কার্নো চক্র: প্রতিটি শাখায় শক্তি ও এনট্রপি

প্রশ্ন 1। চিত্রে $AB$ ও $CD$ রুদ্ধতাপীয়, $BC$ উষ্ণ সমতাপরেখায় এবং $DA$ শীতল সমতাপরেখায় রয়েছে। চক্রটি ঘড়ির কাঁটার দিকে চলে। $AB$ রুদ্ধতাপীয় শাখায় লাপ্লাসের সূত্র থেকে

$$T_{\mathrm{C}}V_A^{\gamma-1}=T_{\mathrm{H}}V_B^{\gamma-1},\qquad \left(\frac{V_A}{V_B}\right)^{\gamma-1}=\frac{T_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{C}}}.$$

$1/(\gamma-1)$ ঘাতে তুলে এবং $b=(T_{\mathrm{H}}/T_{\mathrm{C}})^{1/(\gamma-1)}$ বসিয়ে পাই $V_A=bV_B$। একইভাবে $CD$ শাখায়,

$$T_{\mathrm{H}}V_C^{\gamma-1}=T_{\mathrm{C}}V_D^{\gamma-1} \quad\Longrightarrow\quad V_D=bV_C=brV_B.$$

সুতরাং $V_D/V_A=(brV_B)/(bV_B)=r$: দুই সমতাপীয় শাখায় আয়তনের অনুপাত একই, কিন্তু সেগুলি বিপরীত দিকে অতিক্রম করা হয়।

প্রশ্ন 2। প্রতিটি প্রত্যাবর্তী রুদ্ধতাপীয় শাখায় $\delta Q_{\mathrm{rev}}=0$ এবং $\mathrm dS=\delta Q_{\mathrm{rev}}/T=0$:

$$Q_{AB}=Q_{CD}=0,\qquad \Delta S_{AB}=\Delta S_{CD}=0.$$

আদর্শ গ্যাসের সমতাপীয় শাখায় $\mathrm dU=0$, তাই $\delta Q_{\mathrm{rev}}=P\,\mathrm dV=nRT\,\mathrm dV/V$। উষ্ণ প্রসারণের জন্য,

$$\begin{aligned} Q_{BC}&=nRT_{\mathrm{H}}\int_{V_B}^{rV_B}\frac{\mathrm dV}{V} =nRT_{\mathrm{H}}[\ln V]_{V_B}^{rV_B}=nRT_{\mathrm{H}}\ln r>0,\\ \Delta S_{BC}&=\frac{Q_{BC}}{T_{\mathrm{H}}}=nR\ln r. \end{aligned}$$

শীতল সংকোচনের জন্য $V_A/V_D=1/r$:

$$\begin{aligned} Q_{DA}&=nRT_{\mathrm{C}}\int_{V_D}^{V_A}\frac{\mathrm dV}{V} =nRT_{\mathrm{C}}[\ln V]_{V_D}^{V_A}\\ &=nRT_{\mathrm{C}}\ln\frac{V_A}{V_D}=-nRT_{\mathrm{C}}\ln r<0,\\ \Delta S_{DA}&=\frac{Q_{DA}}{T_{\mathrm{C}}}=-nR\ln r. \end{aligned}$$

$(S,T)$ চিত্রে $AB$ ও $CD$ শাখায় এনট্রপি ধ্রুব: এই শাখা দুটি উল্লম্ব। $BC$ ও $DA$ সমতাপীয় শাখা অনুভূমিক। $S_A$-কে আপেক্ষিক মূলবিন্দু নিলে স্থানাঙ্কগুলি হয়

$$\begin{aligned} \begin{array}{c|cc} \text{অবস্থা}&S-S_A&T\\ \hline A&0&T_{\mathrm{C}}\\ B&0&T_{\mathrm{H}}\\ C&nR\ln r&T_{\mathrm{H}}\\ D&nR\ln r&T_{\mathrm{C}} \end{array} \end{aligned}$$

ঘড়ির কাঁটার দিকে অতিক্রান্ত একটি আয়তক্ষেত্র পাওয়া যায়, যার প্রস্থ $nR\ln r$ ও উচ্চতা $T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}$।

প্রশ্ন 3। এক চক্রে $\Delta U=0$। গৃহীত শক্তিকে ধনাত্মক ধরলে প্রথম সূত্র দেয়

$$W=-(Q_{AB}+Q_{BC}+Q_{CD}+Q_{DA}) =-nR(T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}})\ln r<0.$$

প্রদত্ত কাজ $-W>0$ এবং উষ্ণ তাপাধার থেকে গৃহীত তাপ $Q_{BC}>0$। তাই দক্ষতা

$$\eta=\frac{-W}{Q_{BC}} =\frac{nR(T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}})\ln r}{nRT_{\mathrm{H}}\ln r} =\frac{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}=1-\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}.$$

