তাপগতিবিদ্যার সমাধানকৃত অনুশীলনী

আকস্মিক সংকোচনে ফিরে দেখা: এনট্রপির হিসাব

অনুশীলনী 26 · পাঠ 6 — তাপগতিবিদ্যার দ্বিতীয় সূত্র

  • এনট্রপি উৎপাদন
  • রুদ্ধতাপীয় সংকোচন
  • অপ্রত্যাবর্তীতা
  • সমএনট্রপীয়
  • এনট্রপির হিসাব
  • প্রতীকী তুলনা

প্রশ্ন

পাঠ 5-এর দুটি রুদ্ধতাপীয় সংকোচনের পরীক্ষা আবার বিবেচনা করি; প্রয়োজনীয় ফল এখানে মনে করানো হলো। S\mathcal S প্রস্থচ্ছেদের তাপরোধী উল্লম্ব সিলিন্ডারে nn মোল আদর্শ গ্যাস আছে। তার পিস্টনও তাপরোধী, ঘর্ষণহীন এবং উপেক্ষণীয় ভরের। মোলার তাপধারণক্ষমতা cVc_V ও cPc_P ধ্রুব, যেখানে

γ=cPcV>1,cV=Rγ−1,cP=cV+R.\gamma=\frac{c_P}{c_V}>1,\qquad c_V=\frac{R}{\gamma-1},\qquad c_P=c_V+R.

প্রথমে পিস্টনে কেবল বায়ুমণ্ডলীয় চাপ P0P_0 কাজ করে: গ্যাস A=(P0,V0,T0)A=(P_0,V_0,T_0) অবস্থায়, যেখানে P0V0=nRT0P_0V_0=nRT_0। MM ভরের অতিরিক্ত বোঝা বাহ্যিক চাপ বাড়িয়ে করে

P1=P0+MgS=xP0,x>1.P_1=P_0+\frac{Mg}{\mathcal S}=xP_0,\qquad x>1.

দুটি পরীক্ষাই AA থেকে শুরু হয়। প্রথমটিতে এক দানা বালি করে বোঝা যোগ ও অপসারণ করা হয়: গ্যাস প্রত্যাবর্তী রুদ্ধতাপীয় পথ A→B→AA\to B\to A অনুসরণ করে। দ্বিতীয়টিতে পুরো বোঝা একসঙ্গে রেখে B′B' সাম্য পর্যন্ত অপেক্ষা করি, তারপর একসঙ্গে সরিয়ে B"B" সাম্য পর্যন্ত অপেক্ষা করি। প্রতিটি আকস্মিক ধাপে বাহ্যিক চাপ ধ্রুব: বোঝা দেওয়ার সময় P1P_1 এবং সরানোর সময় P0P_0। ধরি গ্যাসে শক্তির অপচয়ে দোলন প্রশমিত হয়; প্রাথমিক ও অন্তিম অবস্থায় পিস্টন স্থির এবং শক্তি সঞ্চয় করে না।

দুটি সংকোচন A (মাঝে) থেকে শুরু হয়। বামে ধীরে বোঝা যোগ করে B; ধীরে সরালে A-এ ফেরা যায়। ডানে হঠাৎ বোঝা দিয়ে B'; হঠাৎ সরালে ভিন্ন অবস্থা B” হয়। চিত্রে সংকোচন দেখানো; চারটি অবস্থা নিচে দেওয়া।
চিত্র 1. দুটি সংকোচন AA (মাঝে) থেকে শুরু হয়। বামে ধীরে বোঝা যোগ করে BB; ধীরে সরালে AA-এ ফেরা যায়। ডানে হঠাৎ বোঝা দিয়ে B′B'; হঠাৎ সরালে ভিন্ন অবস্থা B"B" হয়। চিত্রে সংকোচন দেখানো; চারটি অবস্থা নিচে দেওয়া।

প্রত্যাবর্তী পথে লাপ্লাসের সূত্র এবং আকস্মিক পথে প্রথম সূত্র থেকে নিম্নলিখিত ফল পাওয়া গেছে। ধরি

