حر حرکیات کا دوسرا اصول

1. برگشت پذیری، ناقابلِ برگشت ہونا اور وقت کا تیر

سبق 5 میں ژول—گے-لوساک پھیلاؤ متعارف ہوا تھا۔ یاد رہے کہ یہ خلا میں گیس کا پھیلاؤ ہے۔ گیس ابتدا میں ایک سخت، حرارتی طور پر معزول ظرف کے $v$ حجم والے حصے میں بند ہوتی ہے۔ باقی ظرف خالی ہے اور کل حجم $V$ ہے۔ روکنے والی دیوار ہٹاتے ہی گیس خودبخود پورے ظرف میں پھیل جاتی ہے اور نیا توازن قائم ہوتا ہے۔

پہلا اصول اس تبدیلی کی اجازت تو دیتا ہی ہے، توانائی کے لحاظ سے بھی یہ نہایت سادہ ہے۔ جیسا کہ دیکھا، پھیلاؤ کے دوران خلا کے خلاف کوئی کام نہیں ہوتا، لہٰذا $W=0$، اور دیواریں حرارتی طور پر معزول ہیں، لہٰذا $Q=0$۔ پہلا اصول نتیجہ دیتا ہے کہ

اس لیے توانائی کا یہ حساب معکوس تبدیلی کو منع نہیں کرتا۔ تاہم عام تجربہ بتاتا ہے کہ ہمارے پیمانے پر وہ کبھی نہیں ہوتی: ہم کمرے کی ہوا کو خودبخود ایک کونے میں سمٹ کر باقی جگہ خالی کرتے نہیں دیکھتے۔ ایسی دوسری مثالیں بھی بہت عام ہیں۔ پکا ہوا انڈا، خواہ بہت آہستہ پکایا گیا ہو، خودبخود کچا نہیں بنتا۔ حرارت خودبخود گرم اجسام سے ٹھنڈے اجسام کی طرف جاتی ہے، کبھی الٹی طرف نہیں، وغیرہ۔

یہ تجربات بتاتے ہیں کہ نظام کے حرارتی حرکی ارتقا کی ایک خاص، ترجیحی سمت ہے جسے اکیلا پہلا اصول بیان نہیں کرتا۔ نظریے کے دوسرے اصول تک پہنچنے کے لیے پہلے معکوس تبدیلی کے ممکن ہونے کا سوال اٹھائیں۔ معکوس تبدیلی ممکن ہو تو اصل تبدیلی قابلِ برگشت کہلاتی ہے، ورنہ ناقابلِ برگشت۔

کیا ژول—گے-لوساک پھیلاؤ قابلِ برگشت ہے؟ روزمرہ زبان میں اس کا مطلب یہ سمجھا جا سکتا ہے کہ گیس کو ابتدائی حالت میں واپس لانا ممکن ہے۔ اس معنی میں جواب یقیناً ہاں ہے۔ بس گیس کو حجم $v$ تک سکیڑیں، ابتدائی درجۂ حرارت پر واپس آنے کا انتظار کریں اور دیوار لگا دیں۔ مگر سمجھنا ضروری ہے کہ یوں ہم نے تبدیلی کو صرف نظام کے نقطۂ نظر سے الٹا ہے۔ یہ طریقہ پوری “کائنات”، یعنی نظام اور اس کے ماحول، کے لیے پھیلاؤ کا معکوس نہیں ہے۔

درحقیقت یہاں مثالی فرض کی گئی گیس کو سکیڑنے کے لیے ماحول کو کام دینا پڑتا ہے۔ مثلاً اگر سکڑاؤ مستقل درجۂ حرارت پر کیا جائے تو گیس یہ توانائی حرارت کی صورت میں خارج کرتی ہے۔ آخر میں گیس ابتدائی حالت میں آ چکی ہے، مگر ماحول نے کام کھویا اور بدلے میں حرارت پائی: نظام کی بحالی نے بیرونی دنیا کی حالت بدل دی۔

یہ فرق باریک مگر بنیادی ہے۔ کسی ناقابلِ برگشت تبدیلی کو الٹنے کا فیصلہ کریں تو نظام خود بھول جاتا ہے کہ اس نے تبدیلی $A \to B$ کی تھی، کیونکہ وہ حالت $A$ میں لوٹ آیا ہے۔ لیکن ماحول اس کا نشان، یا یوں کہیں یاد، رکھتا ہے۔ خاکے کی صورت میں:

جہاں $\textrm{Ext}_C \neq \textrm{Ext}_A$۔ ناقابلِ برگشت تبدیلی کی خصوصیت یہ ہے کہ اسے مکمل طور پر مٹایا نہیں جا سکتا۔ ماحول میں چھوڑا نشان مٹانے کی ہر کوشش اسے صرف دوسرے نظام میں منتقل کر سکتی ہے، اور یہ سلسلہ چلتا رہتا ہے۔

طبعی یادداشت کسی نظام میں موجود ماضی کے واقعے کا نشان ہی ہے۔ ریکارڈ کرنے والے تمام آلات طبعی نظام ہیں جن کی موجودہ حالت پہلے ہونے والے واقعات پر منحصر ہے۔ ہماری یادداشت بھی دماغ کی ایک خاص حالت پر مبنی ہے جو پچھلے واقعے سے مربوط ہے۔ مستقبل کی حالت ماضی کی حالت کی یاد رکھتی ہے، جبکہ ماضی کی حالت مستقبل کی یاد نہیں رکھتی۔ دوسرے لفظوں میں وقت کا تیر اور یادداشتیں بننے کی صلاحیت بظاہر ایک ہی بات کی نشان دہی کرتے ہیں۔¹

اسی متعین معنی میں حرارتی حرکیات ناقابلِ برگشت، ان مٹ تبدیلیوں کا ماڈل بنا کر حرارتی حرکی وقت کا تیر متعارف کراتی ہے۔

بلاشبہ غور سے پڑھنے والے نے دیکھا ہوگا کہ ہم نے خلا میں پھیلاؤ کا ناقابلِ برگشت ہونا ثابت نہیں کیا۔ ہم نے دکھایا کہ نظام اور ماحول بحال کرنے کی ایک خاص کوشش ناکام ہوتی ہے۔ یہ کہنا کہ ہر قابلِ تصور تبدیلی کے لیے یہی ہوگا ایک کہیں زیادہ طاقتور آفاقی دعویٰ ہے، جس کے لیے نئے وسائل درکار ہیں۔ یہ کام حرارتی حرکیات کا دوسرا اصول کرے گا۔ یہ اینٹروپی نام کی نئی مقدار لاتا ہے جو دکھا سکتی ہے کہ کہیں تبدیلی ہوئی ہے اور اسے دوسری جگہ منتقل کیے بغیر مٹانا ممکن نہیں۔

2. قابلِ برگشت تبدیلیاں

دوسرے اصول تک پہنچنے کے لیے اب تکمیلی انداز میں حرارتی حرکی تبدیلیوں کی ایک خاص جماعت متعارف کریں۔ اگلی تعریف ہماری پچھلی گفتگو سمیٹتی ہے۔

لہٰذا صرف نظام کی ابتدائی اور آخری حالتیں برگشت پذیری کا فیصلہ کرنے کے لیے کافی نہیں: اس کے ماحول میں پیدا ہونے والی تبدیلیاں بھی جاننا ضروری ہے۔

یہ تعریف مجموعی ہے۔ اس کا تعلق نظام اور تبدیلی میں شریک ہر چیز پر اس کے نتیجے سے ہے، مگر یہ اختیار کردہ راستہ نہیں بتاتی۔ سوال صرف یہ ہے کہ کیا تبدیلی کا ہر نشان مٹ سکتا ہے۔ بالخصوص واپسی کے لیے اصل تبدیلی کا بالکل وہی راستہ الٹی سمت میں اختیار کرنا لازم نہیں۔

