مثالی گیس پر اطلاق

اب تک پہلا اصول نظام کے لیے کسی خاص ماڈل کو فرض کیے بغیر بیان کیا گیا ہے۔ ایسے بند نظام کے لیے، جس کی میکروسکوپک حرکی اور وضعی توانائیاں تبدیل نہیں ہوتیں، اسے یوں لکھتے ہیں:

$$\Delta U=Q+W.$$

تاہم صرف یہ تعلق $\Delta U$ کا حساب لگانے کے لیے کافی نہیں، بالکل اسی طرح جیسے نیوٹن کا دوسرا قانون اس وقت تک نظام کے ارتقا کی پیش گوئی نہیں کرتا جب تک اس پر عمل کرنے والی قوتیں معلوم نہ ہوں۔ لہٰذا زیرِ مطالعہ نظام کو مزید مشخص کرنا ضروری ہے؛ اب ہم مثالی گیس کے لیے یہی کریں گے۔

1. مثالی گیس کی حالت کی مساواتیں

مثالی گیس کی پہلی حالت کی مساوات ہے

جیسا کہ سبق ۲ میں دیکھا، یہ تعلق تجرباتی مطالعات کی ایک طویل تاریخ کا نتیجہ ہے۔ بذاتِ خود یہ گیس کی اندرونی توانائی کے بارے میں کچھ نہیں بتاتا۔ اس کے لیے دوسرے تجربات درکار ہیں۔ اگلا حصہ، جسے پہلی قرأت میں چھوڑا جا سکتا ہے، وہ تجرباتی طریقۂ کار دکھاتا ہے جو مثالی گیس کے دوسرے بنیادی فارمولے تک لے جاتا ہے:

جہاں $c_V$ ایک مستقل ہے جس پر ہم بعد میں واپس آئیں گے، اور $U_0(n)$ درجہ حرارت سے آزاد ایک حوالہ جاتی حد ہے۔ ابھی سے نوٹ کریں کہ حرارتی حرکیات کا رسمی ڈھانچا ان حالت کی مساواتوں کو اخذ کرنے کی اجازت نہیں دیتا۔ البتہ شماریاتی طبیعیات انھیں ایک خردبینی ماڈل سے بازیافت کرنے دے گی۔

1.1. ژول-گے-لوساک کا پھیلاؤ

بنیادی تجربہ خلا میں گیس کے پھیلاؤ کا مشاہدہ ہے۔ عملی طور پر سالموں کے باہمی تعاملات کم کرنے اور یوں مثالی گیس کے ماڈل کے قریب جانے کے لیے کافی رقیق گیس استعمال کی جاتی ہے۔ ایک سخت اور حرارتی طور پر معزول ظرف دو خانوں میں منقسم ہوتا ہے۔ پہلے خانے میں حالتِ توازن میں گیس ہوتی ہے اور دوسرا خالی ہوتا ہے۔ دونوں کو جدا کرنے والی دیوار ہٹا دی جاتی ہے، نئی حالتِ توازن قائم ہونے کا انتظار کیا جاتا ہے، پھر اسے تجرباتی طور پر مشخص کیا جاتا ہے۔

XIX^e صدی کے آغاز میں گے-لوساک نے سب سے پہلے اس نوع کے تجربات کیے؛ بعد میں، تقریباً ۱۸۴۵ میں، ژول نے انھیں دہرایا۔ اہم تجرباتی نتیجہ یہ ہے کہ گیس کی ابتدائی اور آخری حالت کے درمیان درجۂ حرارت میں کوئی تبدیلی مشاہدہ نہیں ہوتی۔ حقیقت میں حقیقی گیس کے لیے ایک چھوٹی تبدیلی باقی رہتی ہے، جو گیس اور حالات کے لحاظ سے مثبت یا منفی ہو سکتی ہے؛ مگر کثافت کم ہونے پر صفر کی طرف جاتی ہے۔ اس لیے مثالی ماڈل میں یہ ماننا مناسب ہے کہ عین $T_B=T_A$ ہے۔