θ=1+(γ−1)xγ,φ=1+(γ−1)/xγ.অবস্থাP/P0V/V0T/T0A111Bxx−1/γx(γ−1)/γB′xθ/xθB"1θφθφ\begin{aligned} \theta=\frac{1+(\gamma-1)x}{\gamma},\qquad \phi=\frac{1+(\gamma-1)/x}{\gamma}. \begin{array}{c|ccc} \text{অবস্থা} & P/P_0 & V/V_0 & T/T_0\\ \hline A & 1 & 1 & 1\\[3pt] B & x & x^{-1/\gamma} & x^{(\gamma-1)/\gamma}\\[3pt] B' & x & \theta/x & \theta\\[3pt] B" & 1 & \theta\phi & \theta\phi \end{array} \end{aligned}

বিশেষত,

θ>x(γ−1)/γ,φ>x−(γ−1)/γ,θφ−1=γ−1γ2(x−1)2x>0.\theta>x^{(\gamma-1)/\gamma},\qquad \phi>x^{-(\gamma-1)/\gamma},\qquad \theta\phi-1=\frac{\gamma-1}{\gamma^2}\frac{(x-1)^2}{x}>0.

সব ধাপ রুদ্ধতাপীয়: Q=0Q=0 ও W=ΔU=ncV(Tf−Ti)W=\Delta U=nc_V(T_f-T_i), গ্যাসের গৃহীত শক্তির চিহ্নরীতি মেনে। তাই,

WAB=ncVT0[x(γ−1)/γ−1],WBA=−WAB,WAB′=ncVT0(θ−1),WB′B"=ncVT0θ(φ−1).\begin{aligned} W_{AB}&=nc_VT_0\left[x^{(\gamma-1)/\gamma}-1\right], & W_{BA}&=-W_{AB},\\ W_{AB'}&=nc_VT_0(\theta-1), & W_{B'B"}&=nc_VT_0\theta(\phi-1). \end{aligned}

প্রত্যাবর্তী যাতায়াতের মোট কাজ শূন্য, কিন্তু আকস্মিক পথ WAB′B"=ncVT0(θφ−1)>0W_{AB'B"}=nc_VT_0(\theta\phi-1)>0 গ্রহণ করে।

  1. A→BA\to B ও B→AB\to A-এ এনট্রপির পরিবর্তন হিসাব করে প্রত্যাবর্তী যাতায়াতের এনট্রপির হিসাব করুন।
  2. ΔSAB′\Delta S_{AB'} হিসাব করে দেখান তা কঠোরভাবে ধনাত্মক। পরিবর্তনের কত অংশ বিনিময় হয় এবং কত অংশ উৎপন্ন হয়?
  3. আকস্মিক বোঝা অপসারণ B′→B"B'\to B"-এর জন্য একই কাজ করুন।
  4. সরাসরি ΔSAB"\Delta S_{AB"} হিসাব করে যাচাই করুন তা আগের দুই উৎপন্ন এনট্রপির যোগফল। A→B′→B"A\to B'\to B" পথ কি গ্যাসের একটি চক্র?
  5. দুই যাতায়াতের শক্তি ও এনট্রপির হিসাব তুলনা করুন। তাপ বিনিময় না হওয়া কেন এনট্রপি সংরক্ষণ বোঝায় না ব্যাখ্যা করুন।

ইঙ্গিত
আদর্শ গ্যাসের দুটি সাম্যাবস্থার মধ্যে,

ΔS=ncVln⁡TfTi+nRln⁡VfVi.\Delta S=nc_V\ln\frac{T_f}{T_i}+nR\ln\frac{V_f}{V_i}.

