اندرونی دیوار سے جدا دو گیسیں

سوال 1۔ خاکے میں کل حجم $2V$ کا سخت برتن دیوار سے تقسیم ہے۔ بائیں $(n_1,T_1,V,P_0)$، دائیں $(3n_1,T_1/2,V,P_{2,i})$۔ بیرونی دیواریں ادیابیاتی ہیں۔ ساکن، ناقابلِ نفوذ اور ادیابیاتی اندرونی دیوار کوئی تبادلہ نہیں ہونے دیتی: مختلف درجۂ حرارت اور دباؤ کے باوجود ہر گیس اپنی حالت رکھتی ہے۔ دیوار کا سہارا دباؤ کا فرق برداشت کرتا ہے۔

سوال 2 — جبری حساب۔ مثالی گیس کی مساوات دیتی ہے

$$P_{1,i}=\frac{n_1RT_1}{V}=P_0, \qquad P_{2,i}=\frac{3n_1R(T_1/2)}{V}=\frac32P_0.$$

سوال 3 — ساکن حرارت گزار دیوار۔ $\mathrm{d}U_2=-\mathrm{d}U_1$ کے ساتھ چھوٹی توانائی منتقلی میں حجم مستقل رہتے ہیں: ہر گیس کے لیے $\mathrm dS_j=\mathrm dU_j/T_j$۔ جمع کرنے سے

$$\mathrm dS_{\mathrm{tot}}=\frac{\mathrm dU_1}{T_1} +\frac{\mathrm dU_2}{T_2} =\frac{\mathrm dU_1}{T_1}-\frac{\mathrm dU_1}{T_2}.$$

اس تبدیلی کے درجہ ہائے حرارت زیرِ غور حالت کے ہیں۔ مشترک عامل نکالنے سے

$$\mathrm{d}S_{\mathrm{tot}} =\left(\frac1{T_1}-\frac1{T_2}\right)\mathrm{d}U_1.$$

توازن پر اینٹروپی زیادہ سے زیادہ ہے؛ اس لیے $\mathrm{d}U_1$ کا ضارب صفر ہونا چاہیے، جو $T_{1,f}=T_{2,f}=T_f$ لازم کرتا ہے۔ توانائی کا تحفظ دیتا ہے

$$n_1\frac32R(T_f-T_1) +3n_1\frac32R\left(T_f-\frac{T_1}{2}\right)=0,$$

توانائی کے موازنے کو $(3/2)n_1R$ سے تقسیم کرنے پر

$$(T_f-T_1)+3\left(T_f-\frac{T_1}{2}\right)=0, \quad 4T_f-\frac52T_1=0, \quad T_f=\frac58T_1.$$

پھر $P_{1,f}=n_1RT_f/V=(T_f/T_1)P_0$ اور $P_{2,f}=3n_1RT_f/V=3(T_f/T_1)P_0$، لہٰذا

$$T_f=\frac58T_1, \qquad P_{1,f}=\frac58P_0, \qquad P_{2,f}=\frac{15}{8}P_0.$$

دیوار ساکن ہونے سے گیسوں کے درمیان میکانی توازن لازم نہیں: آخری دباؤ مختلف ہو سکتے ہیں۔

سوال 4 — اینٹروپی موازنہ۔ گیس 2 پوری توانائی حرارت کی صورت میں وصول کرتی ہے،

$$Q_{1\to2}=\Delta U_2 =3n_1\frac32R\left(\frac58T_1-\frac12T_1\right) =\frac9{16}n_1RT_1.$$

گیس 1 مخالف حرارت وصول کرتی ہے: $Q_1=-Q_{1\to2}<0$، جبکہ $Q_2=Q_{1\to2}>0$۔ دیوار ساکن ہے، لہٰذا $W_1=W_2=0$۔ مجموعہ الگ تھلگ ہے، لہٰذا $S_{\mathrm{e}}=0$ اور $S_{\mathrm{i}}=\Delta S_{\mathrm{tot}}$۔ حجم مستقل ہونے سے،

$$\Delta S_1=\frac32n_1R\ln\frac{T_f}{T_1} =\frac32n_1R\ln\frac58, \Delta S_2=\frac32(3n_1)R\ln\frac{T_f}{T_1/2} =\frac92n_1R\ln\frac54.$$