اس نتیجے کی تشریح کے لیے دیکھیں کہ پہلا اصول کیا کہتا ہے۔ گیس خلا میں پھیلتی ہے، اس لیے بیرونی دباؤ صفر اور نتیجتاً $W=0$ ہے۔ مزید یہ کہ نظام کی دیواریں حرارتی طور پر معزول ہیں، اس لیے $Q=0$ بھی ہے۔ پہلا اصول تب لازم کرتا ہے کہ

$$\Delta U=0.$$

اب عارضی طور پر مان لیں کہ اندرونی توانائی کو $U=U(T,V,n)$ لکھا جا سکتا ہے؛ ان متغیرات کا انتخاب دوسرے اصول کے قیام کے بعد درست ثابت کیا جائے گا۔ چونکہ نظام بند ہے، $n$ مقرر ہے۔ مختلف ابتدائی اور آخری حجموں کے لیے تجربہ دہرانے سے معلوم ہوتا ہے کہ مقررہ درجۂ حرارت پر (کیونکہ $T_B=T_A$)، حجم بدلنے پر اندرونی توانائی تبدیل نہیں ہوتی ($\Delta U=0$)۔ لہٰذا

حاصل ہوتا ہے۔ یہ خاصیت ژول کا قانون ہے: مثالی گیس کی اندرونی توانائی اس کے حجم پر منحصر نہیں۔ یہ تجربہ ابھی تابع $U(T,n)$ کی صورت نہیں بتاتا۔

1.2. مثالی گیس کی اندرونی توانائی

$U$ کی صورت معلوم کرنے کے لیے ہم دوسرے تجربے پر غور کرتے ہیں۔ گیس کی ایک معلوم مقدار کو سخت ظرف میں گرم کیا جاتا ہے۔ مستقل حجم پر دباؤ کی قوتوں کا کام صفر ہے؛ اس لیے گیس کو دی گئی توانائی $Q$ اس کی اندرونی توانائی کی تبدیلی کے برابر ہے۔ توانائی کی چھوٹی مقداریں فراہم کرکے اور درجۂ حرارت کا متناظر اضافہ ناپ کر مستقل حجم پر مولی حرارتی گنجائش کی قدر تجرباتی طور پر معلوم کی جاتی ہے:

اصولی طور پر یہ گنجائش درجۂ حرارت پر منحصر ہے۔ براہِ راست پیمائش مشکل ہے، کیونکہ گیس کی حرارتی گنجائش ظرف اور مسعر کی حرارتی گنجائش کے مقابلے میں کم ہے۔ اس کے باوجود پیمائش ممکن ہے، اور یہ بھی دکھایا جا سکتا ہے کہ رقیق گیس کے لیے $c_V(T)$ تقریباً مستقل ہے۔ اسے بالکل مستقل فرض کرکے گزشتہ تعلق کا تکمل لیا جا سکتا ہے، جس سے

ملتا ہے۔ مادے کی مقدار مقرر ہو تو تکمل سے

$$U(T,n)=n c_V T+U_0(n),$$

ملتا ہے، جہاں حوالہ جاتی حد $U_0(n)$ درجۂ حرارت سے آزاد ہے۔ مادے کی مقدار مقرر ہو تو اندرونی توانائی کا مبدأ اس طرح چنا جا سکتا ہے کہ $U_0(n)=0$ ہو، کیونکہ صرف $U$ کی تبدیلیاں اہم ہیں۔ تب دوبارہ $U=n c_V T$ ملتا ہے۔ عام درجۂ حرارت پر رقیق ہیلیم جیسی یک جوہری گیس کے لیے $c_V\simeq 3R/2$، اور بہت سی دو جوہری گیسوں کے لیے $c_V\simeq 5R/2$ ناپا جاتا ہے، جہاں $R$ مثالی گیس کا مستقل ہے۔ ہم آگے $c_V$ کی قدروں پر واپس آئیں گے۔