B′→B"B'\to B"-এর জন্য TB"/TB′=φT_{B"}/T_{B'}=\phi ও VB"/VB′=xφV_{B"}/V_{B'}=x\phi ব্যবহার করুন। প্রশ্নে দেওয়া অসমতাগুলি থেকে চিহ্ন নির্ধারণ করা যায়। প্রতিটি ধাপে Se=0S_{\mathrm{e}}=0।

বিস্তারিত সমাধান

সমাধান
প্রশ্ন 1। সারণি দেয় TB/T0=x(γ−1)/γT_B/T_0=x^{(\gamma-1)/\gamma} ও VB/V0=x−1/γV_B/V_0=x^{-1/\gamma}। এনট্রপির সূত্রে বসালে,

ΔSAB=ncVln⁡(x(γ−1)/γ)+nRln⁡(x−1/γ)=ncVγ−1γln⁡x−nRγln⁡x=nγ[cV(γ−1)−R]ln⁡x=0,\begin{aligned} \Delta S_{AB} &=nc_V\ln\left(x^{(\gamma-1)/\gamma}\right) +nR\ln\left(x^{-1/\gamma}\right)\\ &=nc_V\frac{\gamma-1}{\gamma}\ln x-\frac{nR}{\gamma}\ln x\\ &=\frac n\gamma[c_V(\gamma-1)-R]\ln x=0, \end{aligned}

কারণ cV(γ−1)=Rc_V(\gamma-1)=R। ফেরার পথ একই পথের বিপরীত, তাই ΔSBA=0\Delta S_{BA}=0। প্রতিটি ধাপে এবং পুরো যাতায়াতে Se=Si=ΔS=0S_{\mathrm{e}}=S_{\mathrm{i}}=\Delta S=0। গ্যাস AA অবস্থায় ফেরে।

প্রশ্ন 2। আকস্মিক সংকোচনে TB′/T0=θT_{B'}/T_0=\theta ও VB′/V0=θ/xV_{B'}/V_0=\theta/x। R=cV(γ−1)R=c_V(\gamma-1) এবং তারপর লগারিদমের ধর্ম ব্যবহার করে,

ΔSAB′=ncVln⁡θ+nRln⁡θx=ncV[ln⁡θ+(γ−1)(ln⁡θ−ln⁡x)]=ncV[γln⁡θ−(γ−1)ln⁡x]=ncVln⁡(θγxγ−1).\begin{aligned} \Delta S_{AB'} &=nc_V\ln\theta+nR\ln\frac{\theta}{x}\\ &=nc_V[\ln\theta+(\gamma-1)(\ln\theta-\ln x)]\\ &=nc_V[\gamma\ln\theta-(\gamma-1)\ln x]\\ &=nc_V\ln\left(\frac{\theta^\gamma}{x^{\gamma-1}}\right). \end{aligned}

প্রদত্ত অসমতা θ>x(γ−1)/γ\theta>x^{(\gamma-1)/\gamma} থেকে θγ>xγ−1\theta^\gamma>x^{\gamma-1}: লগারিদমের ভেতরের অনুপাত 1-এর বেশি, তাই ΔSAB′>0\Delta S_{AB'}>0। বিনিময় করা এনট্রপি শূন্য, তাই Si,AB′=ΔSAB′S_{\mathrm{i},AB'}=\Delta S_{AB'}। তাপ না নিয়েই উৎপাদনের মাধ্যমে গ্যাসের এনট্রপি বাড়ে।

প্রশ্ন 3। আকস্মিক অপসারণে এই ধাপের অন্তিম ও প্রাথমিক অবস্থার রাশিগুলির অনুপাত

TB"TB′=θφθ=φ,VB"VB′=θφθ/x=xφ.\frac{T_{B"}}{T_{B'}}=\frac{\theta\phi}{\theta}=\phi, \qquad \frac{V_{B"}}{V_{B'}}=\frac{\theta\phi}{\theta/x}=x\phi.