یہاں کی تعریف زیادہ تر نصابی کتابوں سے مختلف ہے۔ اسی لیے ہم “مجموعی” کی صفت لگاتے ہیں۔ عام پیش کش میں اکثر دو الگ خیال ایک لفظ میں جمع ہوتے ہیں: ایک طرف نظام اور ماحول کی بحالی، دوسری طرف اسی راستے پر الٹی سمت چلنے کا امکان۔ مثلاً چنگل اور بولز کی درسی کتاب میں ایسا ہے ^[5]۔ دوسری پیش کشیں زیادہ زور دوسری خصوصیت پر دیتی ہیں، مثلاً ایٹکنز اور ڈی پاؤلا کی درسی کتاب ^[6]۔ ہمیں ان میں واضح فرق ضروری لگتا ہے۔ لیب اور ینگواسن نے حرارتی حرکیات کی اپنی مسلّمہ بنیادوں پر تعمیرِ نو میں ہماری سوچ سے ملتا جلتا، اگرچہ مختلف، طریقہ پیش کیا ہے ^[7]۔

چنانچہ بطور تکمیل اگلی تعریف رکھیں گے۔

تب اصل راستہ دوبارہ اختیار کیا جا سکتا ہے: ہر لامتناہی چھوٹا قدم الٹ کر ان الٹے قدموں کو معکوس ترتیب میں جوڑا جا سکتا ہے۔ یوں اگر سیدھی تبدیلی یہ تسلسل طے کرے،

تو معکوس تبدیلی عین یہی تسلسل دوسری سمت طے کر سکتی ہے۔ ہر قدم پر حرارتی اور میکانی تبادلوں کی علامت بدلتی ہے۔ معکوس تبدیلی گویا اصل تبدیلی کی فلم الٹی چلانا ہے۔

تعمیر کے مطابق مقامی برگشت پذیری مجموعی برگشت پذیری کو لازم کرتی ہے۔ الٹا دعویٰ پہلے سے درست نہیں، کیونکہ مجموعی بحالی کسی دوسرے راستے سے ہو سکتی ہے۔ خلا میں پھیلاؤ نیم سکونی نہیں، اس لیے مقامی طور پر قابلِ برگشت نہیں ہو سکتا؛ مگر اس سے ابھی مجموعی طور پر ناقابلِ برگشت ہونا ثابت نہیں ہوتا۔

یہ فرق کیوں لائیں، جو حرارتی حرکیات کے دروس میں ہمیشہ واضح نہیں کیا جاتا؟ تجربہ بتاتا ہے کہ نئے طالب علم کے لیے برگشت پذیری کا تصور بہت مشکل ہے۔ بالخصوص مجموعی اور مقامی فہم کا اختلاط بڑی مشکل بن جاتا ہے۔ طالب علم اکثر برگشت پذیری کی تعریف اور برگشت پذیری کی طبعی شرائط کو ملا دیتا ہے؛ دوسری سے مراد وہ عملی مفروضے ہیں جن کے تحت حقیقی حرارتی حرکی تبدیلی کو قابلِ برگشت سمجھا جا سکتا ہے۔

ان شرائط کا جائزہ لیں۔ پہلے، تبدیلی کا آہستہ ہونا کافی نہیں۔ دو اجسام کے درمیان بہت کم موصل دیوار رکھ کر حرارت کا انتقال جتنا چاہیں سست کیا جا سکتا ہے۔ جب تک درجۂ حرارت میں محدود فرق ہے، حرارت کا انتقال ناقابلِ برگشت رہتا ہے۔

مقامی برگشت پذیری کے لیے ضروری نیم سکونی خاصیت بھی کافی نہیں۔ ایک گیس کو رگڑ والے پسٹن سے بہت آہستہ سکیڑیں۔ گیس ہر لمحے میکانی توازن کے جتنا چاہیں قریب رہ سکتی ہے۔ تاہم دیے گئے کام کا کچھ حصہ رگڑ سے حرارت بنتا ہے۔ بعد میں گیس ابتدائی حالت میں واپس آئے تو یہ حرارت ماحول میں کہیں باقی رہتی ہے: تبدیلی نشان چھوڑ گئی۔

رگڑ ناقابلِ برگشت ہونے کے کئی اسباب میں صرف ایک ہے۔ اسی لیے اکثر “بغیر تبدد کے نیم سکونی تبدیلی” کہا جاتا ہے۔ وسیع معنی میں اس کا مطلب ہے کہ نظام حالت ہائے توازن کے تسلسل سے گزرتا ہے اور تبدیلی دباؤ، درجۂ حرارت یا کیمیائی پوٹینشل کے لامتناہی چھوٹے فرق سے چلتی ہے، رگڑ، لزوجت یا ہسٹریسس کے بغیر۔ حرارتی حرکیات کے عام دائرے میں ان شرائط سے مقامی طور پر قابلِ برگشت تبدیلی بنائی جا سکتی ہے۔ یہ عملی حصول کی شرائط ہیں، برگشت پذیری کی عمومی تعریف نہیں۔

اس طرح بنائی گئی مقامی طور پر قابلِ برگشت تبدیلیاں مثالی حدیں ہیں۔ حقیقی تبدیلی تجرباتی آلات کی اجازت کے مطابق ان کے قریب جا سکتی ہے، مگر دباؤ، درجۂ حرارت یا کیمیائی پوٹینشل کا ہر محدود فرق اور ہر تبددی عمل بقایا عدمِ برگشت پیدا کرتا ہے۔

3. حالت کے ایک نئے تفاعل کی طرف

برگشت پذیری کی مجموعی تعریف کا دوسرا فائدہ یہ ہے کہ وہ ساختی مشکل اور اس کے حل کا طریقہ ایک ساتھ نمایاں کرتی ہے۔

مشکل یہ ہے: کسی تبدیلی کو قابلِ برگشت دکھانے کے لیے ایک ایسا واپسی کا عمل کافی ہے جو نظام اور ماحول مکمل بحال کرے۔ ناقابلِ برگشت دکھانے کے لیے ثابت کرنا پڑتا ہے کہ ایسا کوئی عمل موجود نہیں، جو کہیں مشکل ہے۔

اس سے حل سجھائی دیتا ہے۔ مجموعی تعریف نہیں پوچھتی کہ واپسی کیسے ہو، صرف یہ دیکھتی ہے کہ مکمل نظام $\mathcal S+\textrm{Ext}$ کی ابتدائی اور آخری حالتیں ملائی جا سکتی ہیں یا نہیں۔ اس لیے حالت کا ایسا تفاعل بہت مفید ہوگا جس کی تبدیلی کی علامت ہر ممکن عمل کے لیے مقرر ہو۔ وہ فوراً بتا دے گا کہ معکوس تبدیلی ممکن ہے یا نہیں۔ فرض کریں حالت کا ایک جمع پذیر تفاعل $S$ موجود ہے جو ہر ممکن تبدیلی کے لیے یہ معیار پورا کرتا ہے:

تب:

خصوصاً اگر تبدیلی $A \to B$ میں $\Delta S_{\mathrm{tot}}>0$ ہو تو مکمل نظام کی ابتدائی حالت بحال کرنے والے عمل میں معکوس تبدیلی درکار ہوگی، کیونکہ $S$ حالت کا تفاعل ہے۔ لہٰذا $\Delta S_{\mathrm{tot}}^{B\to A} < 0$ ہوگا، جو دکھاتا ہے کہ یہ واپسی ناممکن ہے۔ حصہ 9 دوسرے نتائج ثابت کرکے اوپر بیان کردہ پوری خصوصیت کی توجیہ کرے گا۔ دوسرا اصول اسی طرح کام کرے گا۔ مقدار $S$ کو اینٹروپی کہتے ہیں۔ کل اینٹروپی کا نہ گھٹنا دوسرے اصول کی اینٹروپی والی صورت ہے۔

نظریہ بنانے کے دو راستے ہیں۔ پہلے براہِ راست اینٹروپی کا وجود اور اس کے بڑھنے کا اصول فرض کرکے، اس مقدار سے قابلِ برگشت اور ناقابلِ برگشت تبدیلیاں مشخص کی جا سکتی ہیں۔ کالن کی کتاب میں یہ مسلّمہ بنیادوں والا طریقہ خاص طور پر ترقی یافتہ ہے ^[8]۔ دوسرا، زیادہ تاریخی راستہ حرارتی انجنوں سے شروع ہو کر کارنو اور کلازیئس کے قضیوں سے اینٹروپی تک جاتا ہے۔ ہم یہاں یہی راستہ لیں گے۔

