کارنو چکر: ہر شاخ پر توانائی اور اینٹروپی

سوال 1۔ خاکہ ادیابیاتی شاخیں $AB$ اور $CD$، گرم ہم دما پر $BC$ اور سرد ہم دما پر $DA$ دکھاتا ہے۔ چکر گھڑی کی سمت چلتا ہے۔ ادیابیاتی شاخ $AB$ پر لاپلاس تعلق دیتا ہے

$$T_{\mathrm{C}}V_A^{\gamma-1}=T_{\mathrm{H}}V_B^{\gamma-1},\qquad \left(\frac{V_A}{V_B}\right)^{\gamma-1}=\frac{T_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{C}}}.$$

$1/(\gamma-1)$ قوت لے کر اور $b=(T_{\mathrm{H}}/T_{\mathrm{C}})^{1/(\gamma-1)}$ رکھ کر $V_A=bV_B$ ملتا ہے۔ اسی طرح $CD$ پر،

$$T_{\mathrm{H}}V_C^{\gamma-1}=T_{\mathrm{C}}V_D^{\gamma-1} \quad\Longrightarrow\quad V_D=bV_C=brV_B.$$

لہٰذا $V_D/V_A=(brV_B)/(bV_B)=r$: ہم دما شاخوں کے حجم کا تناسب یکساں ہے، مگر مخالف سمتوں میں طے ہوتا ہے۔

سوال 2۔ ہر قابلِ برگشت ادیابیاتی شاخ پر $\delta Q_{\mathrm{rev}}=0$ اور $\mathrm dS=\delta Q_{\mathrm{rev}}/T=0$:

$$Q_{AB}=Q_{CD}=0,\qquad \Delta S_{AB}=\Delta S_{CD}=0.$$

مثالی گیس کی ہم دما شاخ پر $\mathrm dU=0$، اس لیے $\delta Q_{\mathrm{rev}}=P\,\mathrm dV=nRT\,\mathrm dV/V$۔ گرم درجۂ حرارت پر پھیلاؤ کے لیے،

$$\begin{aligned} Q_{BC}&=nRT_{\mathrm{H}}\int_{V_B}^{rV_B}\frac{\mathrm dV}{V} =nRT_{\mathrm{H}}[\ln V]_{V_B}^{rV_B}=nRT_{\mathrm{H}}\ln r>0,\\ \Delta S_{BC}&=\frac{Q_{BC}}{T_{\mathrm{H}}}=nR\ln r. \end{aligned}$$

سرد درجۂ حرارت پر دبانے کے لیے $V_A/V_D=1/r$:

$$\begin{aligned} Q_{DA}&=nRT_{\mathrm{C}}\int_{V_D}^{V_A}\frac{\mathrm dV}{V} =nRT_{\mathrm{C}}[\ln V]_{V_D}^{V_A}\\ &=nRT_{\mathrm{C}}\ln\frac{V_A}{V_D}=-nRT_{\mathrm{C}}\ln r<0,\\ \Delta S_{DA}&=\frac{Q_{DA}}{T_{\mathrm{C}}}=-nR\ln r. \end{aligned}$$

$(S,T)$ خاکے میں $AB$ اور $CD$ پر اینٹروپی مستقل ہے: یہ شاخیں عمودی ہیں۔ ہم دما شاخیں $BC$ اور $DA$ افقی ہیں۔ $S_A$ کو نسبتی مبدا لینے پر محددات ہیں

$$\begin{aligned} \begin{array}{c|cc} \text{حالت}&S-S_A&T\\ \hline A&0&T_{\mathrm{C}}\\ B&0&T_{\mathrm{H}}\\ C&nR\ln r&T_{\mathrm{H}}\\ D&nR\ln r&T_{\mathrm{C}} \end{array} \end{aligned}$$

گھڑی کی سمت مستطیل ملتا ہے، جس کی چوڑائی $nR\ln r$ اور اونچائی $T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}$ ہے۔

سوال 3۔ ایک چکر میں $\Delta U=0$۔ وصول کردہ توانائی کو مثبت گننے سے پہلا اصول دیتا ہے

$$W=-(Q_{AB}+Q_{BC}+Q_{CD}+Q_{DA}) =-nR(T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}})\ln r<0.$$

دیا گیا کام $-W>0$ اور گرم ذخیرے سے وصول کردہ حرارت $Q_{BC}>0$ ہے۔ اس لیے کارکردگی ہے

$$\eta=\frac{-W}{Q_{BC}} =\frac{nR(T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}})\ln r}{nRT_{\mathrm{H}}\ln r} =\frac{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}=1-\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}.$$