2. مثالی گیس پر پہلے اصول کا اطلاق

اب ہم مثالی گیس کی معمول کی تبدیلیوں کے دوران اندرونی توانائی کی تبدیلی، نیز مبادلہ شدہ کام اور حرارت معلوم کر سکتے ہیں۔ ہم ایسے بند نظام تک محدود رہیں گے جس کی میکروسکوپک حرکی یا وضعی توانائی تبدیل نہیں ہوتی، اور جس میں واحد کام دباؤ کی قوتوں کا کام ہے۔ سبق ۴ کے نتائج دیتے ہیں

آئندہ حسابات میں ہم یہ بھی فرض کرتے ہیں کہ تبدیلی نیم سکونی ہے: نظام تب حالت ہائے توازن کی سطح پر ایک راستہ طے کرتا ہے۔ آگے ہم یہ بھی فرض کریں گے کہ بیرونی دباؤ $P_{\mathrm{ext}}$ کو گیس کے دباؤ $P$ کے برابر رکھا جا سکتا ہے۔ یہ مفروضہ نہایت اہم ہے: اچانک تبدیلی کے دوران گیس کا دباؤ یکساں نہ ہو سکتا ہے، اور $P_{\mathrm{ext}}$ کو $P$ سے بدلنا درست نہیں۔ دوسرے اصول اور قابلِ برگشت یا ناقابلِ برگشت کہلانے والی تبدیلیوں کے مطالعے میں ہم اس مفروضے پر واپس آئیں گے۔

2.1. ہم حجمی تبدیلی

ہم حجمی تبدیلی میں $dV=0$ ہے۔ اس لیے دباؤ کی قوتوں کا کام صفر ہے: $W=0$۔ پہلا اصول تب دیتا ہے

جب گیس حرارت حاصل کرتی ہے ($Q>0$)، اس کا درجۂ حرارت بڑھتا ہے، اور بالعکس۔ بھٹی میں ہوا گرم کرنے پر بنیادی طور پر یہی ہوتا ہے (اگر اسے بند فرض کریں، حالانکہ وہ مکمل طور پر بند نہیں ہوتی)۔

2.2. ہم دما تبدیلی

اگر درجۂ حرارت مستقل $T=T_0$ ہو تو $\Delta U=0$ ہے، کیونکہ $U$ صرف $T$ پر منحصر ہے۔ اس لیے $Q=-W$۔ $P=\frac{nRT_0}{V}$ کے ساتھ، گیس کو ملنے والا کام ہے

$$W =- \int_{V_A}^{V_B}P\,dV = - \int_{V_A}^{V_B}\frac{nRT_0}{V}\,dV$$

جس سے ملتا ہے

پھیلاؤ کے دوران $V_B>V_A$، اس لیے $W<0$ ہے: گیس کام فراہم کرتی ہے اور اتنی ہی توانائی حرارت کی صورت میں حاصل کرتی ہے ($Q = - W >0$)۔ ہم دما پھیلاؤ کا یہ مرحلہ مثالی طاقت پیدا کرنے والے چکروں میں اکثر استعمال ہوگا۔ سکیڑنے کے دوران علامتیں الٹ جاتی ہیں۔

2.3. ہم فشاری تبدیلی

مستقل دباؤ $P=P_0$ پر گیس کو ملنے والا کام ہے

دوسری طرف حالت کی مساوات $PV=nRT$ دیتی ہے $P_0(V_B-V_A)=nR(T_B-T_A)$، اور اس لیے $W=-nR\Delta T$ بھی ہے۔ چونکہ $Q=\Delta U-W$، ہمیں ملتا ہے

یہ اظہار فطری طور پر مستقل دباؤ پر مولی حرارتی گنجائش، جسے $c_P$ لکھتے ہیں، متعارف کراتا ہے؛ ہم فشاری تبدیلی کے دوران $Q=nc_P\Delta T$ ہوتا ہے۔ مثالی گیس کے لیے