4. دوسرا اصول: عملی بیانات

آگے حرارتی انجنوں کی پوری بحث میں کام کرنے والا سیال ایک بند نظام ہے: ماحول کے ساتھ مادے کا تبادلہ نہیں کرتا۔ وہ بند چکر طے کرتا ہے، یعنی ہر چکر کے آخر میں اپنی ابتدائی حرارتی حرکی حالت میں لوٹتا ہے۔ چنانچہ ایک چکر میں اندرونی توانائی کی تبدیلی صفر ہے، $\Delta U=0$، خواہ ماحول سے حرارت اور کام کا تبادلہ ہوا ہو۔

سبق کی ابتدا اس مشاہدے سے کی کہ حرارت خودبخود گرم سے ٹھنڈے کی طرف جاتی ہے، کبھی الٹی طرف نہیں۔ 1850 میں کلازیئس نے اسے زیادہ عمومی اصول بنایا: گرم اور ٹھنڈے حرارتی ذخیرے کے درمیان ایسا حرارتی حرکی نظام رکھنا ناممکن ہے جس کا واحد اثر اس خودبخود انتقال کو الٹنا ہو۔

الفاظ واحد اثر بنیادی ہیں۔ ریفریجریٹر ٹھنڈے سے گرم کی طرف حرارت منتقل کرتا ہے مگر اس کے لیے باہر سے کام لیتا ہے۔ یہ بیان پہلے اصول سے اخذ نہیں کیا جا سکتا۔ یہ نیا طبعی اصول ہے جسے ہم اینٹروپی کے وجود اور خواص کے مساوی دکھائیں گے۔ اس تعمیر کے لیے دوسری صورت چاہیے، جو کیلون نے 1851 میں پیش کی اور بعد میں پلانک نے مزید واضح کی۔

یہ بیان پہلے سبق میں آ چکا ہے۔ یہی کامل ایئرکنڈیشنر کا وجود منع کرتا ہے، جو آپ کے گھر سے حرارت لے کر اسے ٹھنڈا کرے اور اس حرارتی توانائی کو مکمل مفید کام میں بدل دے۔

یہ دونوں بیانات اگلے قضیے سے مربوط ہیں۔

ثبوت.

پہلے فرض کریں کیلون کا بیان غلط ہے۔ تب مشین $\mathcal M$ ہوگی جو ایک چکر میں گرم حرارتی ذخیرے سے حرارت $Q_{\mathcal M}>0$ لے کر کام $W_{\mathcal M}=-Q_{\mathcal M}<0$ دے گی۔ تمام کام سے عام ریفریجریٹر $\mathcal M'$ چلائیں۔ مشینیں یوں ضبط کریں کہ $W_{\mathcal M'}=-W_{\mathcal M}>0$۔

ریفریجریٹر ٹھنڈے حرارتی ذخیرے سے حرارت $Q_{{\rm C},\mathcal M'}>0$ لیتا ہے اور گرم ذخیرے کو حرارت $Q_{{\rm H},\mathcal M'}<0$ دیتا ہے۔ اس کے چکر پر پہلا اصول لگانے سے $$Q_{{\rm C},\mathcal M'} +Q_{{\rm H},\mathcal M'} +W_{\mathcal M'}=0.$$

دونوں مشینیں یکجا ہوں تو ان کے کام ایک دوسرے کو منسوخ کرتے ہیں۔ لہٰذا گرم حرارتی ذخیرے سے مجموعے کو ملنے والی حرارت کا حساب ہے

$$Q_{\mathcal M}+Q_{{\rm H},\mathcal M'} =-Q_{{\rm C},\mathcal M'}<0.$$

مجموعے کا واحد اثر ٹھنڈے حرارتی ذخیرے سے حرارت لے کر گرم ذخیرے کو دینا ہے۔ کلازیئس بیان کی خلاف ورزی ہوتی ہے۔

الٹا فرض کریں کلازیئس بیان غلط ہے۔ مشین $\mathcal M'$ ہوگی جو کام لیے بغیر ٹھنڈے حرارتی ذخیرے سے حرارت $Q_{{\rm C},\mathcal M'}>0$ لے کر اتنی ہی گرم ذخیرے کو دے سکتی ہے۔ اسے انہی ذخیروں کے درمیان چلنے والے عام انجن $\mathcal M$ سے ملائیں۔ مشینوں کو یوں ضبط کریں کہ انجن ٹھنڈے ذخیرے کو جتنی حرارت دے، $\mathcal M'$ عین اتنی لے:

$$Q_{{\rm C},\mathcal M}+Q_{{\rm C},\mathcal M'}=0.$$

ٹھنڈے حرارتی ذخیرے سے خالص تبادلہ صفر ہو جاتا ہے۔ پہلا اصول تب دکھاتا ہے کہ گرم ذخیرے سے لی گئی خالص حرارت انجن کے دیے کام کی مطلق قدر کے برابر ہے۔ مجموعہ ایک ہی حرارتی ذخیرے سے لی حرارت کو کام میں بدلے گا۔ کیلون بیان کی خلاف ورزی ہوگی۔

□

یہ بیانات حرارتی انجنوں کی کارکردگی کے بارے میں کارنو کے قضیے، پھر کلازیئس کی عدم مساوات قائم کرنے دیں گے، جس سے اینٹروپی بنائیں گے۔

5. کارنو کے قضیے

پہلے سبق میں حرارتی حرکیات کو زیادہ مؤثر حرارتی انجنوں کی تلاش سے پیدا ہونے والا نظریہ کہا تھا۔ مرکزی سوال یہ تھا کہ کیا انجن کی کارکردگی کی کوئی بنیادی حد ہے جو تعمیر کی مخصوص تکنیکی مشکلات سے آزاد ہو۔ اب اس کا ٹھیک جواب دے سکتے ہیں۔ پہلی قرأت میں آگے کے ثبوت چھوڑے جا سکتے ہیں: پہلے کارنو کے قضیے $\to$ کلازیئس کی عدم مساوات $\to$ اینٹروپی کی تعمیر کا تسلسل سمجھنا زیادہ اہم ہے۔ ثبوتوں پر بعد میں لوٹ سکتے ہیں۔

پہلے دو حرارتی ذخیروں والی مشینیں لیں، جو صرف دو مستقل درجۂ حرارت والے ذخیروں کے درمیان چلتی ہیں: گرم ذخیرہ $T_{\rm H}$ پر اور ٹھنڈا ذخیرہ $T_{\rm C}<T_{\rm H}$ پر۔ بطور انجن مشین گرم ذخیرے سے حرارت $Q_{\rm H}>0$ اور ٹھنڈے ذخیرے سے حرارت $Q_{\rm C}<0$ لیتی ہے۔ یعنی ٹھنڈے ذخیرے کو حرارت $\lvert Q_{\rm C}\rvert$ دیتی ہے۔ وہ کام $W<0$ بھی لیتی ہے، یعنی ماحول کو کام $\lvert W\rvert$ دیتی ہے۔ پہلا اصول لازم کرتا ہے $Q_{\rm H}+Q_{\rm C}+W=0$۔

ان انجنوں کی افادیت کے تقابل کے لیے کارکردگی متعارف کریں۔

5.1. زیادہ سے زیادہ کارکردگی

ثبوت.