ہر ذخیرہ گیس کو دی گئی حرارت کی مخالف مقدار وصول کرتا ہے:

$$\Delta S_{\mathrm{th,H}}=\frac{-Q_{BC}}{T_{\mathrm{H}}}=-nR\ln r,\qquad \Delta S_{\mathrm{th,C}}=\frac{-Q_{DA}}{T_{\mathrm{C}}}=nR\ln r.$$

گیس ابتدائی حالت میں لوٹتی ہے، اس لیے $\Delta S_{\mathrm{gas}}=0$۔ تین تبدیلیوں کا مجموعہ صفر ہے: اینٹروپی پیدا نہیں ہوتی۔ ماحول کو دیا گیا کام اینٹروپی نہیں لے جاتا۔

سوال 4۔ مشین کے لیے وصول کردہ توانائی کا رواج برقرار رکھیے: $Q_{\mathrm{H}}>0$ گرم ذخیرے سے، $Q_{\mathrm{C}}<0$ سرد ذخیرے سے وصول کردہ حرارت، اور $W<0$ چکر کا وصول کردہ کام ہے۔ ذخائر مخالف حرارتیں $-Q_{\mathrm{H}}$ اور $-Q_{\mathrm{C}}$ لیتے ہیں۔ ان کی کل اینٹروپی تبدیلی پیدا شدہ اینٹروپی ہے، کیونکہ مشین ابتدائی حالت میں لوٹتی ہے اور ماحول کو صرف کام منتقل ہوتا ہے:

$$S_{\mathrm{i}}=-\frac{Q_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{H}}}-\frac{Q_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}.$$

$T_{\mathrm{C}}$ سے ضرب دے کر $Q_{\mathrm{C}}$ الگ کرنے پر

$$T_{\mathrm{C}}S_{\mathrm{i}}=-\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}Q_{\mathrm{H}}-Q_{\mathrm{C}}, \qquad Q_{\mathrm{C}}=-\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}Q_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}S_{\mathrm{i}}.$$

پہلا اصول $0=Q_{\mathrm{H}}+Q_{\mathrm{C}}+W$ دیتا ہے۔ حاصل کردہ کام $|W|=-W=Q_{\mathrm{H}}+Q_{\mathrm{C}}$ ہے، لہٰذا

$$\eta=\frac{|W|}{Q_{\mathrm{H}}}=1+\frac{Q_{\mathrm{C}}}{Q_{\mathrm{H}}} =1-\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}-\frac{T_{\mathrm{C}}S_{\mathrm{i}}}{Q_{\mathrm{H}}}.$$

چونکہ $T_{\mathrm{C}}>0$ اور $Q_{\mathrm{H}}>0$، مثبت اینٹروپی پیداوار کارکردگی کم کرتی ہے۔

سوال 5۔ دونوں انجن گرم ذخیرے سے ایک ہی حرارت لیتے ہیں۔ سوال 2 سے،

$$Q_{\mathrm{H}}=nRT_{\mathrm{H}}\ln r=1{,}0\times8{,}314\times500\times\ln3{,}4 \simeq5087\ \mathrm J.$$

قابلِ برگشت انجن کی کارکردگی ہے

$$\eta_{\mathrm{Carnot}}=1-\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}} =1-\frac{300}{500}=0{,}40=40\,\%.$$

سوال 4 دونوں کارکردگیوں کا فرق دیتا ہے:

$$\Delta\eta=\eta_{\mathrm{Carnot}}-\eta_{\mathrm{irr}} =\frac{T_{\mathrm{C}}S_{\mathrm{i}}}{Q_{\mathrm{H}}} \simeq\frac{300\times2{,}0}{5087}=0{,}118.$$

شمار کنندہ $T_{\mathrm{C}}S_{\mathrm{i}}=600\ \mathrm J$ توانائی ہے، اس لیے نسبت بے بُعد ہے۔ کمی $100\Delta\eta\simeq11{,}8$ فی صد پوائنٹس ہے۔ یوں،

$$\eta_{\mathrm{irr}}=0{,}40-0{,}118\simeq0{,}282=28{,}2\,\%.$$

کارکردگی $40\,\%$ سے $28{,}2\,\%$ ہو جاتی ہے؛ $11{,}8$ پوائنٹس کی کمی $11{,}8\,\%$ کی نسبتی کمی نہیں ہے۔