=\Delta U-W$, তাই পাওয়া যায়

এই রাশিটি স্বাভাবিকভাবেই $c_P$ দিয়ে নির্দেশিত স্থির চাপে মোলার তাপধারণ ক্ষমতা প্রবর্তনের দিকে নিয়ে যায়; সমচাপ রূপান্তরে $Q=nc_P\Delta T$। আদর্শ গ্যাসের জন্য

সম্পর্কটি পাওয়া যায়, যা পরে আবার দেখব (মেয়ারের সম্পর্ক)। আরও একটি অনুপাত প্রবর্তন করা হয়:

একে গ্যাসের রুদ্ধতাপীয় সূচক বলা হয়। মেয়ারের সম্পর্ক থেকে $\gamma >1$। $c_V=3R/2$-বিশিষ্ট একপরমাণুক গ্যাসের জন্য $c_P=5R/2$ ও $\gamma=5/3$ পাওয়া যায়। $c_V=5R/2$-বিশিষ্ট দ্বিপরমাণুক গ্যাসের জন্য $c_P=7R/2$ ও $\gamma=7/5$। যেহেতু $c_P=c_V+R$, এই সম্পর্কগুলি উল্টে পাওয়া যায়

$$\boxed{ c_V=\frac{R}{\gamma-1}, \qquad c_P=\frac{\gamma R}{\gamma-1} }$$

যা গণনায় প্রায়ই খুব উপযোগী।

পাঠ ৮-এ $c_V$ ও $c_P$ তাপধারণ ক্ষমতা, তাদের সাধারণ সংজ্ঞা এবং ব্যাখ্যা আরও নিয়মিতভাবে আলোচনা করব। আপাতত শুধু মনে রাখা যথেষ্ট যে একই পরিমাণ গ্যাসের তাপমাত্রা একই মানে বাড়াতে স্থির চাপে স্থির আয়তনের চেয়ে বেশি শক্তি লাগে: প্রথম ক্ষেত্রে গ্যাসের অনিবার্য প্রসারণের সময় গৃহীত শক্তির একাংশ কাজ হিসেবে পরিবেশে ফিরিয়ে দেওয়া হয়।

2.4. রুদ্ধতাপীয় রূপান্তর

এখন এমন একটি রুদ্ধতাপীয় রূপান্তর বিবেচনা করি, যার জন্য $Q=0$। আগের ক্ষেত্রগুলির বিপরীতে, প্রাথমিক ও চূড়ান্ত অবস্থার মধ্যে $\Delta U$ ও $W$-এর রাশি সরাসরি পাওয়া যায় না, কারণ $\Delta U=W$ হলেও কাজটি লেখা হয়

$$W=-\int_A^B P\,dV,$$

এবং আয়তনের সঙ্গে চাপ $P$ কীভাবে বদলায় তা এখনও নির্ধারিত নয়। তার জন্য প্রথম সূত্রের অন্তরক রূপে ফিরতে হবে, যা রূপান্তরের পথ ধরে $U$, $P$ ও $V$-এর অতিক্ষুদ্র পরিবর্তনগুলিকে সম্পর্কিত করে। পরের নিষ্পন্নকরণটি একটি অতি পরিচিত অনুশীলনী, যা প্রায়ই “প্রথম সূত্র থেকে আদর্শ গ্যাসের লাপ্লাসের সূত্রগুলি পুনরুদ্ধার করো” আকারে দেওয়া হয়। নিচের গণনাগুলি সম্পূর্ণভাবে নিজে আবার করার বিশেষ পরামর্শ দেওয়া হচ্ছে।