دونوں مشینیں انجن ہیں، اس لیے ان کی کارکردگیاں قطعاً مثبت ہیں۔ خلفِ فرض کے لیے مانیں $\eta_{\mathcal M}>\eta_{\mathcal M'}$۔ $\mathcal M$ کو انجن چلائیں۔ چونکہ $\mathcal M'$ مقامی طور پر قابلِ برگشت ہے، اس کا چکر الٹا چلا سکتے ہیں: تمام حرارتی اور کام کے تبادلوں کی علامتیں بدلیں گی، مطلق قدریں برقرار رہیں گی۔ لہٰذا مشین $(\mathcal M')^{-1}$ کام لے کر ٹھنڈے ذخیرے سے حرارت اٹھاتی اور گرم ذخیرے کو دیتی ہے: وہ ریفریجریٹر ہے۔ مشینیں یوں ضبط کریں کہ $\mathcal M$ کا دیا کام عین $(\mathcal M')^{-1}$ وصول کرے۔ ان کاموں کی مشترک مطلق قدر $\lvert W\rvert$ لکھیں۔

مشین $\mathcal M$ گرم ذخیرے سے حرارت $Q_{{\rm H},\mathcal M}=\lvert W\rvert/\eta_{\mathcal M}$ لیتی ہے۔ بطور انجن $\mathcal M'$ اسی ذخیرے سے $\lvert W\rvert/\eta_{\mathcal M'}$ لیتی۔ اس لیے معکوس چکر میں اس سے جبری حرارتی تبادلہ $Q_{{\rm H},(\mathcal M')^{-1}}=-\lvert W\rvert/\eta_{\mathcal M'}$ ہے۔ کارکردگیوں کا مفروضہ دیتا ہے $$Q_{{\rm H},\mathcal M} +Q_{{\rm H},(\mathcal M')^{-1}} = \lvert W\rvert \left(\frac{1}{\eta_{\mathcal M}} -\frac{1}{\eta_{\mathcal M'}}\right) <0.$$

یعنی برابر کام کے لیے زیادہ مؤثر فرض کردہ انجن $\mathcal M$ گرم ذخیرے سے جتنی حرارت لیتا ہے، $\mathcal M'$ کا معکوس چکر اس سے زیادہ لوٹاتا ہے۔ گرم ذخیرہ اس لیے خالص حرارت پاتا ہے۔ مشینوں کے کام منسوخ ہوتے ہیں اور دونوں کام کرنے والے سیال ابتدائی حالتوں میں لوٹتے ہیں۔ توانائی کے تحفظ کے مطابق گرم ذخیرے کی ساری حاصل کردہ حرارت ٹھنڈے ذخیرے سے لی گئی۔ مجموعے کا واحد اثر کام دیے بغیر ٹھنڈے سے گرم کی طرف حرارت کا انتقال ہوگا۔ یہ کلازیئس بیان کے خلاف ہے۔

لہٰذا ابتدائی مفروضہ ناممکن ہے اور $\eta_{\mathcal M}\leq\eta_{\mathcal M'}$۔

اب برابری لیں: $\eta_{\mathcal M}=\eta_{\mathcal M'}$۔ وہی جوڑ اور ضبط برقرار رکھیں تو اس بار کام اور حرارت کے تبادلے عین منسوخ ہوتے ہیں۔ اس کا مطلب ہے $\mathcal M$ کا چکر مجموعی طور پر قابلِ برگشت ہے۔

سمجھنے کے لیے دونوں عمل یکے بعد دیگرے تصور کریں۔ پہلے $\mathcal M$ انجن چلتا ہے: وہ ابتدائی حالت میں لوٹتا ہے، مگر دونوں حرارتی ذخیرے اور کام کا منبع بدلتے ہیں۔ پھر $\mathcal M$ روک کر $\mathcal M'$ معکوس چلائیں اور پہلے جمع کیا کام اسے دیں۔ دوسرا عمل دونوں حرارتی ذخیروں اور کام کے منبع کی تبدیلیاں عین مٹا دیتا ہے۔ معاون مشین $\mathcal M'$ بھی چکر مکمل کرکے ابتدائی حالت میں لوٹتی ہے۔

دونوں عملوں کے اختتام پر نظام $\mathcal M$ اور معاون مشین سمیت اس کا پورا ماحول ابتدائی حالتوں میں لوٹ آئے ہیں۔ مجموعی برگشت پذیری کی تعریف یہی واپسی مانگتی ہے۔ اس لیے کارکردگیوں کی برابری سے $\mathcal M$ کے چکر کی مجموعی برگشت پذیری لازم ہے۔ نقیض سے، چکر مجموعی طور پر ناقابلِ برگشت ہو تو برابری خارج ہے اور $\eta_{\mathcal M}<\eta_{\mathcal M'}$۔

تاہم یہ دلیل $\mathcal M$ کے چکر کی مقامی برگشت پذیری ثابت نہیں کرتی۔ ہم نے $\mathcal M$ کو اس کی اپنی حالتوں سے الٹا گزارے بغیر دوسری مشین سے اس کے بیرونی اثرات مٹائے ہیں۔ اس سبق کی تعریفوں کے مطابق سخت عدم مساوات اس لیے مجموعی طور پر ناقابلِ برگشت چکر کے لیے ثابت ہے۔ صرف مقامی طور پر قابلِ برگشت نہ ہونا اس مرحلے پر کارکردگی کو قطعاً کم قرار دینے کے لیے کافی نہیں۔ □

نوٹ: مطلق درجۂ حرارت کا پیمانہ۔

دوسرا قضیہ مقامی طور پر قابلِ برگشت مشین کے تناسب $Q_{\rm H}/\lvert Q_{\rm C}\rvert$ کو آفاقی بناتا ہے۔ یوں کام کرنے والے سیال سے آزاد مطلق درجۂ حرارت تعریف کیا جا سکتا ہے، جو کیلون کا پیمانہ ہے (تفصیل حصہ 11.1 میں)۔

آفاقی کارکردگی معلوم کرنے کے لیے کسی خاص صورت میں اس کا حساب کافی ہے۔

5.2. مثالی گیس کا کارنو چکر

اس چکر میں مثالی گیس استعمال ہوتی ہے اور دو ہم دما تبدیلیاں دو ادیابیاتی تبدیلیوں سے ملتی ہیں؛ سب مقامی طور پر قابلِ برگشت ہیں۔ اس کے چار راس $A$، $B$، $C$ اور $D$ لکھیں:

6. کلازیئس کی عدم مساوات

کارنو کے قضیے دو حرارتی ذخیروں والے انجنوں کی کارکردگی کی حد مقرر کرتے ہیں؛ اب ان سے چکر کے حرارتی تبادلوں پر پابندی، یعنی کلازیئس کی عدم مساوات، اخذ کریں گے جو اینٹروپی کی طرف لے جائے گی۔ دو ذخیروں والے کسی بھی انجن کے لیے کارنو کا پہلا قضیہ دیتا ہے

اس سے ملتا ہے

اور چونکہ $Q_{\rm C}<0$،

یہ دو حرارتی ذخیروں والی مشین کے لیے کلازیئس کی عدم مساوات ہے۔ اسے کسی بھی محدود تعداد کے ذخیروں تک عام کیا جا سکتا ہے:

اس کا ثبوت حصہ 11.2 میں دیا گیا ہے۔

7. اینٹروپی کی تعمیر

اب فرض کریں کہ مشین جس بیرونی درجۂ حرارت پر حرارت کا تبادلہ کرتی ہے وہ چکر کے دوران مسلسل بدلتا ہے۔ ذخیروں کے مسلسل خاندان سے ان تبادلوں کی مثالیت قائم کرتے ہیں اور محدود تعداد کے لیے ثابت نتیجے کی حد لینا تسلیم کرتے ہیں۔ چکر کو اتنے چھوٹے حصوں میں تقسیم کیا جا سکتا ہے کہ ہر تبادلہ تقریباً مستقل بیرونی درجۂ حرارت پر ہو۔ مسلسل حد میں مجموعہ پورے چکر کا تکمل بن جاتا ہے:

علامت $\oint$ کا دائرہ یاد دلاتا ہے کہ نظام ابتدائی حالت میں لوٹتا ہے۔ چکر مقامی طور پر قابلِ برگشت ہو تو نظام حالت ہائے توازن کے تسلسل سے گزرتا ہے اور ہر لمحے اس کا درجۂ حرارت $T$ ہوتا ہے، جو بیرونی درجۂ حرارت سے صرف لامتناہی چھوٹی مقدار مختلف ہے۔ تب $T = T_{\rm ext}$ شناخت کر سکتے ہیں اور ہر مقامی طور پر قابلِ برگشت چکر کے لیے ملتا ہے:

ان دونوں فارمولوں کا فرق واضح رکھیں: پہلا کسی بھی چکر کے لیے ہے، حقیقی مبادلہ شدہ حرارت $\delta Q$ اور بیرونی درجۂ حرارت $T_{\rm ext}$ کے ساتھ۔ دوسرا مقامی طور پر قابلِ برگشت چکر کا ہے: $\delta Q_{\rm rev}$ اس راستے کی مبادلہ شدہ حرارت ہے اور $T$ نظام کا درجۂ حرارت، جو قابلِ برگشت حد میں $T_{\rm ext}$ کے برابر ہے۔

