একটি জলরাশিকে গরম করা: এক, দুই, তারপর $N$ তাপাধার

প্রশ্ন 1। চিত্রে প্রথমে $T_i$ তাপমাত্রার জল, $T_f$ তাপমাত্রার তাপাধার এবং তাপাধার থেকে জলের দিকে তাপের তির দেখানো আছে। একটি সীমানা বিচ্ছিন্ন সমগ্র $S+\text{পরিবেশ}$ ঘিরে রাখে। জল কাজ গ্রহণ না করে $T_f$ তাপমাত্রায় পৌঁছায়, তাই প্রথম সূত্র দেয়

$$Q_{\mathrm{water}}=\Delta U_{\mathrm{water}}=mc(T_f-T_i)>0.$$

জল—তাপাধার সমগ্র বিচ্ছিন্ন: এর মোট শক্তি সংরক্ষিত,

$$\Delta U_{\mathrm{water}}+\Delta U_{\mathrm{th}}=0.$$

যেহেতু কোনো বস্তুই কাজের বিনিময় করে না,

$$Q_{\mathrm{water}}+Q_{\mathrm{th}}=0,\qquad Q_{\mathrm{th}}=-Q_{\mathrm{water}}=-mc(T_f-T_i)<0.$$

তাপাধারের গৃহীত তাপ ঋণাত্মক: সেটি জলকে শক্তি দেয়।

প্রশ্ন 2। $T_i$ ও $T_f$-এর মধ্যে প্রত্যাবর্তী পথে জল $\delta Q_{\mathrm{rev}}=mc\,\mathrm dT$ গ্রহণ করে। এর এনট্রপির পরিবর্তন

$$\Delta S_{\mathrm{water}}=mc\int_{T_i}^{T_f}\frac{\mathrm dT}{T} =mc[\ln T]_{T_i}^{T_f}=mc\ln\frac{T_f}{T_i}>0.$$

তাপাধার $T_f$ তাপমাত্রায় থাকে, তাই

$$\Delta S_{\mathrm{th}}=\frac{Q_{\mathrm{th}}}{T_f} =-mc\frac{T_f-T_i}{T_f}<0.$$

সমগ্র বিচ্ছিন্ন বলে বিশ্বব্রহ্মাণ্ডের বাকি অংশের সঙ্গে এনট্রপির বিনিময় করে না। এর এনট্রপির পরিবর্তন তাই সম্পূর্ণ উৎপন্ন:

$$\Delta S_{\mathrm{tot}}^{(1)} =\Delta S_{\mathrm{water}}+\Delta S_{\mathrm{th}} =mc\left[\ln\frac{T_f}{T_i}-\frac{T_f-T_i}{T_f}\right]>0.$$

বস্তুত, $T_i\leq T<T_f$ হলে $1/T>1/T_f$, তাই $\int_{T_i}^{T_f}\mathrm dT/T>(T_f-T_i)/T_f$। আলাদা তাপমাত্রার দুটি বস্তুর মধ্যে তাপের স্থানান্তর অপ্রত্যাবর্তী।

প্রশ্ন 3। ধরি $h=(T_f-T_i)/2$, যাতে $T_m-T_i=T_f-T_m=h$। জল দুই ধাপের প্রতিটিতে $mc h$ গ্রহণ করে। সমগ্র বিচ্ছিন্ন হওয়ায় তাপাধারগুলির জন্য

$$Q_{\mathrm{th},1}=-mc h,\qquad Q_{\mathrm{th},2}=-mc h,$$

এবং তাই

$$\Delta S_{\mathrm{th},1}=-\frac{mc h}{T_m},\qquad \Delta S_{\mathrm{th},2}=-\frac{mc h}{T_f}.$$

জলের জন্য দুই ধাপের পরিবর্তন যোগ করি:

$$\begin{aligned} \Delta S_{\mathrm{water}} &=mc\ln\frac{T_m}{T_i}+mc\ln\frac{T_f}{T_m}\\ &=mc\bigl[(\ln T_m-\ln T_i)+(\ln T_f-\ln T_m)\bigr]\\ &=mc\ln\frac{T_f}{T_i}. \end{aligned}$$