সুতরাং,

ΔSB′B"=ncVln⁡φ+nRln⁡(xφ)=ncV[ln⁡φ+(γ−1)(ln⁡x+ln⁡φ)]=ncV[γln⁡φ+(γ−1)ln⁡x]=ncVln⁡(φγxγ−1)>0.\begin{aligned} \Delta S_{B'B"} &=nc_V\ln\phi+nR\ln(x\phi)\\ &=nc_V[\ln\phi+(\gamma-1)(\ln x+\ln\phi)]\\ &=nc_V[\gamma\ln\phi+(\gamma-1)\ln x]\\ &=nc_V\ln\left(\phi^\gamma x^{\gamma-1}\right)>0. \end{aligned}

প্রকৃতপক্ষে φ>x−(γ−1)/γ\phi>x^{-(\gamma-1)/\gamma} থেকে φγxγ−1>1\phi^\gamma x^{\gamma-1}>1। এখানেও Se=0S_{\mathrm{e}}=0 ও Si,B′B"=ΔSB′B"S_{\mathrm{i},B'B"}=\Delta S_{B'B"}। এই প্রসারণে গ্যাস ঠান্ডা হয় (φ<1\phi<1), কিন্তু এনট্রপি বাড়ে: প্রসারণের পদ প্রাধান্য পায়।

প্রশ্ন 4। AA ও B"B" অবস্থায় চাপ একই এবং TB"/T0=VB"/V0=θφT_{B"}/T_0=V_{B"}/V_0=\theta\phi, তাই

ΔSAB"=ncVln⁡(θφ)+nRln⁡(θφ)=ncPln⁡(θφ)>0.\Delta S_{AB"}=nc_V\ln(\theta\phi)+nR\ln(\theta\phi) =nc_P\ln(\theta\phi)>0.

cP=cV+Rc_P=c_V+R ও θφ>1\theta\phi>1 ব্যবহার করা হয়েছে। এবার আগের দুটি ফল যোগ করি:

ΔSAB′+ΔSB′B"=ncV[γln⁡θ−(γ−1)ln⁡x+γln⁡φ+(γ−1)ln⁡x]=ncVγ(ln⁡θ+ln⁡φ)=ncPln⁡(θφ)=ΔSAB".\begin{aligned} \Delta S_{AB'}+\Delta S_{B'B"} &=nc_V[\gamma\ln\theta-(\gamma-1)\ln x\\ &\qquad+\gamma\ln\phi+(\gamma-1)\ln x]\\ &=nc_V\gamma(\ln\theta+\ln\phi)\\ &=nc_P\ln(\theta\phi)=\Delta S_{AB"}. \end{aligned}

ln⁡x\ln x-এর পদগুলি কাটাকাটি হয়। প্রতিটি ধাপ রুদ্ধতাপীয় বলে এই যোগফল দুই উৎপন্ন এনট্রপির যোগফলও। বাহ্যিক চাপ P0P_0-এ ফেরা গ্যাসের চক্র বন্ধ করার জন্য যথেষ্ট নয়: B"≠AB"\ne A, কারণ TB">T0T_{B"}>T_0 ও VB">V0V_{B"}>V_0।

প্রশ্ন 5। A→B→AA\to B\to A-এর জন্য Qtot=Wtot=ΔUtot=0Q_{\mathrm{tot}}=W_{\mathrm{tot}}=\Delta U_{\mathrm{tot}}=0 ও Si,tot=0S_{\mathrm{i},\mathrm{tot}}=0। A→B′→B"A\to B'\to B"-এর জন্য,

Qtot=0,Wtot=ΔUtot=ncVT0(θφ−1)>0,Se,tot=0,Si,tot=ΔStot=ncPln⁡(θφ)>0.Q_{\mathrm{tot}}=0,\qquad W_{\mathrm{tot}}=\Delta U_{\mathrm{tot}}=nc_VT_0(\theta\phi-1)>0, S_{\mathrm{e},\mathrm{tot}}=0,\qquad S_{\mathrm{i},\mathrm{tot}}=\Delta S_{\mathrm{tot}}=nc_P\ln(\theta\phi)>0.

প্রথম সূত্র অভ্যন্তরীণ শক্তি হিসেবে সঞ্চিত মোট কাজ বর্ণনা করে; দ্বিতীয় সূত্র উৎপন্ন এনট্রপি দিয়ে অপ্রত্যাবর্তীতা পরিমাপ করে। রুদ্ধতাপীয় প্রক্রিয়া কেবল তখনই সমএনট্রপীয়, যখন এনট্রপি উৎপন্ন করে না, যেমন এখানে প্রত্যাবর্তী ক্ষেত্রে।