یہ برابری ہر مقامی طور پر قابلِ برگشت چکر کے لیے ہے۔ دکھائیں کہ اس سے راستے سے آزادی ملتی ہے، جس سے حالت کا تفاعل تعریف ہو سکتا ہے۔ نظام کی دو حالت ہائے توازن $A$ اور $B$ اور انہیں ملانے والے دو مقامی طور پر قابلِ برگشت راستے $\mathcal C_1$ اور $\mathcal C_2$ لیں۔ پہلے $\mathcal C_1$، پھر $\mathcal C_2$ معکوس چلنے سے مقامی طور پر قابلِ برگشت چکر بنتا ہے۔ پچھلی برابری تب دیتی ہے

لہٰذا $A$ سے $B$ تک $\delta Q_{\rm rev}/T$ کا تکمل منتخب مقامی طور پر قابلِ برگشت راستے پر منحصر نہیں۔ صرف ابتدائی اور آخری حالتوں پر منحصر ہے۔ پس زیرِ غور علاقے میں تفریقی صورت $\delta Q_{\rm rev}/T$ کامل ہے: یہ حالت کے ایک تفاعل کا تفرق ہے جسے اینٹروپی کہتے ہیں۔ حاصل ہوتا ہے:

مبادلہ شدہ حرارت $\delta Q_{\rm rev}$ کا اشاریہ “rev” نہایت اہم ہے۔ کسی بھی نظام کی لی ہوئی ہر حرارت کے لیے $dS=\delta Q/T$ لکھنا غلط ہوگا۔ یہ صرف قابلِ برگشت انتقال میں درست ہے۔

8. اینٹروپی کے خواص

اکائی

پچھلی مساواتیں اینٹروپی کی اکائی مقرر کرتی ہیں: جول فی کیلون۔

جمع پذیری اور امتدادیت

سبق 4 میں توانائی کی طرح، ایسے میکروسکوپک نظام لیتے ہیں جن کے باہمی تعاملات قابلِ نظرانداز ہوں۔ مختصر فاصلے کے تعاملات والے نظاموں کے لیے یہ اچھا تخمینہ ہے۔ اس دائرے میں جمع پذیری کی اگلی خاصیت تسلیم کرتے ہیں۔

اسی دائرے میں ہم اینٹروپی کو سبق 3 کے معنی میں امتدادی بھی مانتے ہیں: شدتی متغیرات کو مستقل رکھتے ہوئے نظام کی جسامت $\lambda$ گنا کریں تو اینٹروپی $\lambda$ گنا ہوتی ہے:

طویل فاصلے کے تعاملات والے نظاموں میں جمع پذیری اور امتدادیت کی ضمانت نہیں رہتی۔ کتاب کے اعلیٰ حصے میں ان باریک نکات پر واپس آئیں گے۔

اینٹروپی، توانائی اور درجۂ حرارت

ایک سادہ، بند، مستقل ترکیب والا نظام لیں جس پر صرف دباؤ کی قوتوں کا کام ہوتا ہے۔ ذرات کی تعداد $N$ اس لیے مستقل رہتی ہے۔ نیم سکونی تبدیلی کے ساتھ پہلا اصول لکھتے ہیں

تبدیلی مزید مقامی طور پر قابلِ برگشت ہو تو

یعنی

اس مساوات کو بنیادی تعلق کہتے ہیں۔ اگرچہ مقامی طور پر قابلِ برگشت تبدیلی سے ملی ہے، دو حالت ہائے توازن ملانے والی ہر لامتناہی چھوٹی تبدیلی کے لیے درست ہے، کیونکہ $S$ اور $U$ حالت کے تفاعلات ہیں۔ اگلے سبق میں تفصیل سے پڑھیں گے۔ فی الحال تفرقات کے خواص سے نوٹ کریں

درجۂ حرارت کا معکوس اس لیے مستقل حجم اور مقدارِ مادہ پر اندرونی توانائی کے ساتھ اینٹروپی کی تبدیلی ناپتا ہے۔ اس سبق میں مطلق درجۂ حرارت $T>0$ کی حالتیں لیتے ہیں۔ پچھلا تعلق دکھاتا ہے کہ اینٹروپی $U$ کا بڑھتا ہوا تفاعل ہے۔

9. دوسرے اصول کی مقداری صورت

اب دوسرے اصول کی عام اینٹروپی والی صورت دینے کے تمام وسائل موجود ہیں۔ ہم اسے تین مسلسل قضیوں میں پیش کرتے ہیں؛ یہ واقعی قضیے ہیں، اصول نہیں، کیونکہ کلازیئس کے بیان کو اصول مانا ہے۔

آگے یہ واضح کرنا اہم ہے کہ اینٹروپی کس مجموعے کی ہے۔ زیرِ مطالعہ نظام کی اینٹروپی $S_{\mathcal S}$ اور نظام و ماحول کی $S_{\rm tot}=S_{\mathcal S}+S_{\textrm{Ext}}$ لکھیں گے۔ پہلا قضیہ الگ تھلگ نظام کا ہے۔ دوسرا الگ تھلگ مجموعے $\mathcal S+\textrm{Ext}$ کا۔ تیسرا پھر اکیلے نظام کا ہے، جو بند مگر توانائی کا تبادلہ کر سکتا ہے: اس کی اینٹروپی گھٹ سکتی ہے، چاہے کل اینٹروپی نہ گھٹے۔

اس بیان کا دائرہ سمجھنے کے لیے یاد کریں کہ پہلے سے توازن میں موجود الگ تھلگ نظام خودبخود نہیں بدلتا۔ بیان اس وقت پوری معنویت پاتا ہے جب ابتدائی حالت پابندی والا توازن ہو، مثلاً ایسی دیوار سے برقرار ہو جسے بعد میں بیرونی تبادلے کے بغیر ہٹا دیں۔ تب نظام نئے توازن کی طرف جاتا ہے جس کی اینٹروپی ابتدائی حالت سے زیادہ یا برابر ہے۔ خلا میں ژول پھیلاؤ اس کی مثال ہے۔

قضیے کا ثبوت سبق آموز ہے، کیونکہ دکھاتا ہے کلازیئس کی عدم مساوات کیسے استعمال کریں۔

زیرِ مطالعہ نظام الگ تھلگ نہ ہو تو ماحول کو حرارت دیتے وقت اس کی اینٹروپی گھٹ سکتی ہے۔ تبدیلی میں شریک تمام اجسام اور آلات شامل کرکے پھر ایک الگ تھلگ مجموعہ حاصل ہوتا ہے۔ پچھلا نتیجہ، اینٹروپی کی جمع پذیری کے ساتھ، حصہ 3 کی بیان کردہ صورت دیتا ہے:

لہٰذا مجموعی طور پر ناقابلِ برگشت تبدیلی کل اینٹروپی بڑھاتی ہے۔ اکیلے نظام کا حساب رکھنے کے لیے اب دو حصے الگ کریں: ماحول سے مبادلہ شدہ اینٹروپی اور پیدا شدہ اینٹروپی۔ تعریف کرتے ہیں:

چونکہ $T_{\rm ext}>0$، حرارت دینا اینٹروپی دینے کے مترادف ہے۔ نظام جتنی اینٹروپی پیدا کرتا ہے اس سے زیادہ دے تو اس کی اینٹروپی گھٹ سکتی ہے، جیسا کہ اگلا حساب بیان کرتا ہے۔

تبادلہ شدہ اور پیدا شدہ اینٹروپی کی یہی تقسیم پریگوژین نے اپنے 1977 کے نوبیل خطبے میں بھی استعمال کی ہے ^[4]۔ دوسرے نصابوں میں بھی یہ ملے گی۔ توجہ رہے کہ یہاں صرف $dS$ حالت کے کسی تفاعل کا تفریقیہ ہے؛ $\delta_{\rm e}S$ اور $\delta_{\rm i}S$ عمل پر منحصر ہیں، اس لیے غیر تام تفریقیے ہیں؛ اسی لیے انہیں $\delta$ سے لکھا گیا ہے (پریگوژین انہیں $d_{\rm e}S$ اور $d_{\rm i}S$ لکھتا ہے)۔

