অভ্যন্তরীণ দেয়াল দিয়ে পৃথক দুটি গ্যাস

প্রশ্ন 1। চিত্রে মোট আয়তন $2V$ বিশিষ্ট একটি দৃঢ় পাত্র দেয়াল দিয়ে ভাগ করা। বামে $(n_1,T_1,V,P_0)$; ডানে $(3n_1,T_1/2,V,P_{2,i})$। বাইরের দেয়ালগুলি রুদ্ধতাপীয়। অভ্যন্তরীণ দেয়াল স্থির, অভেদ্য ও রুদ্ধতাপীয় হলে কোনো বিনিময় অনুমোদিত নয়: তাপমাত্রা ও চাপ ভিন্ন হলেও প্রতিটি গ্যাস নিজ অবস্থায় থাকে। দেয়ালের আটক ব্যবস্থা চাপের পার্থক্য বহন করে।

প্রশ্ন 2 — প্রতীকী হিসাব। আদর্শ গ্যাসের সমীকরণ দেয়

$$P_{1,i}=\frac{n_1RT_1}{V}=P_0, \qquad P_{2,i}=\frac{3n_1R(T_1/2)}{V}=\frac32P_0.$$

প্রশ্ন 3 — স্থির তাপপরিবাহী দেয়াল। $\mathrm{d}U_2=-\mathrm{d}U_1$ মেনে সামান্য শক্তি স্থানান্তরে আয়তনগুলি ধ্রুব: প্রতিটি গ্যাসের জন্য $\mathrm dS_j=\mathrm dU_j/T_j$। যোগ করলে,

$$\mathrm dS_{\mathrm{tot}}=\frac{\mathrm dU_1}{T_1} +\frac{\mathrm dU_2}{T_2} =\frac{\mathrm dU_1}{T_1}-\frac{\mathrm dU_1}{T_2}.$$

এই পরিবর্তনের তাপমাত্রাগুলি বিবেচ্য অবস্থার তাপমাত্রা। সাধারণ গুণক বের করলে,

$$\mathrm{d}S_{\mathrm{tot}} =\left(\frac1{T_1}-\frac1{T_2}\right)\mathrm{d}U_1.$$

সাম্যে এনট্রপি সর্বোচ্চ; তাই $\mathrm{d}U_1$-এর সহগ শূন্য হতে হবে, অর্থাৎ $T_{1,f}=T_{2,f}=T_f$। শক্তি সংরক্ষণ দেয়

$$n_1\frac32R(T_f-T_1) +3n_1\frac32R\left(T_f-\frac{T_1}{2}\right)=0,$$

শক্তির হিসাবকে $(3/2)n_1R$ দিয়ে ভাগ করলে পাই

$$(T_f-T_1)+3\left(T_f-\frac{T_1}{2}\right)=0, \quad 4T_f-\frac52T_1=0, \quad T_f=\frac58T_1.$$

তারপর $P_{1,f}=n_1RT_f/V=(T_f/T_1)P_0$ এবং $P_{2,f}=3n_1RT_f/V=3(T_f/T_1)P_0$, তাই

$$T_f=\frac58T_1, \qquad P_{1,f}=\frac58P_0, \qquad P_{2,f}=\frac{15}{8}P_0.$$

দেয়াল স্থির হওয়ায় যান্ত্রিক সাম্য আবশ্যক নয়: অন্তিম চাপগুলি ভিন্ন হতে পারে।

প্রশ্ন 4 — এনট্রপির হিসাব। গ্যাস 2 কেবল তাপ হিসেবে নিম্নলিখিত শক্তি গ্রহণ করে:

$$Q_{1\to2}=\Delta U_2 =3n_1\frac32R\left(\frac58T_1-\frac12T_1\right) =\frac9{16}n_1RT_1.$$

গ্যাস 1 বিপরীত তাপ গ্রহণ করে: $Q_1=-Q_{1\to2}<0$, আর $Q_2=Q_{1\to2}>0$। দেয়াল স্থির, তাই $W_1=W_2=0$। সমগ্র তন্ত্র বিচ্ছিন্ন, তাই $S_{\mathrm{e}}=0$ ও $S_{\mathrm{i}}=\Delta S_{\mathrm{tot}}$। আয়তনগুলি ধ্রুব হওয়ায়,

$$\Delta S_1=\frac32n_1R\ln\frac{T_f}{T_1} =\frac32n_1R\ln\frac58, \Delta S_2=\frac32(3n_1)R\ln\frac{T_f}{T_1/2} =\frac92n_1R\ln\frac54.$$

