একটি তাপাধারের সংযোগে সংকোচন: প্রত্যাবর্তী না আকস্মিক

প্রশ্ন 1। প্রত্যাবর্তী সংকোচনে গ্যাস তাপাধারের সঙ্গে তাপীয় সাম্যে থাকে: গোটা প্রক্রিয়ায় তার তাপমাত্রা $T_0$। চাপ ধীরে $P_0$ থেকে $P_1=xP_0$ হয়। অন্তিম অবস্থায়,

$$P_{f,\mathrm{rev}}=xP_0,\qquad T_{f,\mathrm{rev}}=T_0,\qquad V_{f,\mathrm{rev}}=\frac{nRT_0}{xP_0}=\frac{V_0}{x},$$

যেখানে প্রাথমিক অবস্থা সমীকরণ $nRT_0=P_0V_0$ ব্যবহার করা হয়েছে।

আকস্মিক সংকোচনে বাহ্যিক চাপ $P_1$ করা হয়। অন্তিম যান্ত্রিক সাম্যে গ্যাসের চাপ এই বাহ্যিক চাপের সমান: $P_{f,\mathrm{irr}}=P_1=xP_0$। তাপাধারের সঙ্গে অন্তিম তাপীয় সাম্য থেকে $T_{f,\mathrm{irr}}=T_0$। অবস্থা সমীকরণ তখন দেয়

$$V_{f,\mathrm{irr}}=\frac{nRT_{f,\mathrm{irr}}}{P_{f,\mathrm{irr}}} =\frac{nRT_0}{xP_0}=\frac{V_0}{x}.$$

দুটি প্রক্রিয়া তাই একই অন্তিম অবস্থা $(P_f,T_f,V_f)=(xP_0,T_0,V_0/x)$-এ পৌঁছায়।

প্রশ্ন 2। এনট্রপি অবস্থা অপেক্ষক: এর পরিবর্তন শুধু প্রাথমিক ও অন্তিম অবস্থার ওপর নির্ভর করে, যা দুই পরীক্ষায় একই। আদর্শ গ্যাসের জন্য,

$$\Delta S_{\mathrm{gas}} =nc_V\ln\frac{T_f}{T_0}+nR\ln\frac{V_f}{V_0} =nc_V\ln1+nR\ln\frac1x=-nR\ln x.$$

তাই $\Delta S_{\mathrm{gas,rev}}=\Delta S_{\mathrm{gas,irr}}=-nR\ln x<0$। গ্যাসের এনট্রপির এই হ্রাস উৎপন্ন এনট্রপি নির্ধারণ করে না: তাপাধারের সঙ্গে বিনিময়ও ধরতে হবে।

প্রশ্ন 3। প্রত্যাবর্তী সংকোচনে $P_{\mathrm{ext}}=P=nRT_0/V$। গৃহীত কাজ

$$\begin{aligned} W_{\mathrm{rev}}&=-\int_{V_0}^{V_0/x}\frac{nRT_0}{V}\,\mathrm dV\\ &=-nRT_0[\ln V]_{V_0}^{V_0/x} =-nRT_0\ln(1/x)=nRT_0\ln x>0. \end{aligned}$$

গ্যাস প্রাথমিক তাপমাত্রায় ফেরে, তাই $\Delta U=nc_V(T_0-T_0)=0$। প্রথম সূত্র $\Delta U=Q+W$ থেকে $Q_{\mathrm{rev}}=-W_{\mathrm{rev}}$। তাপাধার $T_0$ তাপমাত্রায় বিপরীত তাপ গ্রহণ করে:

$$\Delta S_{\mathrm{th,rev}}=\frac{-Q_{\mathrm{rev}}}{T_0}=nR\ln x.$$

গ্যাসের গৃহীত এনট্রপি $S_{\mathrm{e},\mathrm{rev}}=Q_{\mathrm{rev}}/T_0=-nR\ln x$, তাই $S_{\mathrm{i},\mathrm{rev}}=\Delta S_{\mathrm{gas}}-S_{\mathrm{e},\mathrm{rev}}=0$। তাপাধার $S_{\mathrm{e},\mathrm{th}}=-Q_{\mathrm{rev}}/T_0$ এনট্রপি গ্রহণ করে যা তার পরিবর্তনের সমান: সেটিও এনট্রপি উৎপন্ন করে না। যোগ করলে $\Delta S_{\mathrm{gas}}+\Delta S_{\mathrm{th,rev}}=0$: সমগ্রে এনট্রপি উৎপন্ন হয় না।

প্রশ্ন 4। আকস্মিক সংকোচন স্থির বাহ্যিক চাপ $P_1$-এ হয়। তাই গৃহীত কাজ

$$\begin{aligned} W_{\mathrm{irr}}&=-P_1(V_f-V_0) =-xP_0\left(\frac{V_0}{x}-V_0\right)\\ &=P_0V_0(x-1)=nRT_0(x-1)>0. \end{aligned}$$

আবার $\Delta U=0$, তাই $Q_{\mathrm{irr}}=-nRT_0(x-1)$।

প্রশ্ন 5। তাপাধার $-Q_{\mathrm{irr}}$ গ্রহণ করে, তাই

$$\Delta S_{\mathrm{th,irr}}=\frac{-Q_{\mathrm{irr}}}{T_0}=nR(x-1).$$

গ্যাসের এনট্রপির হিসাব

$$\Delta S_{\mathrm{gas}}=\frac{Q_{\mathrm{irr}}}{T_0}+S_{\mathrm{i}}, \qquad S_{\mathrm{i}}=-nR\ln x+nR(x-1).$$

আদর্শ তাপাধারের গৃহীত এনট্রপি $-Q_{\mathrm{irr}}/T_0$ তার পরিবর্তনের সমান: সেটি এনট্রপি উৎপন্ন করে না। গ্যাস—তাপাধার সমগ্র অন্য কোনো বস্তু থেকে তাপ নেয় না; বাইরে থেকে গৃহীত কাজ এনট্রপি বহন করে না। তাই তার এনট্রপি বৃদ্ধি অভ্যন্তরে উৎপন্ন:

$$S_{\mathrm{i}}=\Delta S_{\mathrm{gas}}+\Delta S_{\mathrm{th,irr}} =-nR\ln x+nR(x-1).$$

ধরি $f(x)=x-1-\ln x$। তখন $x>1$-এর জন্য $f(1)=0$ ও $f'(x)=1-1/x=(x-1)/x>0$। অপেক্ষক শূন্য থেকে বাড়ে, তাই $S_{\mathrm{i}}=nRf(x)>0$। আরও,

$$W_{\mathrm{irr}}-W_{\mathrm{rev}} =nRT_0(x-1)-nRT_0\ln x=T_0 S_{\mathrm{i}}.$$

উভয় ক্ষেত্রেই $Q=-W$ বলে অতিরিক্ত কাজ তাপ হিসেবে তাপাধারে যায়। এটিই অপ্রত্যাবর্তিতার মূল্য।