پانی کی ایک کمیت کو گرم کرنا: ایک، دو، پھر $N$ حرارتی ذخائر

سوال 1۔ خاکہ ابتدا میں $T_i$ پر پانی، $T_f$ پر ذخیرہ اور ذخیرے سے پانی کی طرف حرارت کا تیر دکھاتا ہے۔ ایک حد الگ تھلگ مجموعے $S+\text{ماحول}$ کو گھیرتی ہے۔ پانی کام وصول کیے بغیر $T_f$ تک پہنچتا ہے، لہٰذا پہلا اصول دیتا ہے

$$Q_{\mathrm{water}}=\Delta U_{\mathrm{water}}=mc(T_f-T_i)>0.$$

پانی—ذخیرہ مجموعہ الگ تھلگ ہے: اس کی کل توانائی محفوظ ہے،

$$\Delta U_{\mathrm{water}}+\Delta U_{\mathrm{th}}=0.$$

چونکہ کوئی جسم کام کا تبادلہ نہیں کرتا،

$$Q_{\mathrm{water}}+Q_{\mathrm{th}}=0,\qquad Q_{\mathrm{th}}=-Q_{\mathrm{water}}=-mc(T_f-T_i)<0.$$

ذخیرے کی وصول کردہ حرارت منفی ہے: وہ پانی کو توانائی دیتا ہے۔

سوال 2۔ $T_i$ اور $T_f$ کے درمیان قابلِ برگشت راستے پر پانی $\delta Q_{\mathrm{rev}}=mc\,\mathrm dT$ وصول کرتا ہے۔ اس کی اینٹروپی کی تبدیلی ہے

$$\Delta S_{\mathrm{water}}=mc\int_{T_i}^{T_f}\frac{\mathrm dT}{T} =mc[\ln T]_{T_i}^{T_f}=mc\ln\frac{T_f}{T_i}>0.$$

ذخیرہ $T_f$ پر رہتا ہے، لہٰذا

$$\Delta S_{\mathrm{th}}=\frac{Q_{\mathrm{th}}}{T_f} =-mc\frac{T_f-T_i}{T_f}<0.$$

مجموعہ الگ تھلگ ہونے کی وجہ سے باقی کائنات سے اینٹروپی کا تبادلہ نہیں کرتا۔ اس کی پوری اینٹروپی تبدیلی پیدا شدہ ہے:

$$\Delta S_{\mathrm{tot}}^{(1)} =\Delta S_{\mathrm{water}}+\Delta S_{\mathrm{th}} =mc\left[\ln\frac{T_f}{T_i}-\frac{T_f-T_i}{T_f}\right]>0.$$

واقعی، $T_i\leq T<T_f$ کے لیے $1/T>1/T_f$، لہٰذا $\int_{T_i}^{T_f}\mathrm dT/T>(T_f-T_i)/T_f$۔ مختلف درجۂ حرارت والے دو جسموں کے درمیان حرارت کی منتقلی ناقابلِ برگشت ہے۔

سوال 3۔ $h=(T_f-T_i)/2$ رکھیے، تاکہ $T_m-T_i=T_f-T_m=h$۔ پانی ہر مرحلے میں $mc h$ وصول کرتا ہے۔ مجموعے کے الگ تھلگ ہونے سے ذخائر کے لیے

$$Q_{\mathrm{th},1}=-mc h,\qquad Q_{\mathrm{th},2}=-mc h,$$

اور اس لیے

$$\Delta S_{\mathrm{th},1}=-\frac{mc h}{T_m},\qquad \Delta S_{\mathrm{th},2}=-\frac{mc h}{T_f}.$$

پانی کے لیے دونوں مرحلوں کی تبدیلیاں جمع کرتے ہیں:

$$\begin{aligned} \Delta S_{\mathrm{water}} &=mc\ln\frac{T_m}{T_i}+mc\ln\frac{T_f}{T_m}\\ &=mc\bigl[(\ln T_m-\ln T_i)+(\ln T_f-\ln T_m)\bigr]\\ &=mc\ln\frac{T_f}{T_i}. \end{aligned}$$