10. اینٹروپی، ارتقا کی سمت اور توازن

پہلا اصول توانائی کا تحفظ لازم کرتا ہے؛ دوسرا اصول کل اینٹروپی کے بڑھنے سے ممکنہ ارتقا کی سمت بتاتا ہے۔ اب اس موازنے سے ژول پھیلاؤ کے ناقابلِ برگشت ہونے کو مقداری طور پر بیان کریں گے، اور حرارتی یا میکانیکی انتقال کی خودبخود سمت کا مطالعہ کریں گے۔ بحث بند نظاموں تک محدود رہے گی؛ ہر بار زیرِ مطالعہ نظام اور اس معزول مجموعے میں فرق رکھیں گے جس پر دوسرا اصول لاگو ہوتا ہے۔

10.1. اینٹروپی کی تبدیلی کا حساب

حرارتی حرکیات کی بنیادی ترکیب یہ ہے: چونکہ $S$ حالت کا تفاعل ہے، نظام کی دو حالت ہائے توازن $A$ اور $B$ کے درمیان اس کی تبدیلی اصل اختیار کردہ عمل پر منحصر نہیں۔ اصل تبدیلی ناقابلِ برگشت ہو تب بھی انہی حالتوں کو ملانے والا مقامی طور پر قابلِ برگشت راستہ تصور کرکے حساب کر سکتے ہیں

حرارت $\delta Q_{\rm rev}$ حساب کے لیے منتخب راستے کی حرارت ہے۔ ضروری نہیں کہ یہ زیرِ مطالعہ حقیقی تبدیلی میں تبادلہ ہونے والی حرارت کے برابر ہو۔ $\Delta S$ معلوم کرنے کے بعد حقیقی عمل کی طرف واپس آ کر تبادلہ شدہ اور پیدا شدہ اینٹروپی نکال سکتے ہیں۔

10.2. ژول پھیلاؤ کا ناقابلِ برگشت ہونا

دیکھیں یہ طریقہ خلا میں ژول پھیلاؤ پر کیسے لگتا ہے۔ حقیقی تبدیلی میں مثالی گیس حجم $v$ سے حجم $V>v$ تک جاتی ہے اور نہ حرارت لیتی ہے نہ کام۔ اندرونی توانائی مستقل رہتی ہے، لہٰذا آخری درجۂ حرارت ابتدائی درجۂ حرارت کے برابر ہے۔ اینٹروپی کی تبدیلی نکالنے کے لیے انہی حالتوں کے درمیان مقامی طور پر قابلِ برگشت ہم دما پھیلاؤ تصور کریں۔ پہلا اصول دیتا ہے

کیونکہ مثالی گیس کی ہم دما تبدیلی میں $dU=0$ ہوتا ہے۔ اس راستے پر $dS=\delta Q_{\rm rev}/T$ کا تکمل لینے سے ملتا ہے

حقیقی پھیلاؤ میں ماحول سے توانائی کا کوئی تبادلہ نہیں ہوتا۔ اختیار کردہ مثالی صورت میں ظرف اپنی حالت میں رہتا ہے، اور دیوار ہٹانے کا عمل بھی خود کوئی بیرونی تبدیلی نہیں چھوڑتا۔ اس لیے $\Delta S_{\rm ext}=0$ ہے، اور معزول مجموعے کی اینٹروپی کا موازنہ دیتا ہے

لہٰذا ژول—گے-لوساک پھیلاؤ مجموعی طور پر ناقابلِ برگشت ہے۔ کل اینٹروپی کا اضافہ دکھاتا ہے کہ کوئی طریقہ گیس اور اس کے ماحول کو کہیں اور نشان چھوڑے بغیر بحال نہیں کر سکتا۔

10.3. حرارت کے انتقال کا ناقابلِ برگشت ہونا

مستقل حجم کے دو بند نظام $\mathcal S_1$ اور $\mathcal S_2$ حرارتی رابطے میں رکھیں۔ ضروری نہیں کہ وہ گیسیں ہوں؛ اگلا استدلال عمومی ہے۔ ان میں نہ مادے کا تبادلہ ہوتا ہے نہ کام کا، مگر حرارت کا تبادلہ ہو سکتا ہے۔ مجموعہ معزول فرض ہے۔ کم حرارت گزار دیوار تبادلے اتنے سست بنا دیتی ہے کہ ہر نظام اپنے اندرونی توازن کے قریب رہے۔ یوں ہر ایک نیم سکونی طور پر بدلتا ہے اور ہر لمحے درجۂ حرارت $T_i>0$ رکھتا ہے۔ ہم توانائی اور اینٹروپی میں دیوار کی شراکتیں نظرانداز کرتے ہیں۔

حجم اور مادے کی مقدار مستقل ہوں تو بنیادی تعلق، $dV_i=0$ کے ساتھ، دیتا ہے

مجموعہ معزول ہے، اس لیے پہلا اصول اور توانائی کی جمع پذیری لازم کرتے ہیں

نظام $i$ کی وصول کردہ جبری حرارت کو $\delta Q_i$ کہیں۔ چونکہ ہر نظام کام کا کوئی تبادلہ نہیں کرتا،

لہٰذا توانائی کا تحفظ دیتا ہے

1 سے 2 کی طرف منتقل حرارت کو $\delta Q_{1\to2}$ کہیں اور اسی سمت میں مثبت گنیں، تو

اینٹروپی کی جمع پذیری سے، معزول مجموعے پر دوسرا اصول لاگو کرنے سے ملتا ہے

جب $T_1>T_2$ ہو تو یہ عدم مساوات $\delta Q_{1\to2}\geq0$ لازم کرتی ہے: لہٰذا انتقال گرم سے ٹھنڈے کی طرف ہے۔ اگر $T_1<T_2$ ہو تو سمت الٹ جاتی ہے اور انتقال پھر بھی گرم سے ٹھنڈے کی طرف رہتا ہے۔ یوں ہم دیکھتے ہیں کہ دوسرا اصول عام تجربے کے مطابق ممکنہ تبادلوں کی سمت کیسے متعین کرتا ہے۔

جب $T_1\neq T_2$ ہو تو مجاز سمت میں ہر غیر صفر انتقال $dS_{\rm tot}>0$ دیتا ہے۔ چنانچہ گرم سے ٹھنڈے کی طرف خودبخود انتقال مجموعی طور پر ناقابلِ برگشت ہے، خواہ ہر حصہ نیم سکونی انداز میں بدل رہا ہو۔

10.4. اینٹروپی اور توازن

پچھلی مثال جاری رکھیں۔ اگر $T_1\neq T_2$ ہو تو گرم سے ٹھنڈے کی طرف انتقال کل اینٹروپی بڑھاتا ہے۔ دیوار حرارت گزار ہے، اس لیے درجۂ حرارت کا فرق باقی رہنے تک انتقال جاری رہتا ہے۔ لہٰذا حرارتی توازن کے لیے $T_1=T_2$ لازم ہے۔

تب دونوں اجسام میں توانائی کی ہر چھوٹی بازتقسیم کے لیے $dS_{\rm tot}$ صفر ہوتا ہے: کل اینٹروپی ان تغیرات کے لحاظ سے ساکن ہے۔ یہ نتیجہ اس عمومی معیار کی تحریک دیتا ہے جسے ہم تسلیم کریں گے: توازن میں معزول مجموعے کی اینٹروپی ان چھوٹی اندرونی تبدیلیوں کے لحاظ سے ساکن ہوتی ہے جن کی پابندیاں اجازت دیتی ہیں۔ یعنی پہلے مرتبے کی تبدیلی صفر ہے۔ یہ توازن کی ایک ضروری شرط ہے؛ نہ توازن کے منفرد ہونے کا ثبوت ہے، نہ ہر ارتقا کے اس حالت تک پہنچنے کا۔