যেহেতু $\delta Q=0$, প্রথম সূত্র দেয়

$$dU=\delta W=-P\,dV.$$

এখানে অধ্যয়ন করা আদর্শ গ্যাসের জন্য $dU=n c_V\,dT$। তাই $n c_V\,dT=-P\,dV$। $PV=nRT$, অর্থাৎ $P=nRT/V$ ব্যবহার করে এবং $n$ সরল করলে অন্তরক সমীকরণটি পাওয়া যায়:

$$c_V\frac{dT}{T}=-R\frac{dV}{V}.$$

এটি সরাসরি সমাকলিত হয়:

$$c_V\ln T+R\ln V=\mathrm{const}.$$

$c_V$ দিয়ে ভাগ করি এবং লক্ষ করি যে

$$\frac{R}{c_V} = \frac{c_P-c_V}{c_V} = \gamma-1.$$

তাই পাওয়া যায়

$$\ln T+(\gamma-1)\ln V=\mathrm{const},$$

অর্থাৎ

এই সম্পর্কে আবার $PV=nRT$ বসিয়ে আরও দুটি সমতুল্য রূপ পাওয়া যায়। পরস্পর সমতুল্য তিনটি লাপ্লাসের সূত্র এভাবে লেখা হয়:

বাস্তবে অনুশীলনীর উপাত্ত অনুযায়ী এক বা অন্য রূপটি ব্যবহার করা হবে। কাজটি বিভিন্নভাবে গণনা করা যায়। সবচেয়ে সরাসরি পদ্ধতি হলো প্রথম সূত্র ব্যবহার করা: যেহেতু $Q=0$, তাই $W=\Delta U$; সুতরাং

প্রাথমিক ও চূড়ান্ত তাপমাত্রা জানা থাকলে এই রাশিটি উপযোগী। চাপবলগুলি সরাসরি সমাকলন করেও কাজটি আবার পাওয়া যায়। লাপ্লাসের সূত্র $PV^\gamma=\mathrm{const}$ রূপান্তরের পথ ধরে $P=K/V^\gamma$ লিখতে দেয়, যেখানে $K=P_AV_A^\gamma=P_BV_B^\gamma$। তখন

$$W=-\int_{V_A}^{V_B}P\,dV =-K\int_{V_A}^{V_B}V^{-\gamma}\,dV =\frac{K}{\gamma-1} \left(V_B^{1-\gamma}-V_A^{1-\gamma}\right).$$

প্রাথমিক ও চূড়ান্ত আয়তন জানা থাকলে এই রাশিটি উপযোগী। আরও লক্ষ করি, $KV_A^{1-\gamma}=P_AV_A$ এবং $KV_B^{1-\gamma}=P_BV_B$; ফলে আরও পাওয়া যায়

এই সব রাশিই সমতুল্য। রুদ্ধতাপীয় প্রসারণে গ্যাস কাজ সরবরাহ করে: $W<0$। তার অভ্যন্তরীণ শক্তি কমে এবং তাপমাত্রা হ্রাস পায়। বিপরীতভাবে, রুদ্ধতাপীয় সংকোচন তার তাপমাত্রা বাড়ায়।

3. ক্লাপেরন লেখচিত্র

গ্যাসের রূপান্তরগুলিকে কল্পনা করতে $(P,V)$ সমতলে উপস্থাপন অত্যন্ত উপযোগী; এখানে প্রতিটি বিন্দু একটি সাম্যাবস্থার সঙ্গে সঙ্গত, যা অনুভূমিক অক্ষে আয়তন $V$ এবং উল্লম্ব অক্ষে চাপ $P$ দ্বারা চিহ্নিত। এই উপস্থাপনাকে ক্লাপেরন লেখচিত্র বলা হয়।

প্রতিটি বিন্দুতে তাপমাত্রা অবস্থা সমীকরণ $PV=nRT$ দ্বারা নির্ধারিত। আমরা সবসময় একটি বদ্ধ তন্ত্র বিবেচনা করি বলে $n$ ধ্রুব এবং সাধারণত প্রশ্নে দেওয়া থাকে। গুরুত্বপূর্ণ বিষয় হলো $T$ $PV$ গুণফলের সমানুপাতিক: তাই বিন্দুটি লেখচিত্রের এমন অঞ্চলে যত দূরে থাকে যেখানে এই গুণফল বড়, সাধারণভাবে উপরে ও ডান দিকে, তাপমাত্রা তত বেশি।

আগে করা অনুমানগুলির অধীনে গ্যাসের একটি রূপান্তরকে প্রাথমিক অবস্থা $A$ থেকে চূড়ান্ত অবস্থা $B$-কে সংযোগকারী একটি রেখা দিয়ে দেখানো হয়। এভাবে ক্লাপেরন লেখচিত্র উপরে অধ্যয়ন করা রূপান্তরগুলির একটি অত্যন্ত সুবিধাজনক জ্যামিতিক উপস্থাপনা দেয়।