ہے، ایک تعلق جس پر ہم بعد میں دوبارہ آئیں گے (مائر کا تعلق)۔ یہ تناسب بھی متعارف کیا جاتا ہے:

جسے گیس کا ادیابیاتی اشاریہ کہتے ہیں۔ مائر کا تعلق دکھاتا ہے کہ $\gamma >1$۔ یک جوہری گیس کے لیے، جہاں $c_V=3R/2$، ہمیں $c_P=5R/2$ اور $\gamma=5/3$ ملتے ہیں۔ دو جوہری گیس کے لیے، جہاں $c_V=5R/2$، $c_P=7R/2$ اور $\gamma=7/5$ ملتے ہیں۔ چونکہ $c_P=c_V+R$، ان تعلقات کو الٹ کر حاصل کیا جا سکتا ہے

$$\boxed{ c_V=\frac{R}{\gamma-1}, \qquad c_P=\frac{\gamma R}{\gamma-1} }$$

جو حسابات میں اکثر نہایت مفید ہیں۔

سبق ۸ میں ہم حرارتی گنجائشوں $c_V$ اور $c_P$، ان کی عمومی تعریف اور تشریح کا زیادہ منظم مطالعہ کریں گے۔ فی الحال اتنا یاد رکھنا کافی ہے کہ گیس کی ایک ہی مقدار کا درجۂ حرارت یکساں قدر سے بڑھانے کے لیے مستقل دباؤ پر مستقل حجم کی نسبت زیادہ توانائی درکار ہوتی ہے: پہلی صورت میں حاصل شدہ توانائی کا ایک حصہ گیس کے ناگزیر پھیلاؤ کے دوران کام کی صورت میں ماحول کو واپس دیا جاتا ہے۔

2.4. ادیابیاتی تبدیلی

اب ایک ادیابیاتی تبدیلی پر غور کریں، جس کے لیے $Q=0$۔ گزشتہ حالتوں کے برخلاف، ابتدائی اور آخری حالتوں کے درمیان $\Delta U$ اور $W$ کے اظہار فوراً حاصل نہیں ہوتے، کیونکہ $\Delta U=W$ ہے، مگر کام

$$W=-\int_A^B P\,dV,$$

لکھا جاتا ہے اور ابھی یہ معلوم نہیں کہ دباؤ $P$ حجم کے ساتھ کیسے تبدیل ہوتا ہے۔ اس کے لیے پہلے اصول کی تفرقی صورت کی طرف لوٹنا ہوگا، جو تبدیلی کے ساتھ $U$، $P$ اور $V$ کی لامتناہی چھوٹی تبدیلیوں کو جوڑتی ہے۔ درج ذیل اخذ ایک نہایت روایتی مشق ہے، جو اکثر اس صورت میں پوچھی جاتی ہے: ’’پہلے اصول سے مثالی گیس کے لاپلاس کے قوانین حاصل کریں‘‘۔ درج ذیل تمام حسابات ازسرِنو کرنے کی پُرزور سفارش کی جاتی ہے۔

چونکہ $\delta Q=0$، پہلا اصول دیتا ہے

$$dU=\delta W=-P\,dV.$$

زیرِ مطالعہ مثالی گیس کے لیے $dU=n c_V\,dT$ ہے۔ لہٰذا $n c_V\,dT=-P\,dV$۔ $PV=nRT$، یعنی $P=nRT/V$، استعمال کرنے اور $n$ کو مختصر کرنے سے تفرقی مساوات ملتی ہے

$$c_V\frac{dT}{T}=-R\frac{dV}{V}.$$

اس کا تکمل فوراً لیا جا سکتا ہے:

$$c_V\ln T+R\ln V=\mathrm{const}.$$

$c_V$ سے تقسیم کرتے ہیں اور نوٹ کرتے ہیں کہ

$$\frac{R}{c_V} = \frac{c_P-c_V}{c_V} = \gamma-1.$$

پس حاصل ہوتا ہے

$$\ln T+(\gamma-1)\ln V=\mathrm{const},$$

یعنی

$PV=nRT$ کو اس تعلق میں دوبارہ رکھنے سے دو دوسری مساوی صورتیں حاصل کی جا سکتی ہیں۔ تینوں لاپلاس کے قوانین، جو باہم مساوی ہیں، یوں لکھے جاتے ہیں:

