ایک حرارتی ذخیرے سے رابطے میں دبانا: قابلِ برگشت یا اچانک

سوال 1۔ قابلِ برگشت دبانے میں گیس ذخیرے کے ساتھ حرارتی توازن میں رہتی ہے: پورے عمل میں درجۂ حرارت $T_0$ ہے۔ دباؤ آہستہ آہستہ $P_0$ سے $P_1=xP_0$ تک بڑھتا ہے۔ آخری حالت میں،

$$P_{f,\mathrm{rev}}=xP_0,\qquad T_{f,\mathrm{rev}}=T_0,\qquad V_{f,\mathrm{rev}}=\frac{nRT_0}{xP_0}=\frac{V_0}{x},$$

جہاں ابتدائی حالت کی مساوات $nRT_0=P_0V_0$ استعمال کی گئی ہے۔

اچانک دبانے میں بیرونی دباؤ $P_1$ مقرر کیا جاتا ہے۔ آخری میکانی توازن میں گیس کا دباؤ اسی بیرونی دباؤ کے برابر ہے: $P_{f,\mathrm{irr}}=P_1=xP_0$۔ ذخیرے سے آخری حرارتی توازن $T_{f,\mathrm{irr}}=T_0$ لازم کرتا ہے۔ حالت کی مساوات پھر دیتی ہے

$$V_{f,\mathrm{irr}}=\frac{nRT_{f,\mathrm{irr}}}{P_{f,\mathrm{irr}}} =\frac{nRT_0}{xP_0}=\frac{V_0}{x}.$$

یوں دونوں عمل اسی آخری حالت $(P_f,T_f,V_f)=(xP_0,T_0,V_0/x)$ تک پہنچتے ہیں۔

سوال 2۔ اینٹروپی حالت کا تفاعل ہے: اس کی تبدیلی صرف ابتدائی و آخری حالتوں پر منحصر ہے، جو دونوں تجربوں میں یکساں ہیں۔ مثالی گیس کے لیے،

$$\Delta S_{\mathrm{gas}} =nc_V\ln\frac{T_f}{T_0}+nR\ln\frac{V_f}{V_0} =nc_V\ln1+nR\ln\frac1x=-nR\ln x.$$

لہٰذا $\Delta S_{\mathrm{gas,rev}}=\Delta S_{\mathrm{gas,irr}}=-nR\ln x<0$۔ گیس کی اینٹروپی کا یہ گھٹنا پیدا شدہ اینٹروپی طے نہیں کرتا: ذخیرے سے تبادلے بھی شامل کرنے ہوتے ہیں۔

سوال 3۔ قابلِ برگشت دبانے میں $P_{\mathrm{ext}}=P=nRT_0/V$۔ وصول کردہ کام ہے

$$\begin{aligned} W_{\mathrm{rev}}&=-\int_{V_0}^{V_0/x}\frac{nRT_0}{V}\,\mathrm dV\\ &=-nRT_0[\ln V]_{V_0}^{V_0/x} =-nRT_0\ln(1/x)=nRT_0\ln x>0. \end{aligned}$$

گیس اپنے ابتدائی درجۂ حرارت پر واپس آتی ہے، اس لیے $\Delta U=nc_V(T_0-T_0)=0$۔ پہلا اصول $\Delta U=Q+W$ دیتا ہے $Q_{\mathrm{rev}}=-W_{\mathrm{rev}}$۔ ذخیرہ $T_0$ پر مخالف حرارت وصول کرتا ہے:

$$\Delta S_{\mathrm{th,rev}}=\frac{-Q_{\mathrm{rev}}}{T_0}=nR\ln x.$$

گیس کی وصول کردہ اینٹروپی $S_{\mathrm{e},\mathrm{rev}}=Q_{\mathrm{rev}}/T_0=-nR\ln x$، لہٰذا $S_{\mathrm{i},\mathrm{rev}}=\Delta S_{\mathrm{gas}}-S_{\mathrm{e},\mathrm{rev}}=0$۔ ذخیرہ $S_{\mathrm{e},\mathrm{th}}=-Q_{\mathrm{rev}}/T_0$ اینٹروپی لیتا ہے جو اس کی تبدیلی کے برابر ہے: وہ بھی اینٹروپی پیدا نہیں کرتا۔ جمع کرنے سے $\Delta S_{\mathrm{gas}}+\Delta S_{\mathrm{th,rev}}=0$: مجموعے میں اینٹروپی پیدا نہیں ہوتی۔

سوال 4۔ اچانک دبانا مستقل بیرونی دباؤ $P_1$ پر ہوتا ہے۔ اس لیے وصول کردہ کام ہے

$$\begin{aligned} W_{\mathrm{irr}}&=-P_1(V_f-V_0) =-xP_0\left(\frac{V_0}{x}-V_0\right)\\ &=P_0V_0(x-1)=nRT_0(x-1)>0. \end{aligned}$$

دوبارہ $\Delta U=0$، لہٰذا $Q_{\mathrm{irr}}=-nRT_0(x-1)$۔

سوال 5۔ ذخیرہ $-Q_{\mathrm{irr}}$ وصول کرتا ہے، لہٰذا

$$\Delta S_{\mathrm{th,irr}}=\frac{-Q_{\mathrm{irr}}}{T_0}=nR(x-1).$$

گیس کا اینٹروپی موازنہ ہے

$$\Delta S_{\mathrm{gas}}=\frac{Q_{\mathrm{irr}}}{T_0}+S_{\mathrm{i}}, \qquad S_{\mathrm{i}}=-nR\ln x+nR(x-1).$$

مثالی ذخیرے کی وصول کردہ اینٹروپی $-Q_{\mathrm{irr}}/T_0$ اس کی تبدیلی کے برابر ہے: وہ اینٹروپی پیدا نہیں کرتا۔ گیس—ذخیرہ مجموعہ کسی اور جسم سے حرارت نہیں لیتا؛ باہر سے وصول کردہ کام اینٹروپی نہیں لاتا۔ اس لیے اس کی اینٹروپی کا اضافہ اندر پیدا ہوتا ہے:

$$S_{\mathrm{i}}=\Delta S_{\mathrm{gas}}+\Delta S_{\mathrm{th,irr}} =-nR\ln x+nR(x-1).$$

$f(x)=x-1-\ln x$ رکھیے۔ پھر $x>1$ کے لیے $f(1)=0$ اور $f'(x)=1-1/x=(x-1)/x>0$۔ تفاعل صفر سے بڑھتا ہے، اس لیے $S_{\mathrm{i}}=nRf(x)>0$۔ مزید،

$$W_{\mathrm{irr}}-W_{\mathrm{rev}} =nRT_0(x-1)-nRT_0\ln x=T_0 S_{\mathrm{i}}.$$

دونوں صورتوں میں $Q=-W$ ہونے سے اضافی کام ذخیرے کو حرارت کی صورت میں خارج ہوتا ہے۔ یہ ناقابلِ برگشت ہونے کی قیمت ہے۔