مثال کے لیے ایک سخت، معزول سلنڈر لیں جس میں مثالی گیس کے دو خانے ایک حرکت پذیر، حرارت گزار مگر مادہ نہ گزارنے والی دیوار سے جدا ہیں۔ دیوار بغیر رگڑ حرکت کرتی ہے اور اس پر کوئی اضافی قوت نہیں لگتی۔ اس کی اپنی توانائی نظرانداز کریں۔ کل توانائی کا تحفظ $dU_2=-dU_1$ دیتا ہے، جبکہ کل حجم کا تحفظ $dV_2=-dV_1$ لازم کرتا ہے۔ تب بنیادی تعلق دیتا ہے

دیوار حرارت کے انتقال اور حرکت دونوں کی اجازت دیتی ہے: اس لیے ساکن ہونے کا معیار جانچنے کے لیے توانائی اور حجم کی بازتقسیمیں آزادانہ طور پر بدلی جا سکتی ہیں۔ یہاں قریبی حالتوں کا موازنہ مقصود ہے، دیوار کی حقیقی حرکت کا بیان نہیں۔ توازن میں یہ تغیر ان تمام چھوٹی تبدیلیوں کے لیے صفر ہونا چاہیے۔ دونوں ضریب صفر ہوتے ہیں: پہلے $T_1=T_2$، پھر $P_1/T_1=P_2/T_2$ ملتا ہے، یعنی

یہ مانوس شرطیں ساکن ہونے کے معیار کی افادیت اور پابندیوں کی اہمیت دونوں دکھاتی ہیں۔ دیوار حرکت پذیر رہے مگر حرارتی طور پر معزول ہو جائے تو وہ حرارت کا انتقال روکتی ہے، مگر کام کا تبادلہ ممکن رہتا ہے: تب $dU_1$ اور $dV_1$ آزاد تبدیلیاں نہیں رہتیں۔ لہٰذا پہلے کی طرح دونوں ضریبوں کو الگ الگ صفر نہیں رکھ سکتے۔ دیوار پر قوتوں کے توازن سے میکانیکی توازن اب بھی $P_1=P_2$ مانگتا ہے، مگر صرف یہ شرط $T_1=T_2$ لازم کرنے کے لیے کافی نہیں۔

11. مزید مطالعے کے لیے

11.1. حرارتی حرکی درجۂ حرارت

کیلون کی مطلق درجۂ حرارت کے پیمانے کی تشکیل کارنو کے دوسرے قضیے پر مبنی ہے۔ عارضی طور پر $\vartheta$ کو تجرباتی درجۂ حرارت کہیں جو ٹھنڈے سے گرم کی طرف بڑھتا ہے۔ $\vartheta_1>\vartheta_2$ کے درمیان کام کرنے والی، دو حرارتی ذخیروں سے وابستہ، مقامی طور پر قابلِ برگشت مشین کے لیے گرم ذخیرے سے لی گئی حرارت کو $q_1>0$ اور ٹھنڈے ذخیرے کو دی گئی حرارت کو $q_2>0$ کہیں۔ نسبت

نہ سیال پر منحصر ہے نہ چکر پر، کیونکہ اس قضیے کے مطابق کارکردگی $1-q_2/q_1$ آفاقی ہے۔ لیکن صرف یہ آفاقیت $\Phi(\vartheta_1,\vartheta_2)$ کو نسبت $T_2/T_1$ کی صورت میں لکھنے کے لیے کافی نہیں: جانچنا ہوگا کہ ایک درمیانی حرارتی ذخیرے کے ذریعے کیے گئے موازنے بھی باہم ہم آہنگ ہیں۔

تین حرارتی ذخیرے لیں، جہاں $\vartheta_1>\vartheta_2>\vartheta_3$۔ دو مقامی طور پر قابلِ برگشت مشینیں جوڑیں، ایک ذخائر 1 اور 2 کے درمیان، دوسری 2 اور 3 کے درمیان۔ انہیں یوں ترتیب دیں کہ پہلی مشین ذخیرے 2 کو جتنی حرارت دے، دوسری عین اتنی ہی لے لے۔ تب درمیانی ذخیرے میں کوئی تبدیلی نہیں ہوتی۔ مجموعہ 1 اور 3 کے درمیان مقامی طور پر قابلِ برگشت مشین بنتا ہے: دونوں چکر اور ان کے سارے تبادلے الٹے کیے جا سکتے ہیں۔ لہٰذا کارکردگی کی آفاقیت لازم کرتی ہے

چکر کی سمت الٹنے سے $\Phi(\vartheta_2,\vartheta_1)=1/\Phi(\vartheta_1,\vartheta_2)$ ملتا ہے۔ $\Phi(\vartheta,\vartheta)=1$ رکھیں اور حوالہ حرارتی ذخیرہ $\vartheta_0$ چنیں جسے درجۂ حرارت $T_0>0$ دیں۔ تب تعریف کریں

یوں ہر درجۂ حرارت ایک ہی حوالے سے موازنہ کرکے متعین ہوتا ہے۔ نسبت $\Phi(\vartheta_1,\vartheta_2)=q_2/q_1$ اس پیمانے میں لکھنے کے لیے ترکیب کا قانون لگائیں:

اس سے ملتا ہے

یعنی

یوں مثالی گیس استعمال کیے بغیر دوبارہ ملتا ہے

جہاں قابلِ برگشت مشینوں کی مثالی کارکردگیوں سے بنایا گیا پیمانہ $T$ کیلون کا پیمانہ ہے۔

11.2. کلازیئس کی عدم مساوات کا ثبوت

یہاں ہم قضیہ 5 میں بیان کردہ کلازیئس کی عدم مساوات ثابت کرتے ہیں۔

ثبوت.

تمام کام کا تبادلہ ایک ہی مثالی، بغیر تبدد والے منبع سے ہوتا ہے، مثلاً ایسا وزن جس کی صرف اونچائی بدلے۔ حوالہ جاتی درجۂ حرارت $T_0>0$ لیں۔ ہر حرارتی ذخیرے $T_k$ کے ساتھ $T_k$ اور $T_0$ کے درمیان چلنے والی مقامی طور پر قابلِ برگشت مشین $\mathcal M'_k$ ملائیں۔ اسے یوں ضبط کریں کہ اصل مشین نے ذخیرے $T_k$ میں جو تبدیلی کی وہ عین منسوخ ہو۔ لہٰذا اس ذخیرے سے اسے ملنے والی جبری حرارت ہے $$Q'_k=-Q_k.$$

قابلِ برگشت مشین کا حاصل کردہ تعلق دیتا ہے²

Note 2 : $T_1>T_2$ کے درمیان بطور انجن چلنے پر مساوات (3) دیتی ہے $\lvert Q_2\rvert/Q_1=T_2/T_1$، یعنی $Q_1/T_1+Q_2/T_2=0$، کیونکہ $Q_1>0$ اور $Q_2<0$۔ چکر الٹنے سے دونوں حرارتوں کی علامت بدلتی ہے اور برابری قائم رہتی ہے؛ اشاریے بدلنے سے بھی قائم رہتی ہے۔ لہٰذا درجۂ حرارتوں کی ترتیب خواہ کچھ ہو، دونوں سمتوں میں یہ درست ہے۔ برابر درجۂ حرارت کی صورت سے بچنے کے لیے $T_0$ کو تمام $T_k$ سے مختلف لیتے ہیں، جو محدود تعداد کے ذخیروں کے لیے ہمیشہ ممکن ہے۔

$$\frac{Q'_k}{T_k}+\frac{Q'_{0k}}{T_0}=0,$$

چنانچہ

$$Q'_{0k}=T_0\frac{Q_k}{T_k}.$$

ہر معاون مشین کام کا بھی تبادلہ کرتی ہے

$$W'_k =-Q'_k-Q'_{0k} =Q_k\left(1-\frac{T_0}{T_k}\right).$$

اس کی چلنے کی سمت $Q_k$ اور $T_k-T_0$ کی علامتوں پر منحصر ہے۔ لہٰذا $T_0$ کا سب ذخیروں سے گرم یا سب سے ٹھنڈا ہونا ضروری نہیں۔

