نیم نفوذ پذیر جھلی: کون سی مقداریں برابر ہوتی ہیں؟

سوال 1۔ خاکہ دونوں انواع کو الگ دکھاتا ہے اور صرف A کو پار ہونے دیتا ہے۔ $P_*=N_0k_BT_0/V_0$ رکھیں۔ ہر خانے میں ابتدا میں $3N_0$ ذرات ہیں:

$$P_{1,i}=\frac{(2N_0+N_0)k_BT_0}{V_0}=3P_*,\qquad P_{2,i}=\frac{(N_0+2N_0)k_BT_0}{V_0}=3P_*.$$

A کے جزوی دباؤ کے لیے صرف A ذرات گنیں: بائیں $2N_0$، دائیں $N_0$۔ ابتدا میں $P_{1,i}=P_{2,i}=3P_*$، مگر $p_{A,1,i}=2P_*$ اور $p_{A,2,i}=P_*$۔ اس لیے $\mu_{A,1}-\mu_{A,2}=k_BT_0\ln2>0$: A ابتدا میں بائیں سے دائیں جاتا ہے۔ برابر درجہ ہائے حرارت پر $\mathrm dN_{A,1}<0$ کے لیے کل اینٹروپی کی تبدیلی $(\mu_{A,2}-\mu_{A,1})\,\mathrm dN_{A,1}/T_0$ مثبت ہے۔ برابر کل دباؤ پھیلاؤ روکنے کے لیے کافی نہیں۔ کیمیائی پوٹینشل کے فرق میں دونوں $\mu_A^\circ(T_0)$ اجزا منسوخ ہوتے ہیں؛ لوگارتھم ملانے سے $k_BT_0\ln(p_{A,1,i}/p_{A,2,i})=k_BT_0\ln2$۔

سوال 2۔ کل توانائی اور A ذرات کی کل تعداد محفوظ ہیں؛ ہر طرف B ذرات کی تعداد مستقل ہے۔ $\mathrm dU_2=-\mathrm dU_1$، $\mathrm dN_{A,2}=-\mathrm dN_{A,1}$ اور $\mathrm dN_{B,1}=\mathrm dN_{B,2}=0$ سے

$$\mathrm dS_j=\frac{\mathrm dU_j}{T_j} -\frac{\mu_{A,j}}{T_j}\,\mathrm dN_{A,j} \quad (j=1,2).$$

جھلی ساکن ہونے سے حجمی جز صفر ہے۔ جمع کرنے پر

$$\mathrm dS_{\mathrm{tot}} =\frac{\mathrm dU_1}{T_1}-\frac{\mathrm dU_1}{T_2} -\frac{\mu_{A,1}}{T_1}\mathrm dN_{A,1} +\frac{\mu_{A,2}}{T_2}\mathrm dN_{A,1}.$$

ضارب اکٹھے کرنے پر

$$\mathrm dS_{\mathrm{tot}}= \left(\frac1{T_1}-\frac1{T_2}\right)\mathrm dU_1 +\left(\frac{\mu_{A,2}}{T_2}-\frac{\mu_{A,1}}{T_1}\right) \mathrm dN_{A,1}.$$

حرارتی ترسیل اور A منتقلی مجاز ہیں: ان کی تبدیلیاں آزادانہ جانچی جا سکتی ہیں۔ اس لیے سکونیت $1/T_1-1/T_2=0$، یعنی $T_1=T_2$، پھر $(\mu_{A,2}-\mu_{A,1})/T=0$، یعنی $\mu_{A,1}=\mu_{A,2}$ لازم کرتی ہے۔ نہ $P_1=P_2$ لازم ہے (جھلی ساکن ہے)، نہ $\mu_{B,1}=\mu_{B,2}$ (B گزر نہیں سکتا)۔