মধ্যবর্তী পদগুলি বাতিল হয়। জলের এনট্রপির পরিবর্তন একটি তাপাধারের ক্ষেত্রের ঠিক সমান: এনট্রপি অবস্থা অপেক্ষক এবং দুই পরীক্ষায় জলের প্রাথমিক ও অন্তিম অবস্থা একই। শুধু পথ বদলায়। বিচ্ছিন্ন সমগ্রের জন্য,

$$\Delta S_{\mathrm{tot}}^{(2)} =mc\left[\ln\frac{T_f}{T_i}-h\left(\frac1{T_m}+\frac1{T_f}\right)\right].$$

দুই হিসাবের পার্থক্য

$$\Delta S_{\mathrm{tot}}^{(1)}-\Delta S_{\mathrm{tot}}^{(2)} =mc h\left(\frac1{T_m}-\frac1{T_f}\right)>0.$$

প্রতিটি সংযোগ এখনও এনট্রপি উৎপন্ন করে, কিন্তু মধ্যবর্তী ধাপ মোট উৎপন্ন এনট্রপি কমায়।

প্রশ্ন 4। ধরি $T_0=T_i$ ও $T_N=T_f$। $k$ ধাপে জল $T_{k-1}$ থেকে $T_k$ তাপমাত্রায় যায় এবং $mc h$ গ্রহণ করে। সংশ্লিষ্ট তাপাধার $T_k$ তাপমাত্রায় থাকে এবং গ্রহণ করে

$$Q_{\mathrm{th},k}=-mc h,\qquad \Delta S_{\mathrm{th},k}=-\frac{mc h}{T_k}.$$

জলের জন্য যোগফলে আবার মধ্যবর্তী পদগুলি বাতিল হয়:

$$\begin{aligned} \Delta S_{\mathrm{water}} &=mc\sum_{k=1}^{N}\ln\frac{T_k}{T_{k-1}}\\ &=mc\left[\ln\frac{T_1}{T_0}+\ln\frac{T_2}{T_1} +\cdots+\ln\frac{T_N}{T_{N-1}}\right]\\ &=mc\ln\left(\frac{T_1}{T_0}\frac{T_2}{T_1} \cdots\frac{T_N}{T_{N-1}}\right)\\ &=mc\ln\frac{T_N}{T_0} =mc\ln\frac{T_f}{T_i}. \end{aligned}$$

প্রতিটি মধ্যবর্তী তাপমাত্রা একবার লবে এবং একবার হরে আসে। তাই তাপাধারের সংখ্যা বাড়ালেও একই প্রাথমিক ও অন্তিম অবস্থার জন্য জলের এনট্রপির পরিবর্তন বদলায় না। অন্যদিকে তাপাধারগুলির হারানো এনট্রপি $N$-এর ওপর নির্ভর করে:

$$\Delta S_{\mathrm{th}}^{(N)}=-mc\,h\sum_{k=1}^{N}\frac1{T_k},\qquad \Delta S_{\mathrm{tot}}^{(N)} =mc\left[\ln\frac{T_f}{T_i}-h\sum_{k=1}^{N}\frac1{T_k}\right].$$

$N\to\infty$ হলে $h\to0$ এবং রিমান সমষ্টির সীমা

$$h\sum_{k=1}^{N}\frac1{T_k} \longrightarrow\int_{T_i}^{T_f}\frac{\mathrm dT}{T} =\ln\frac{T_f}{T_i}.$$

ফলে বিচ্ছিন্ন সমগ্রে উৎপন্ন এনট্রপির সীমা

$$\lim_{N\to\infty}\Delta S_{\mathrm{tot}}^{(N)} =mc\left[\ln\frac{T_f}{T_i}-\ln\frac{T_f}{T_i}\right]=0.$$

জল সব সময় একই এনট্রপি পায়, আর সীমায় তাপাধারগুলি ঠিক ততটাই হারায়। প্রত্যাবর্তী উত্তাপন হলো অতি ক্ষুদ্র তাপমাত্রার পার্থক্যে ইচ্ছেমতো ধীরে সম্পন্ন সংযোগগুলির আদর্শ সীমা।