3.1. পরিচিত রূপান্তরগুলির উপস্থাপন

উপরে দেখা চারটি রূপান্তর $(P,V)$ সমতলে বিশেষ সরল রূপ নেয়।

$V=V_0$-বিশিষ্ট সমআয়তন রূপান্তর একটি উল্লম্ব রেখাংশ দিয়ে, আর $P=P_0$-বিশিষ্ট সমচাপ রূপান্তর একটি অনুভূমিক রেখাংশ দিয়ে দেখানো হয়।

সমতাপ রূপান্তরের জন্য অবস্থা সমীকরণ দেয় $P(V)=nRT_0/V$: তাই রেখাটি একটি অধিবৃত্তের শাখা।

শেষে, রুদ্ধতাপীয় রূপান্তর লাপ্লাসের সূত্র $PV^\gamma=\mathrm{const}$, অর্থাৎ $P=K/V^\gamma$ মেনে চলে। যেহেতু $\gamma>1$, একটি রুদ্ধতাপীয় রেখায় আয়তনের সঙ্গে চাপ একটি সমতাপ রেখার তুলনায় দ্রুত কমে। একই বিন্দুতে ঢালগুলি তুলনা করে এটি সরাসরি দেখা যায়:

$$\left(\frac{dP}{dV}\right)_{\mathrm{isoth}} =-\frac{P}{V}, \qquad \left(\frac{dP}{dV}\right)_{\mathrm{ad}} =-\gamma\frac{P}{V}.$$

তাই রুদ্ধতাপীয় রেখাটি সমতাপ রেখার চেয়ে বেশি “খাড়া”।

3.2. একই দুটি অবস্থার মধ্যকার দুই পথ

ক্লাপেরন লেখচিত্র আগের পাঠে প্রতিষ্ঠিত একটি মৌলিক ধর্মকে সুস্পষ্টভাবে দেখায়: $U$ একটি অবস্থা অপেক্ষক, কিন্তু $Q$ ও $W$ সম্পাদিত রূপান্তরের উপর নির্ভর করে।

উদাহরণ হিসেবে দুটি অবস্থা বিবেচনা করি:

$$A=(P_0,V_0), \qquad B=\left(\frac{P_0}{2},2V_0\right).$$

আদর্শ গ্যাসের সমীকরণ দেয় $T_A=T_B=T_0$, যেখানে $T_0=P_0V_0/(nR)$। যেহেতু আদর্শ গ্যাসের অভ্যন্তরীণ শক্তি শুধু তার তাপমাত্রার উপর নির্ভর করে,

$$\boxed{\Delta U_{A\to B}=0}$$

$A$ থেকে $B$-কে সংযোগকারী রূপান্তর যাই হোক না কেন। এখন চিত্র 2-এ দেখানো দুটি পথ তুলনা করি।

প্রথম পথ $\mathcal P_1$, যা একটি প্রত্যক্ষ সমতাপ প্রসারণ, তার জন্য

$$W_1=-nRT_0\ln 2=-P_0V_0\ln 2.$$

পাওয়া যায়। যেহেতু $\Delta U=0$, তাই $Q_1=-W_1=P_0V_0\ln 2$।

দ্বিতীয় পথ $\mathcal P_2$-তে প্রথমে সমচাপ রূপান্তর $A\to C$, তারপর সমআয়তন রূপান্তর $C\to B$ করা হয়। প্রথম শাখায় গৃহীত কাজ $W_{AC}=-P_0V_0$, আর $W_{CB}=0$। তাই

$$W_2=-P_0V_0, \qquad Q_2=P_0V_0.$$

শেষ পর্যন্ত পাওয়া যায়

দুটি পথের প্রান্ত একই, তাই অভ্যন্তরীণ শক্তির পরিবর্তনও একই; কিন্তু তারা ভিন্ন কাজ এবং প্রথম সূত্র অনুযায়ী ভিন্ন তাপ স্থানান্তর দেয়।