گیس 1 اینٹروپی کھوتی اور گیس 2 حاصل کرتی ہے۔ ان کا مجموعہ ہے

$$S_{\mathrm{i}} =\frac32n_1R\left[ \ln\!\left(\frac58\right) +3\ln\!\left(\frac54\right) \right]>0.$$

یہ اینٹروپی پیداوار مختلف ابتدائی درجۂ حرارت والی گیسوں کے درمیان خودبخود حرارت منتقلی ظاہر کرتی ہے۔ عددی قدروں کے بغیر علامت جانچنے کے لیے لوگارتھم ملاتے ہیں:

$$\ln\frac58+3\ln\frac54 =\ln\left[\frac58\left(\frac54\right)^3\right] =\ln\frac{625}{512}>0.$$

سوال 5 — متحرک حرارت گزار دیوار۔ $\mathrm{d}U_2=-\mathrm{d}U_1$ اور $\mathrm{d}V_2=-\mathrm{d}V_1$ کے ساتھ،

$$\mathrm{d}S_{\mathrm{tot}} =\left(\frac1{T_1}-\frac1{T_2}\right)\mathrm{d}U_1 +\left(\frac{P_1}{T_1}-\frac{P_2}{T_2}\right)\mathrm{d}V_1.$$

دیوار توانائی اور حجم کی آزادانہ تقسیمِ نو ممکن بناتی ہے۔ اس لیے سکونیت ہر $\mathrm dU_1$ اور ہر $\mathrm dV_1$ کے لیے ہونی چاہیے: دونوں ضارب صفر ہیں۔ پہلا $T_{1,f}=T_{2,f}$ لازم کرتا ہے؛ دوسرا پھر $P_{1,f}/T_f=P_{2,f}/T_f$، یعنی $P_{1,f}=P_{2,f}$ دیتا ہے۔ توانائی کا تحفظ دوبارہ $T_f=5T_1/8$ دیتا ہے۔ مشترک دباؤ و درجۂ حرارت پر حجم مادے کی مقداروں کے متناسب ہیں۔ ان کا مجموعہ $2V$ ہونے سے،

$$\frac{V_{2,f}}{V_{1,f}}=\frac{3n_1RT_f/P_f}{n_1RT_f/P_f}=3, \qquad V_{1,f}+3V_{1,f}=2V.$$

لہٰذا $V_{1,f}=V/2$ اور $V_{2,f}=3V/2$۔

مشترک دباؤ $P_f=n_1R(5T_1/8)/(V/2)=(5/4)P_0$ ہے۔ اس لیے

$$V_{1,f}=\frac V2, \qquad V_{2,f}=\frac{3V}{2}, \qquad P_f=\frac54P_0.$$

اندرونی توانائی کی تبدیلیاں ساکن دیوار والی ہیں، مگر اب توانائی حرارت اور کام دونوں کی صورت میں منتقل ہوتی ہے۔ اینٹروپی موازنے میں سوال 4 کے وہی درجۂ حرارت کے اجزا اور اضافی حجمی اجزا ہیں:

$$\Delta S_1=\frac32n_1R\ln\frac58+n_1R\ln\frac{V/2}{V}, \Delta S_2=\frac92n_1R\ln\frac54+3n_1R\ln\frac{3V/2}{V}.$$

جمع کرنے سے

$$S_{\mathrm{i}}=\Delta S_{\mathrm{tot}} =\frac32n_1R\left[ \ln\!\left(\frac58\right)+3\ln\!\left(\frac54\right) \right] +n_1R\left[ \ln\!\left(\frac12\right)+3\ln\!\left(\frac32\right) \right]>0.$$

ساکن دیوار کی نسبت اضافہ ہے

$$n_1R\left[\ln\frac12+3\ln\frac32\right] =n_1R\ln\left[\frac12\left(\frac32\right)^3\right] =n_1R\ln\frac{27}{16}>0.$$

یوں دیوار کو حرکت کی اجازت دینا نظام کی قابلِ حصول آخری اینٹروپی بڑھاتا ہے۔