প্রতিটি তাপাধার গ্যাসকে যে তাপ দেয়, তার বিপরীত চিহ্নের তাপ গ্রহণ করে:

$$\Delta S_{\mathrm{th,H}}=\frac{-Q_{BC}}{T_{\mathrm{H}}}=-nR\ln r,\qquad \Delta S_{\mathrm{th,C}}=\frac{-Q_{DA}}{T_{\mathrm{C}}}=nR\ln r.$$

গ্যাস প্রাথমিক অবস্থায় ফেরে, তাই $\Delta S_{\mathrm{gas}}=0$। তিনটি পরিবর্তনের যোগফল শূন্য: কোনো এনট্রপি উৎপন্ন হয় না। বাইরে দেওয়া কাজ এনট্রপি বহন করে না।

প্রশ্ন 4। যন্ত্রের জন্য গৃহীত শক্তিকে ধনাত্মক ধরার রীতি বজায় রাখি: $Q_{\mathrm{H}}>0$ উষ্ণ তাপাধার থেকে গৃহীত তাপ, $Q_{\mathrm{C}}<0$ শীতল তাপাধার থেকে গৃহীত তাপ এবং $W<0$ এক চক্রে গৃহীত কাজ। তাপাধারগুলি বিপরীত তাপ $-Q_{\mathrm{H}}$ ও $-Q_{\mathrm{C}}$ গ্রহণ করে। তাদের মোট এনট্রপির পরিবর্তনই উৎপন্ন এনট্রপি, কারণ যন্ত্র প্রাথমিক অবস্থায় ফেরে এবং বাইরের পরিবেশ কেবল কাজ পায়:

$$S_{\mathrm{i}}=-\frac{Q_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{H}}}-\frac{Q_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}.$$

$T_{\mathrm{C}}$ দিয়ে গুণ করে তারপর $Q_{\mathrm{C}}$ আলাদা করলে,

$$T_{\mathrm{C}}S_{\mathrm{i}}=-\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}Q_{\mathrm{H}}-Q_{\mathrm{C}}, \qquad Q_{\mathrm{C}}=-\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}Q_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}S_{\mathrm{i}}.$$

প্রথম সূত্র দেয় $0=Q_{\mathrm{H}}+Q_{\mathrm{C}}+W$। উদ্ধার করা কাজ $|W|=-W=Q_{\mathrm{H}}+Q_{\mathrm{C}}$, তাই

$$\eta=\frac{|W|}{Q_{\mathrm{H}}}=1+\frac{Q_{\mathrm{C}}}{Q_{\mathrm{H}}} =1-\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}-\frac{T_{\mathrm{C}}S_{\mathrm{i}}}{Q_{\mathrm{H}}}.$$

$T_{\mathrm{C}}>0$ ও $Q_{\mathrm{H}}>0$ হওয়ায় ধনাত্মক এনট্রপি উৎপাদন দক্ষতা কমায়।

প্রশ্ন 5। উষ্ণ তাপাধার থেকে গৃহীত তাপ দুই ইঞ্জিনের জন্য একই। প্রশ্ন 2 অনুযায়ী,

$$Q_{\mathrm{H}}=nRT_{\mathrm{H}}\ln r=1{,}0\times8{,}314\times500\times\ln3{,}4 \simeq5087\ \mathrm J.$$

প্রত্যাবর্তী ইঞ্জিনের দক্ষতা

$$\eta_{\mathrm{Carnot}}=1-\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}} =1-\frac{300}{500}=0{,}40=40\,\%.$$

প্রশ্ন 4 থেকে দুই দক্ষতার পার্থক্য:

$$\Delta\eta=\eta_{\mathrm{Carnot}}-\eta_{\mathrm{irr}} =\frac{T_{\mathrm{C}}S_{\mathrm{i}}}{Q_{\mathrm{H}}} \simeq\frac{300\times2{,}0}{5087}=0{,}118.$$

লব $T_{\mathrm{C}}S_{\mathrm{i}}=600\ \mathrm J$ একটি শক্তি, তাই অনুপাতটি মাত্রাহীন। হ্রাসের পরিমাণ $100\Delta\eta\simeq11{,}8$ শতাংশ পয়েন্ট। সুতরাং,

$$\eta_{\mathrm{irr}}=0{,}40-0{,}118\simeq0{,}282=28{,}2\,\%.$$

দক্ষতা $40\,\%$ থেকে $28{,}2\,\%$ হয়; $11{,}8$ পয়েন্ট হ্রাস মানে $11{,}8\,\%$ আপেক্ষিক হ্রাস নয়।