عملی طور پر مسئلے کے دیے گئے اعداد کے مطابق ان میں سے ایک صورت استعمال ہوگی۔ کام کئی طریقوں سے معلوم کیا جا سکتا ہے۔ سب سے براہِ راست طریقہ پہلا اصول استعمال کرنا ہے: چونکہ $Q=0$، اس لیے $W=\Delta U$، اور یوں

ملتا ہے۔ اگر ابتدائی اور آخری درجۂ حرارت معلوم ہوں تو یہ اظہار مفید ہے۔ دباؤ کی قوتوں کا براہِ راست تکمل لے کر بھی کام معلوم کیا جا سکتا ہے۔ لاپلاس کا قانون $PV^\gamma=\mathrm{const}$ تبدیلی کے ساتھ $P=K/V^\gamma$ لکھنے دیتا ہے، جہاں $K=P_AV_A^\gamma=P_BV_B^\gamma$۔ تب

$$W=-\int_{V_A}^{V_B}P\,dV =-K\int_{V_A}^{V_B}V^{-\gamma}\,dV =\frac{K}{\gamma-1} \left(V_B^{1-\gamma}-V_A^{1-\gamma}\right).$$

اگر ابتدائی اور آخری حجم معلوم ہوں تو یہ اظہار مفید ہے۔ یہ بھی نوٹ کریں کہ $KV_A^{1-\gamma}=P_AV_A$ اور $KV_B^{1-\gamma}=P_BV_B$، جس سے یہ بھی ملتا ہے:

یہ تمام اظہار مساوی ہیں۔ ادیابیاتی پھیلاؤ میں گیس کام فراہم کرتی ہے: $W<0$۔ اس کی اندرونی توانائی کم ہوتی ہے اور درجۂ حرارت گرتا ہے۔ اس کے برعکس ادیابیاتی سکڑاؤ اس کا درجۂ حرارت بڑھاتا ہے۔

3. کلیپیرون نقشے

گیس کی تبدیلیوں کو سمجھنے کے لیے $(P,V)$ مستوی میں نمائندگی نہایت مفید ہے، جہاں ہر نقطہ حالتِ توازن کے مطابق ہے اور حجم $V$ افقی محور پر اور دباؤ $P$ عمودی محور پر اسے مشخص کرتے ہیں۔ اس نمائندگی کو کلیپیرون نقشہ کہتے ہیں۔

ہر نقطے پر درجۂ حرارت حالت کی مساوات $PV=nRT$ سے متعین ہوتا ہے۔ چونکہ ہم ہمیشہ ایک بند نظام پر غور کرتے ہیں، $n$ مستقل ہے اور عموماً سوال میں دیا جاتا ہے۔ اہم نکتہ یہ ہے کہ $T$ حاصل ضرب $PV$ کے متناسب ہے: لہٰذا نقطہ نقشے کے جس خطے میں ہو جہاں یہ حاصل ضرب بڑا ہے، مجموعی طور پر اوپر اور دائیں طرف، درجۂ حرارت اتنا ہی زیادہ ہے۔

گزشتہ مفروضوں کے تحت گیس کی ایک تبدیلی کو ابتدائی حالت $A$ کو آخری حالت $B$ سے ملانے والے منحنی سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ یوں کلیپیرون نقشہ اوپر زیرِ مطالعہ تبدیلیوں کی نہایت مفید ہندسی نمائندگی فراہم کرتا ہے۔