سوال 3۔ ابتدائی کل توانائی $9N_0k_BT_0$ اور ذرات کی کل تعداد $6N_0$ رہتی ہے۔ واقعی $U_i=(3/2)(3N_0+3N_0)k_BT_0=9N_0k_BT_0$۔ مشترک آخری درجۂ حرارت $T$ پر $U_f=(3/2)(6N_0)k_BT=9N_0k_BT$۔ اس لیے مساوات $U_f=U_i$ سے $T=T_0$۔ A کے کیمیائی پوٹینشل کی برابری بنتی ہے

$$k_BT_0\ln\frac{p_{A,1}}{p^\circ} =k_BT_0\ln\frac{p_{A,2}}{p^\circ}.$$

$k_BT_0$ سے تقسیم اور قوتی صورت لینے سے $p_{A,1}=p_{A,2}$۔ حجم برابر ہونے سے عوامل $k_BT_0/V_0$ منسوخ: $N_{A,1}=N_{A,2}$۔ چونکہ $N_{A,1}+N_{A,2}=3N_0$، ہر ایک $3N_0/2$ ہے۔ B ذرات جمع کرنے سے

$$P_{1,f}=\frac{(3N_0/2+N_0)k_BT_0}{V_0},\qquad P_{2,f}=\frac{(3N_0/2+2N_0)k_BT_0}{V_0}.$$

لہٰذا،

$$P_{1,f}=\frac52P_*,\qquad P_{2,f}=\frac72P_*.$$

جھلی کا سہارا یہ دباؤ فرق متوازن کرتا ہے۔ مستقل درجۂ حرارت و حجم پر $a=N_{A,1}$ اور $N_{A,2}=3N_0-a$ رکھنے سے سوال 2 دیتا ہے

$$\frac{\mathrm dS_{\mathrm{tot}}}{\mathrm da} =\frac{\mu_{A,2}-\mu_{A,1}}{T_0} =k_{\mathrm{B}}\ln\frac{p_{A,2}}{p_{A,1}} =k_{\mathrm{B}}\ln\frac{3N_0-a}{a}.$$

درجہ ہائے حرارت برابر اور $\mathrm dU_1+\mathrm dU_2=0$ ہونے سے توانائی کا جز منسوخ ہے۔ دوبارہ تفرق کے لیے $\ln(3N_0-a)-\ln a$ لکھتے ہیں: اس کا مشتق $-1/(3N_0-a)-1/a$ ہے۔ اس لیے،

$$\frac{\mathrm dS_{\mathrm{tot}}}{\mathrm da} =k_{\mathrm{B}}\ln\frac{3N_0-a}{a},\qquad \frac{\mathrm d^2S_{\mathrm{tot}}}{\mathrm da^2} =-k_{\mathrm{B}}\left(\frac1a+\frac1{3N_0-a}\right)<0.$$

برابر تقسیم $0<a<3N_0$ پر واحد زیادہ سے زیادہ قدر ہے۔

سوال 4۔ حجم کے لحاظ سے سکونیت $P_1=P_2$ شامل کرتی ہے: $\mathrm dS_{\mathrm{tot}}$ میں اضافی جز $(P_1/T_1-P_2/T_2)\,\mathrm dV_1$ ہے۔ اس کا ضارب صفر ہونا چاہیے؛ $T_1=T_2$ سے کل دباؤ کی برابری لازم ہے۔ سوال 3 کے اسی توانائی موازنے سے آخری درجۂ حرارت پھر $T_0$ ہے۔ $p_{A,1}=p_{A,2}$ ہونے سے برابر کل دباؤ $p_{B,1}=p_{B,2}$ لازم کرتے ہیں۔ B نہیں گزر سکتا:

$$\frac{N_0}{V_1}=\frac{2N_0}{V_2},\qquad V_1+V_2=2V_0,$$

لہٰذا $V_2=2V_1$، پھر $3V_1=2V_0$: $V_1=2V_0/3$ اور $V_2=4V_0/3$۔ A کے برابر جزوی دباؤ سے $N_{A,1}/V_1=N_{A,2}/V_2$، لہٰذا $N_{A,2}=2N_{A,1}$۔ مجموعہ $3N_0$ ہونے سے $N_{A,1}=N_0$ اور $N_{A,2}=2N_0$ ملتے ہیں۔ آخر میں $P_f=(N_0+N_0)k_BT_0/(2V_0/3)=3P_*$۔ نتائج ہیں

$$V_1=\frac23V_0,\quad V_2=\frac43V_0,\quad N_{A,1}=N_0,\quad N_{A,2}=2N_0,\quad P_f=3P_*.$$

B کے جزوی دباؤ کی برابری یہاں دیگر شرائط اور مثالی آمیزے کے ماڈل سے نکلتی ہے، مجاز B تبادلے سے نہیں۔ A کی مقداریں اب برابر نہیں: ارتکاز، اور اس لیے جزوی دباؤ، برابر ہوتے ہیں۔