تمام مشینوں کو ملانے کے بعد ہر ذخیرے $T_k$ سے تبادلے منسوخ ہوتے ہیں۔ واحد غیرمنسوخ حرارتی تبادلہ $T_0$ سے ہے:

$$Q_0 =\sum_k Q'_{0k} =T_0\sum_k\frac{Q_k}{T_k}.$$

مرکب مشین چکری ہے۔ اس لیے پہلا اصول لازم کرتا ہے

$$W_{\rm tot}=-Q_0.$$

اگر $Q_0$ مثبت ہوتا تو مرکب مشین ایک ہی حرارتی ذخیرے سے حرارت لے کر اسے مکمل کام میں بدلتی۔ کیلون کا بیان اس کی ممانعت کرتا ہے۔ اس لیے $Q_0\leq0$ ضروری ہے۔ چونکہ $T_0>0$، بیان کردہ عدم مساوات ملتی ہے۔

چکر مقامی طور پر قابلِ برگشت ہو تو معکوس راستہ ممکن ہے اور تمام تبادلوں کی علامت بدلتی ہے۔ دونوں سمتوں پر کلازیئس کی عدم مساوات لگانے سے

$$\sum_k\frac{Q_k}{T_k}\leq0, \qquad -\sum_k\frac{Q_k}{T_k}\leq0.$$

پس مجموعہ صفر ہے۔

الٹا، مجموعہ صفر ہو تو معاون مشینیں ذخیرے $T_0$ کو بدلے بغیر اور خالص کام پیدا کیے بغیر تمام ذخیرے بحال کرتی ہیں۔ کام کا منبع بھی ابتدائی حالت میں آتا ہے: وزن ابتدائی اونچائی پر لوٹتا ہے۔ معاون مشینیں خود بھی چکر طے کرتی ہیں، اس لیے وہ ایسی واپسی بناتی ہیں جو اصل مشین کی بیرونی تبدیلیاں مٹا دے۔ چکر تب مجموعی طور پر قابلِ برگشت ہے۔ برابری یہاں مجموعی برگشت پذیری مشخص کرتی ہے، لیکن اکیلے اصل راستے کی مقامی برگشت پذیری ثابت نہیں کرتی۔ □

11.3. آزاد پھیلاؤ کی شماریاتی تعبیر

سبق 4 میں ہم نے چند حرارتی حرکی مقداروں سے بیان ہونے والی میکروسکوپک حالت اور ذرات کے مقامات اور سمتی رفتاریں بتانے والی خردبینی حالتوں میں فرق کیا تھا۔ ایک ہی میکروسکوپک حالت بے شمار خردبینی حالتوں سے مطابقت رکھتی ہے جنہیں ہمارے پیمانے پر الگ نہیں پہچانا جا سکتا۔ یہ فرق آزاد پھیلاؤ کے ناقابلِ برگشت ہونے کی وضاحت کرتا ہے۔

$N$ ذرات کی مثالی گیس تصور کریں جو ابتدا میں ایک معزول ظرف کے بائیں نصف میں محدود ہو، جبکہ دایاں نصف خالی ہو۔ دیوار ہٹانے پر ہر ذرہ دوگنے حجم تک پہنچ سکتا ہے۔ اس لیے دستیاب مکانی ترتیبوں کی تعداد ہر ذرے کے لیے $2$ گنا، یعنی پوری گیس کے لیے $2^N$ گنا ہو جاتی ہے۔ وہ ترتیبیں جن میں ذرات دونوں نصفوں میں بٹے ہوں، ان ترتیبوں سے کہیں زیادہ ہیں جن میں سب بائیں طرف ہوں۔

حرارتی حرکیات میں اینٹروپی کی تبدیلی زیرِ غور حالت ہائے توازن کے درمیان مقامی طور پر قابلِ برگشت راستے سے نکالتے ہیں۔ شماریاتی طبیعیات خردبینی حالتوں کی گنتی سے حالتِ توازن کی اینٹروپی تک رسائی دیتی ہے۔ یوں بولٹزمان کا فارمولا اینٹروپی کو میکروسکوپک حالت سے مطابقت رکھنے والی خردبینی حالتوں کی تعداد سے ملاتا ہے:

یہاں $\Omega$ ایک ہی گنتی کی روایت کے مطابق شمار کی گئی خردبینی حالتوں کی تعداد ہے، اور $k_{\rm B}$ بولٹزمان کا مستقل ہے جس کی اکائی ژول فی کیلون ہے۔ ہماری مثال میں گیس کی توانائی نہیں بدلتی، جبکہ حجم دوگنا ہونے سے $\Omega$ کی قیمت $2^N$ گنا ہوتی ہے۔ چنانچہ اینٹروپی کا اضافہ ہے

کیونکہ $Nk_{\rm B}=nR$، جہاں $n$ گیس میں مادے کی مقدار ہے۔ یوں $v$ سے $V=2v$ تک پھیلاؤ کا حرارتی حرکی نتیجہ دوبارہ ملتا ہے۔

یہ شماریاتی تعبیر سمجھاتی ہے کہ سب ذرات کی بائیں نصف میں خودبخود واپسی، جسے حرارتی حرکیات منع کرتی ہے، قطعی ناممکن کیوں نہیں۔ توازن میں ہر ذرے کے اس نصف میں ہونے کا احتمال $1/2$ ہے۔ مقامات کو آزاد فرض کریں تو کسی خاص لمحے سب کے وہاں ہونے کا احتمال ہے

میکروسکوپک تعداد میں ذرات کے لیے یہ احتمال ناقابلِ تصور حد تک چھوٹا ہے، اور عملی طور پر اسے صفر سمجھنا درست ہے۔ یوں شماریاتی طبیعیات بتاتی ہے کہ ناقابلِ برگشت ہونا کوئی مطلق مظہر نہیں: اس کی نوعیت احتمالی ہے۔

11.4. خردبینی برگشت پذیری کا تضاد

قابلِ برگشت خردبینی قوانین سے ناقابلِ برگشت ارتقا کیسے نکل سکتا ہے؟ یاد رہے کہ کلاسیکی میکانیات کے قوانین وقت کے لحاظ سے قابلِ برگشت ہیں۔ یہی لوشمٹ کا تضاد ہے: اینٹروپی بڑھنے والے ہر ارتقا کے ساتھ یہ قوانین اینٹروپی گھٹنے والا معکوس ارتقا بھی وابستہ کرتے ہیں۔ لہٰذا سمجھنا ضروری ہے کہ خردبینی پیمانے پر ممکن یہ دونوں سمتیں ہمارے پیمانے پر یکساں تواتر سے کیوں نہیں دیکھی جاتیں۔

نظام کی میکروسکوپک وضاحت خردبینی معلومات کا صرف ایک حصہ رکھتی ہے۔ اگر پھیلاؤ کے بعد تمام سمتی رفتاریں بالکل الٹی کی جا سکتیں تو نظام اپنے ارتقا کا راستہ واپس طے کرتا۔ لیکن دیوار دوبارہ لگانا یا بیرونی دباؤ کی تبدیلی الٹنا یہ عمل نہیں کرتا۔ یہ اقدامات صرف چند میکروسکوپک متغیرات قابو کرتے ہیں اور ان خردبینی تفصیلات کو ویسا ہی چھوڑ دیتے ہیں جن میں معلومات پھیل چکی ہیں۔

یہ بات سمجھاتی ہے کہ خردبینی قوانین کی برگشت پذیری میکروسکوپک تبدیلیوں کو قابلِ برگشت کیوں نہیں بناتی۔ بولٹزمان اینٹروپی اس میکروسکوپک حالت کو بیان کرتی ہے جس سے نظام تعلق رکھتا ہے۔ اس کے برعکس، درست خردبینی وضاحت حرارتی حرکی متغیرات سے کہیں زیادہ معلومات محفوظ رکھتی ہے۔ آزاد پھیلاؤ میں گیس ابتدا میں کم اینٹروپی کی حالت میں تیار کی جاتی ہے، جہاں سے ارتقا بہت زیادہ احتمال کے ساتھ زیادہ اینٹروپی کی حالت تک جاتا ہے۔ واپسی کے لیے نہایت خاص خردبینی باہمی تعلقات درکار ہوں گے، جو تمام سمتی رفتاروں کو عین الٹنے سے قائم ہو سکتے ہیں۔

12. حوالہ جات