3.1. معمول کی تبدیلیوں کی نمائندگی

اوپر زیرِ مطالعہ چار تبدیلیاں $(P,V)$ مستوی میں نہایت سادہ صورتیں اختیار کرتی ہیں۔

ہم حجمی تبدیلی، $V=V_0$، ایک عمودی خطی قطعے سے ظاہر ہوتی ہے، جبکہ ہم فشاری تبدیلی، $P=P_0$، ایک افقی خطی قطعے سے ظاہر ہوتی ہے۔

ہم دما تبدیلی کے لیے حالت کی مساوات $P(V)=nRT_0/V$ دیتی ہے: لہٰذا منحنی زائد قطع کی ایک شاخ ہے۔

آخر میں ادیابیاتی تبدیلی لاپلاس کے قانون $PV^\gamma=\mathrm{const}$، یعنی $P=K/V^\gamma$، پر عمل کرتی ہے۔ چونکہ $\gamma>1$، ادیابیاتی منحنی کے ساتھ دباؤ حجم کے لحاظ سے ہم دما منحنی کی نسبت زیادہ تیزی سے کم ہوتا ہے۔ اسی نقطے پر ڈھلوانوں کا موازنہ کرکے اسے براہِ راست دیکھا جا سکتا ہے:

$$\left(\frac{dP}{dV}\right)_{\mathrm{isoth}} =-\frac{P}{V}, \qquad \left(\frac{dP}{dV}\right)_{\mathrm{ad}} =-\gamma\frac{P}{V}.$$

اس لیے ادیابیاتی منحنی ہم دما منحنی سے زیادہ ’’کھڑا‘‘ ہے۔

3.2. انہی حالتوں کے درمیان دو راستے

کلیپیرون نقشہ اب گزشتہ سبق میں قائم ایک بنیادی خاصیت کو واضح طور پر دکھاتا ہے: $U$ حالتی تفاعل ہے، جبکہ $Q$ اور $W$ اختیار کردہ تبدیلی پر منحصر ہیں۔

مثلاً دو حالتیں لیں:

$$A=(P_0,V_0), \qquad B=\left(\frac{P_0}{2},2V_0\right).$$

مثالی گیس کی مساوات $T_A=T_B=T_0$ دیتی ہے، جہاں $T_0=P_0V_0/(nR)$۔ چونکہ مثالی گیس کی اندرونی توانائی صرف اس کے درجۂ حرارت پر منحصر ہے،

$$\boxed{\Delta U_{A\to B}=0}$$

خواہ $A$ کو $B$ سے ملانے والی تبدیلی کوئی بھی ہو۔ اب شکل 2 میں دکھائے گئے دو راستوں کا موازنہ کریں۔

پہلے راستے $\mathcal P_1$، جو براہِ راست ہم دما پھیلاؤ ہے، کے لیے ہمارے پاس

$$W_1=-nRT_0\ln 2=-P_0V_0\ln 2.$$

ہے۔ چونکہ $\Delta U=0$، اس لیے $Q_1=-W_1=P_0V_0\ln 2$۔

دوسرے راستے $\mathcal P_2$ کے لیے پہلے ہم فشاری تبدیلی $A\to C$، پھر ہم حجمی تبدیلی $C\to B$ کی جاتی ہے۔ پہلی شاخ پر گیس کو ملنے والا کام $W_{AC}=-P_0V_0$ ہے، جبکہ $W_{CB}=0$۔ لہٰذا

$$W_2=-P_0V_0, \qquad Q_2=P_0V_0.$$

آخرکار ملتا ہے

دونوں راستوں کے سرے یکساں ہیں، لہٰذا اندرونی توانائی کی تبدیلی بھی ایک ہے؛ لیکن وہ مختلف کاموں اور، پہلے اصول کے مطابق، مختلف حرارتی انتقالات کا باعث بنتے ہیں۔