3.3. রেখার নিচের ক্ষেত্রফল হিসেবে কাজ

কাজের পথ-নির্ভরতার একটি সরাসরি জ্যামিতিক ব্যাখ্যা আছে। ক্লাপেরন লেখচিত্রে দেখানো কোনো কোয়াসি-স্থিতিশীল রূপান্তরের জন্য গৃহীত কাজ

হয়। $\int_A^B P\,dV$ সমাকলটি রূপান্তর বর্ণনাকারী রেখার নিচের বীজগাণিতিক ক্ষেত্রফল প্রকাশ করে। আমাদের চিহ্নের রীতি অনুসারে গ্যাসের গৃহীত কাজ এই ক্ষেত্রফলের বিপরীত।

এখানে মনে রাখা অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ যে সীমাগুলির ক্রম সমাকলের চিহ্ন নির্ধারণ করে। $A$ থেকে $B$-এর দিকে প্রসারণে, যেখানে $V_B>V_A$,

$$W[A\to B]=-\int_{V_A}^{V_B}P\,dV<0 :$$

গ্যাস তার পরিবেশকে কাজ সরবরাহ করে। বিপরীত সংকোচনে সীমাগুলি পরস্পর বদলে যায় এবং

$$W[B\to A] =-\int_{V_B}^{V_A}P\,dV =+\int_{V_A}^{V_B}P\,dV>0 :$$

গ্যাস কাজ গ্রহণ করে। তাই ক্লাপেরন লেখচিত্রে আঁকা প্রতিটি রেখার অতিক্রমের দিক একটি তীর দিয়ে নির্দেশ করা অপরিহার্য।

এই ব্যাখ্যা চিত্র 2-এর দুটি পথ কেন ভিন্ন কাজ দেয় তাও খুব সহজে বোঝায়: দুটি রেখার নিচের ক্ষেত্রফল সমান নয়।

3.4. শক্তি-উৎপাদক ও শীতলীকরণ চক্র

চক্রীয় রূপান্তরে তন্ত্র তার প্রাথমিক অবস্থায় ফিরে আসে। তাই চক্রটি ক্লাপেরন লেখচিত্রে একটি বদ্ধ রেখা দিয়ে দেখানো হয়।

যেহেতু $U$ একটি অবস্থা অপেক্ষক, $\Delta U_{\mathrm{cycle}}=0$। তাই প্রথম সূত্র দেয় $Q_{\mathrm{cycle}}=-W_{\mathrm{cycle}}$। অন্যদিকে,

আগের জ্যামিতিক ব্যাখ্যাটি তখন বিশেষ সরল রূপ নেয়: কাজের পরম মান চক্রের আবদ্ধ ক্ষেত্রফলের সমান। এটি দেখতে একটি ঊর্ধ্ব শাখা $P_+(V)$ বিবেচনা করি, যা $V_1$ থেকে $V_2$-এর দিকে অতিক্রান্ত হয়, যেখানে $V_1<V_2$; এবং চিত্র 4-এর মতো বিপরীত দিকে অতিক্রান্ত একটি নিম্ন শাখা $P_-(V)$ দিয়ে গঠিত চক্র বিবেচনা করি। তখন

$$\oint P\,dV = \int_{V_1}^{V_2}P_+(V)\,dV + \int_{V_2}^{V_1}P_-(V)\,dV = \int_{V_1}^{V_2} \bigl[P_+(V)-P_-(V)\bigr]\,dV.$$

এটি ঊর্ধ্ব শাখার নিচের ক্ষেত্রফল থেকে নিম্ন শাখার নিচের ক্ষেত্রফল বাদ দেওয়া, অর্থাৎ চক্রের আবদ্ধ ক্ষেত্রফল। এখানে বিবেচিত ঘড়ির কাঁটার দিকের অতিক্রমে এই সমাকল ধনাত্মক, তাই গৃহীত কাজ ঋণাত্মক।

শক্তি-উৎপাদক চক্রের জন্য প্রথম সূত্র দেয় $Q_{\mathrm{cycle}}=-W_{\mathrm{cycle}}>0$: সমগ্র চক্রে গ্যাস তার পরিবেশকে যে কাজ সরবরাহ করে তার সমান নিট পরিমাণ তাপ গ্রহণ করে।