দুটি খণ্ডের মধ্যে যন্ত্র: সর্বাধিক উদ্ধারযোগ্য কাজ

প্রশ্ন 1। খণ্ডগুলি অনমনীয় এবং কাজ গ্রহণ করে না। তাই শক্তির পরিবর্তন গৃহীত তাপের সমান:

$$C_A\,\mathrm dT_A=-\delta Q_A,\qquad C_B\,\mathrm dT_B=-\delta Q_B.$$

যন্ত্র প্রাথমিক অবস্থায় ফেরে। তার শক্তির হিসাব দেয় $0=\delta Q_A+\delta Q_B+\delta W$, অর্থাৎ

$$\delta W=-(\delta Q_A+\delta Q_B)<0.$$

দক্ষতা উদ্ধার করা কাজ ও A থেকে গৃহীত তাপের অনুপাত। $\delta W<0$ হওয়ায় $|\delta W|=-\delta W$, তাই

$$\eta=\frac{|\delta W|}{\delta Q_A} =1+\frac{\delta Q_B}{\delta Q_A}=1-\frac{T_B}{T_A} \quad\Longrightarrow\quad \delta Q_B=-\frac{T_B}{T_A}\delta Q_A.$$

A খণ্ড $-\delta Q_A<0$ এবং B খণ্ড $-\delta Q_B>0$ গ্রহণ করে। তাপধারণক্ষমতা ধনাত্মক, তাই $\mathrm dT_A<0$ ও $\mathrm dT_B>0$। সুতরাং পার্থক্য কমে:

$$\mathrm d(T_A-T_B) =-\delta Q_A\left(\frac1{C_A}+\frac{T_B}{C_BT_A}\right)<0.$$

$T_B/T_A$ অনুপাত বাড়ে, কারণ লব বাড়ে এবং হর কমে। দক্ষতা $1-T_B/T_A$ ধীরে ধীরে কমে। $T_A=T_B$ হলে তা শূন্য: তাপমাত্রার পার্থক্য শেষ, এবং এই খণ্ডগুলির মধ্যে কোনো চক্রাকার ইঞ্জিন আর কাজ দিতে পারে না।

প্রশ্ন 2। খণ্ডগুলির হিসাব দেয় $\delta Q_A=-C_A\,\mathrm dT_A$ ও $\delta Q_B=-C_B\,\mathrm dT_B$। আগের সম্পর্কে বসাই:

$$-C_B\,\mathrm dT_B =-\frac{T_B}{T_A}(-C_A\,\mathrm dT_A) =\frac{T_B}{T_A}C_A\,\mathrm dT_A.$$

চিহ্ন বদলে তারপর $T_B$ দিয়ে ভাগ করলে,

$$C_B\,\mathrm dT_B=-\frac{T_B}{T_A}C_A\,\mathrm dT_A, \qquad C_A\frac{\mathrm dT_A}{T_A} +C_B\frac{\mathrm dT_B}{T_B}=0.$$

প্রাথমিক তাপমাত্রা থেকে যেকোনো সংখ্যক চক্রের পরে পাওয়া তাপমাত্রা পর্যন্ত সমাকলন করি:

$$C_A\int_{T_{A,0}}^{T_A}\frac{\mathrm dT}{T} +C_B\int_{T_{B,0}}^{T_B}\frac{\mathrm dT}{T}=0.$$

$1/T$-এর আদিম অপেক্ষক $\ln T$; সীমা বসালে

$$C_A\ln\frac{T_A}{T_{A,0}}+C_B\ln\frac{T_B}{T_{B,0}}=0.$$

এই সম্পর্ক প্রত্যাবর্তী পরিচালনায় মোট এনট্রপি সংরক্ষণ বোঝায়। থামলে $T_A=T_B=T_r$। $\ln(T_r/T_{B,0})=\ln(T_r/T_{A,0})+\ln(T_{A,0}/T_{B,0})$ লিখে,

$$(C_A+C_B)\ln\frac{T_r}{T_{A,0}} =C_B\ln\frac{T_{B,0}}{T_{A,0}}.$$

$C_A+C_B$ দিয়ে ভাগ করে সূচকীয় অপেক্ষক নিলে পাই

$$\boxed{T_r=T_{A,0} \left(\frac{T_{B,0}}{T_{A,0}}\right)^{C_B/(C_A+C_B)}.}$$

খণ্ডগুলির তাপধারণক্ষমতা সীমিত: যেকোনো বিনিময় করা তাপ $\mathrm dT=\delta Q_{\mathrm{block}}/C$ অনুযায়ী তাপমাত্রা বদলায়, যেখানে $\delta Q_{\mathrm{block}}$ বিবেচ্য খণ্ডের গৃহীত তাপ। তাই প্রাথমিক দক্ষতা পুরো পরীক্ষায় প্রযোজ্য থাকে না। ধ্রুব তাপমাত্রার আসন্নীকরণ কেবল প্রতিটি অসীম ক্ষুদ্র চক্রে সত্য, প্রতিবার নতুন তাপমাত্রায়।