سوال 5۔ دباؤ نکالنے کے لیے حجم SI اکائیوں میں بدلیں: $V_0=10\ \mathrm L=10^{-2}\ \mathrm{m^3}$۔ مستقل $\mathcal N_A$ مادے کی مقدار کو ذرات کی تعداد میں بدلتا ہے: $N_0=\mathcal N_A n_0$ جہاں $n_0=1{,}0\ \mathrm{mol}$۔ پہلے حساب کرتے ہیں

$$R=\mathcal N_A k_{\mathrm{B}} =(6{,}022\times10^{23})(1{,}380649\times10^{-23}) \simeq8{,}314\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.$$

$N_0k_B=n_0R$ کے ساتھ سوال 1 کا دباؤ پیمانہ ہے

$$P_* =\frac{N_0k_BT_0}{V_0} =\frac{n_0RT_0}{V_0} \simeq\frac{1{,}0\times8{,}314\times300}{10^{-2}} =249420\ \mathrm{Pa}\simeq2{,}494\ \mathrm{bar},$$

کیونکہ $1\ \mathrm{bar}=10^5\ \mathrm{Pa}$۔ یہ دباؤ حساب کا پیمانہ ہے؛ بذاتِ خود کسی خانے کا کل دباؤ نہیں۔

ساکن جھلی۔ ہر حجم $10\ \mathrm L$ رہتا ہے۔ سوال 3 دیتا ہے $N_{A,1}=N_{A,2}=3N_0/2$۔ ذرات سے مول میں بدلنے کے لیے $\mathcal N_A$ سے تقسیم:

$$n_{A,1}=n_{A,2}=\frac{3N_0}{2\mathcal N_A} =\frac32\times1\ \mathrm{mol}=1{,}5\ \mathrm{mol}.$$

B جھلی نہیں پار کر سکتا: بائیں $1\ \mathrm{mol}$ B اور دائیں $2\ \mathrm{mol}$ B رہتا ہے۔ کل مقداریں اس لیے $2{,}5\ \mathrm{mol}$ اور $3{,}5\ \mathrm{mol}$ ہیں۔ $T_0=300\ \mathrm K$ پر مساوات $P=nRT/V$ الگ الگ دیتی ہے

$$P_{1,f}=\frac{(1{,}5+1)\times8{,}314\times300}{10^{-2}} =623550\ \mathrm{Pa}\simeq6{,}24\ \mathrm{bar}, P_{2,f}=\frac{(1{,}5+2)\times8{,}314\times300}{10^{-2}} =872970\ \mathrm{Pa}\simeq8{,}73\ \mathrm{bar}.$$

کل دباؤ مختلف ہیں؛ جھلی کو ساکن رکھنا یہ حالت قائم رکھتا ہے۔ A کے جزوی دباؤ برابر ہیں کیونکہ وہ برابر حجموں میں یکساں مقدار و درجۂ حرارت کے ساتھ ہے۔

متحرک جھلی۔ سوال 4 سے،

$$V_{1,f}=\frac23V_0=\frac23\times10\simeq6{,}67\ \mathrm L, \qquad V_{2,f}=\frac43V_0=\frac43\times10\simeq13{,}33\ \mathrm L.$$

مجموعہ برتن کا حجم $20\ \mathrm L$ ہی رہتا ہے۔ اب A کی تعدادیں $N_{A,1}=N_0$ اور $N_{A,2}=2N_0$ ہیں:

$$n_{A,1}=\frac{N_0}{\mathcal N_A}=1\ \mathrm{mol},\qquad n_{A,2}=\frac{2N_0}{\mathcal N_A}=2\ \mathrm{mol}.$$

کل واقعی $3\ \mathrm{mol}$ A ہے۔ B شامل کرنے سے خانے بالترتیب $2$ اور $4\ \mathrm{mol}$ گیس رکھتے ہیں۔ تقریب سے پہلے عین حجم استعمال کرتے ہیں:

$$P_{1,f}=\frac{(1+1)\times8{,}314\times300}{(2/3)\times10^{-2}} =748260\ \mathrm{Pa}\simeq7{,}48\ \mathrm{bar}, P_{2,f}=\frac{(2+2)\times8{,}314\times300}{(4/3)\times10^{-2}} =748260\ \mathrm{Pa}\simeq7{,}48\ \mathrm{bar}.$$

دونوں حساب یکساں کل دباؤ دیتے ہیں، جیسا آزاد جھلی کے میکانی توازن کے لیے لازم ہے۔