3.3. منحنی کے نیچے رقبے کے طور پر کام

کام کے راستے پر انحصار کی ایک براہِ راست ہندسی تشریح ہے۔ کلیپیرون نقشے میں ظاہر نیم سکونی تبدیلی کے لیے گیس کو ملنے والا کام

ہے۔ تکمل $\int_A^B P\,dV$ تبدیلی کو بیان کرنے والے منحنی کے نیچے جبری رقبہ ظاہر کرتا ہے۔ ہماری علامتی روایت میں گیس کو ملنے والا کام اس رقبے کا منفی ہے۔

یہاں یہ یاد رکھنا نہایت اہم ہے کہ حدود کی ترتیب تکمل کی علامت طے کرتی ہے۔ $A$ سے $B$ تک پھیلاؤ میں، جہاں $V_B>V_A$، ہمارے پاس

$$W[A\to B]=-\int_{V_A}^{V_B}P\,dV<0 :$$

ہے: گیس اپنے ماحول کو کام دیتی ہے۔ الٹی سمت میں دباؤ کے دوران حدود بدل جاتے ہیں اور

$$W[B\to A] =-\int_{V_B}^{V_A}P\,dV =+\int_{V_A}^{V_B}P\,dV>0 :$$

ہے: گیس کام حاصل کرتی ہے۔ لہٰذا کلیپیرون نقشے میں کھینچے گئے ہر منحنی کی سمت ایک تیر سے دکھانا لازمی ہے۔

یہ تشریح بہت سادہ طور پر یہ بھی سمجھاتی ہے کہ شکل 2 کے دونوں راستے مختلف کام کیوں دیتے ہیں: دونوں منحنیوں کے نیچے رقبے یکساں نہیں۔

3.4. طاقت پیدا کرنے والے اور تبریدی چکر

چکری تبدیلی میں نظام اپنی ابتدائی حالت میں واپس آتا ہے۔ لہٰذا چکر کو کلیپیرون نقشے میں ایک بند منحنی سے ظاہر کیا جاتا ہے۔

چونکہ $U$ حالتی تفاعل ہے، $\Delta U_{\mathrm{cycle}}=0$۔ اس لیے پہلا اصول لازم کرتا ہے کہ $Q_{\mathrm{cycle}}=-W_{\mathrm{cycle}}$۔ مزید یہ کہ

گزشتہ ہندسی تشریح اب نہایت سادہ صورت اختیار کرتی ہے: کام کی مطلق قدر چکر سے محصور رقبے کے برابر ہے۔ اسے دیکھنے کے لیے ایسے چکر پر غور کریں جس کی بالائی شاخ $P_+(V)$ کو $V_1$ سے $V_2$ تک، جہاں $V_1<V_2$، اور پھر زیریں شاخ $P_-(V)$ کو مخالف سمت میں طے کیا جاتا ہے، جیسا کہ شکل 4 میں ہے۔ ہمارے پاس

$$\oint P\,dV = \int_{V_1}^{V_2}P_+(V)\,dV + \int_{V_2}^{V_1}P_-(V)\,dV = \int_{V_1}^{V_2} \bigl[P_+(V)-P_-(V)\bigr]\,dV.$$

ہے۔ یہ بالائی شاخ کے نیچے رقبہ منفی زیریں شاخ کے نیچے رقبہ، یعنی چکر سے محصور رقبہ ہے۔ یہاں زیرِ غور ساعت وار سمت میں یہ تکمل مثبت ہے، اس لیے موصولہ کام منفی ہے۔

طاقت پیدا کرنے والے چکر کے لیے پہلا اصول لازم کرتا ہے کہ $Q_{\mathrm{cycle}}=-W_{\mathrm{cycle}}>0$ ہو: پورے چکر میں گیس اپنے ماحول کو دیے گئے کام کے برابر خالص مقدار میں حرارت حاصل کرتی ہے۔