প্রশ্ন 3। «খণ্ডগুলি + যন্ত্র» রুদ্ধতাপীয়, কিন্তু কাজ দেয়: তাই বিচ্ছিন্ন নয়। যন্ত্র শক্তি সঞ্চয় করে না, ফলে প্রথম সূত্র দেয়

$$C_A(T_r-T_{A,0})+C_B(T_r-T_{B,0})=W_{\mathrm{rev}}.$$

সমগ্রের গৃহীত কাজ যন্ত্রের গৃহীত কাজই। পদগুলি গুছিয়ে,

$$W_{\mathrm{rev}}=(C_A+C_B)T_r-C_AT_{A,0}-C_BT_{B,0}<0.$$

বাইরে উদ্ধার করা কাজ তার পরম মান:

$$\boxed{|W_{\mathrm{rev}}|=-W_{\mathrm{rev}} =C_AT_{A,0}+C_BT_{B,0}-(C_A+C_B)T_r.}$$

প্রতিটি গুণফল $CT$-এর একক শক্তির একক জুল। প্রত্যাবর্তীতা কেন সর্বোচ্চ কাজ দেয় বুঝতে এমন যন্ত্র ধরি যা এনট্রপি উৎপন্ন করে এবং খণ্ডগুলিকে অভিন্ন তাপমাত্রা $T_*$-এ আনে। খণ্ডগুলির এনট্রপির হিসাব অনুযায়ী

$$C_A\ln\frac{T_*}{T_{A,0}}+C_B\ln\frac{T_*}{T_{B,0}}\geq0.$$

শূন্যের সমান প্রত্যাবর্তী হিসাব বিয়োগ করলে থাকে $(C_A+C_B)\ln(T_*/T_r)\geq0$, তাই $T_*\geq T_r$। এই ইঞ্জিন পরিচালনায় গৃহীত কাজ $W_*=(C_A+C_B)T_*-C_AT_{A,0}-C_BT_{B,0}$, সুতরাং

$$W_*-W_{\mathrm{rev}}=(C_A+C_B)(T_*-T_r)\geq0.$$

তাই $W_{\mathrm{rev}}\leq W_*\leq0$: প্রত্যাবর্তী ক্ষেত্রে গৃহীত কাজ সবচেয়ে ঋণাত্মক। তার পরম মান তাই সর্বোচ্চ, $|W_*|\leq|W_{\mathrm{rev}}|$।

$C_A=C_B=C$ হলে সূচক $1/2$, তাই

$$T_r=T_{A,0}\sqrt{\frac{T_{B,0}}{T_{A,0}}} =\sqrt{T_{A,0}T_{B,0}}, W_{\mathrm{rev}}=-C\left(\sqrt{T_{A,0}}-\sqrt{T_{B,0}}\right)^2<0, |W_{\mathrm{rev}}|=C\left(T_{A,0}+T_{B,0} -2\sqrt{T_{A,0}T_{B,0}}\right) =C\left(\sqrt{T_{A,0}}-\sqrt{T_{B,0}}\right)^2>0.$$

$a^2+b^2-2ab=(a-b)^2$ অভেদটি চেনা যায়। প্রাথমিক তাপমাত্রা সমান হলে কাজ শূন্য।

প্রশ্ন 4। দেওয়া রাশি একক ভরপ্রতি তাপধারণক্ষমতা। প্রতিটি খণ্ডের মোট তাপধারণক্ষমতা তাই

$$C=mc=1{,}0\times450=450\ \mathrm{J\,K^{-1}}.$$

বর্গমূলের ভেতরের তাপমাত্রা কেলভিনে হতে হবে:

$$T_{A,0}=60+273{,}15=333{,}15\ \mathrm K,\qquad T_{B,0}=20+273{,}15=293{,}15\ \mathrm K.$$

প্রশ্ন 3-এর ফলে বসালে,

$$|W_{\mathrm{rev}}| =450\left(\sqrt{333{,}15}-\sqrt{293{,}15}\right)^2 \simeq575\ \mathrm J=0{,}575\ \mathrm{kJ}.$$

সর্বাধিক উদ্ধারযোগ্য কাজ তাই প্রায় $0{,}58\ \mathrm{kJ}$। গৃহীত শক্তির চিহ্নরীতিতে যন্ত্রের গৃহীত কাজ $W_{\mathrm{rev}}\simeq-575\ \mathrm J$: ঋণাত্মক চিহ্ন বোঝায় যে যন্ত্র এই শক্তি বাইরে দেয়।