درمیانی اجزا منسوخ ہو جاتے ہیں۔ پانی کی اینٹروپی کی تبدیلی ایک ذخیرے والی صورت کے عین برابر ہے: اینٹروپی حالت کا تفاعل ہے اور دونوں تجربوں میں پانی کی ابتدائی اور آخری حالتیں یکساں ہیں۔ صرف راستہ بدلتا ہے۔ الگ تھلگ مجموعے کے لیے،

$$\Delta S_{\mathrm{tot}}^{(2)} =mc\left[\ln\frac{T_f}{T_i}-h\left(\frac1{T_m}+\frac1{T_f}\right)\right].$$

دونوں موازنوں کا فرق ہے

$$\Delta S_{\mathrm{tot}}^{(1)}-\Delta S_{\mathrm{tot}}^{(2)} =mc h\left(\frac1{T_m}-\frac1{T_f}\right)>0.$$

ہر رابطہ اب بھی اینٹروپی پیدا کرتا ہے، مگر درمیانی مرحلہ کل پیدا شدہ اینٹروپی کم کرتا ہے۔

سوال 4۔ $T_0=T_i$ اور $T_N=T_f$ رکھیے۔ مرحلہ $k$ میں پانی $T_{k-1}$ سے $T_k$ تک جاتا اور $mc h$ وصول کرتا ہے۔ متعلقہ ذخیرہ $T_k$ پر رہتا اور وصول کرتا ہے

$$Q_{\mathrm{th},k}=-mc h,\qquad \Delta S_{\mathrm{th},k}=-\frac{mc h}{T_k}.$$

پانی کے لیے مجموعے کے درمیانی اجزا پھر منسوخ ہوتے ہیں:

$$\begin{aligned} \Delta S_{\mathrm{water}} &=mc\sum_{k=1}^{N}\ln\frac{T_k}{T_{k-1}}\\ &=mc\left[\ln\frac{T_1}{T_0}+\ln\frac{T_2}{T_1} +\cdots+\ln\frac{T_N}{T_{N-1}}\right]\\ &=mc\ln\left(\frac{T_1}{T_0}\frac{T_2}{T_1} \cdots\frac{T_N}{T_{N-1}}\right)\\ &=mc\ln\frac{T_N}{T_0} =mc\ln\frac{T_f}{T_i}. \end{aligned}$$

ہر درمیانی درجۂ حرارت ایک بار شمار کنندہ اور ایک بار مخرج میں آتا ہے۔ اس لیے ذخائر کی تعداد بڑھانا بھی انہی ابتدائی اور آخری حالتوں کے لیے پانی کی اینٹروپی کی تبدیلی نہیں بدلتا۔ اس کے برعکس ذخائر کی کھوئی ہوئی اینٹروپی $N$ پر منحصر ہے:

$$\Delta S_{\mathrm{th}}^{(N)}=-mc\,h\sum_{k=1}^{N}\frac1{T_k},\qquad \Delta S_{\mathrm{tot}}^{(N)} =mc\left[\ln\frac{T_f}{T_i}-h\sum_{k=1}^{N}\frac1{T_k}\right].$$

جب $N\to\infty$، تو $h\to0$ اور ریمان مجموعہ کی حد ہے

$$h\sum_{k=1}^{N}\frac1{T_k} \longrightarrow\int_{T_i}^{T_f}\frac{\mathrm dT}{T} =\ln\frac{T_f}{T_i}.$$

یوں الگ تھلگ مجموعے میں پیدا شدہ اینٹروپی کی حد ہے

$$\lim_{N\to\infty}\Delta S_{\mathrm{tot}}^{(N)} =mc\left[\ln\frac{T_f}{T_i}-\ln\frac{T_f}{T_i}\right]=0.$$

پانی ہمیشہ وہی اینٹروپی حاصل کرتا ہے، جبکہ حد میں ذخائر بالکل اتنی ہی کھوتے ہیں۔ قابلِ برگشت گرم کرنا ایسے رابطوں کی مثالی حد ہے جو لامتناہی چھوٹے درجۂ حرارت کے فرق کے ساتھ حسبِ خواہش آہستہ کیے جائیں۔