গ্যাস 1 এনট্রপি হারায় এবং গ্যাস 2 পায়। তাদের যোগফল

$$S_{\mathrm{i}} =\frac32n_1R\left[ \ln\!\left(\frac58\right) +3\ln\!\left(\frac54\right) \right]>0.$$

এই এনট্রপি উৎপাদন শুরুতে ভিন্ন তাপমাত্রার দুই গ্যাসের মধ্যে স্বতঃস্ফূর্ত তাপপ্রবাহ বোঝায়। সংখ্যাগত মান ছাড়া চিহ্ন যাচাই করতে লগারিদমগুলি একত্র করি:

$$\ln\frac58+3\ln\frac54 =\ln\left[\frac58\left(\frac54\right)^3\right] =\ln\frac{625}{512}>0.$$

প্রশ্ন 5 — চলমান তাপপরিবাহী দেয়াল। $\mathrm{d}U_2=-\mathrm{d}U_1$ ও $\mathrm{d}V_2=-\mathrm{d}V_1$ হলে,

$$\mathrm{d}S_{\mathrm{tot}} =\left(\frac1{T_1}-\frac1{T_2}\right)\mathrm{d}U_1 +\left(\frac{P_1}{T_1}-\frac{P_2}{T_2}\right)\mathrm{d}V_1.$$

দেয়াল শক্তি ও আয়তনের স্বাধীন পুনর্বণ্টন অনুমোদন করে। তাই স্থিরতার শর্ত যেকোনো $\mathrm dU_1$ ও $\mathrm dV_1$-এর জন্য সত্য হতে হবে: দুই সহগই শূন্য। প্রথমটি $T_{1,f}=T_{2,f}$ দেয়; দ্বিতীয়টি তখন $P_{1,f}/T_f=P_{2,f}/T_f$, অর্থাৎ $P_{1,f}=P_{2,f}$ দেয়। শক্তি সংরক্ষণ আবার $T_f=5T_1/8$ দেয়। অভিন্ন চাপ ও তাপমাত্রায় আয়তন পদার্থের পরিমাণের সমানুপাতিক। তাদের যোগফল $2V$ হওয়ায়,

$$\frac{V_{2,f}}{V_{1,f}}=\frac{3n_1RT_f/P_f}{n_1RT_f/P_f}=3, \qquad V_{1,f}+3V_{1,f}=2V.$$

সুতরাং $V_{1,f}=V/2$ ও $V_{2,f}=3V/2$। অভিন্ন চাপ $P_f=n_1R(5T_1/8)/(V/2)=(5/4)P_0$ থেকে পাওয়া যায়, অর্থাৎ

$$V_{1,f}=\frac V2, \qquad V_{2,f}=\frac{3V}{2}, \qquad P_f=\frac54P_0.$$

অভ্যন্তরীণ শক্তির পরিবর্তন স্থির দেয়ালের ক্ষেত্রের মতোই, তবে এখানে শক্তি তাপ ও কাজ হিসেবে বিনিময় হয়। এনট্রপির হিসাবে প্রশ্ন 4-এর একই তাপমাত্রাজনিত পদগুলির সঙ্গে আয়তনজনিত পদ যোগ করতে হয়:

$$\Delta S_1=\frac32n_1R\ln\frac58+n_1R\ln\frac{V/2}{V}, \Delta S_2=\frac92n_1R\ln\frac54+3n_1R\ln\frac{3V/2}{V}.$$

যোগ করলে পাই

$$S_{\mathrm{i}}=\Delta S_{\mathrm{tot}} =\frac32n_1R\left[ \ln\!\left(\frac58\right)+3\ln\!\left(\frac54\right) \right] +n_1R\left[ \ln\!\left(\frac12\right)+3\ln\!\left(\frac32\right) \right]>0.$$

স্থির দেয়ালের তুলনায় অতিরিক্ত পরিমাণ

$$n_1R\left[\ln\frac12+3\ln\frac32\right] =n_1R\ln\left[\frac12\left(\frac32\right)^3\right] =n_1R\ln\frac{27}{16}>0.$$

দেয়ালকে চলতে দেওয়া তাই প্রাপ্য অন্তিম এনট্রপি বাড়ায়।