دو بلاکوں کے درمیان انجن: زیادہ سے زیادہ قابلِ حصول کام

سوال 1۔ بلاک سخت ہیں اور کام نہیں لیتے۔ ان کی توانائی تبدیلیاں اس لیے وصول کردہ حرارتیں ہیں:

$$C_A\,\mathrm dT_A=-\delta Q_A,\qquad C_B\,\mathrm dT_B=-\delta Q_B.$$

انجن ابتدائی حالت میں لوٹتا ہے۔ توانائی کا موازنہ $0=\delta Q_A+\delta Q_B+\delta W$، یعنی

$$\delta W=-(\delta Q_A+\delta Q_B)<0.$$

کارکردگی حاصل کردہ کام اور A سے وصول کردہ حرارت کی نسبت ہے۔ چونکہ $\delta W<0$، ہمارے پاس $|\delta W|=-\delta W$، لہٰذا

$$\eta=\frac{|\delta W|}{\delta Q_A} =1+\frac{\delta Q_B}{\delta Q_A}=1-\frac{T_B}{T_A} \quad\Longrightarrow\quad \delta Q_B=-\frac{T_B}{T_A}\delta Q_A.$$

بلاک A، $-\delta Q_A<0$ اور بلاک B، $-\delta Q_B>0$ وصول کرتا ہے۔ مثبت حرارتی گنجائشوں سے $\mathrm dT_A<0$ اور $\mathrm dT_B>0$۔ اس لیے درجۂ حرارت کا فرق گھٹتا ہے:

$$\mathrm d(T_A-T_B) =-\delta Q_A\left(\frac1{C_A}+\frac{T_B}{C_BT_A}\right)<0.$$

نسبت $T_B/T_A$ بڑھتی ہے کیونکہ شمار کنندہ بڑھتا اور مخرج گھٹتا ہے۔ کارکردگی $1-T_B/T_A$ بتدریج کم ہوتی ہے۔ جب $T_A=T_B$ تو صفر ہو جاتی ہے: درجۂ حرارت کا فرق ختم ہے اور ان بلاکوں کے درمیان کوئی دوری انجن مزید کام نہیں دے سکتا۔

سوال 2۔ بلاکوں کے موازنے $\delta Q_A=-C_A\,\mathrm dT_A$ اور $\delta Q_B=-C_B\,\mathrm dT_B$ دیتے ہیں۔ پچھلے تعلق میں رکھیں:

$$-C_B\,\mathrm dT_B =-\frac{T_B}{T_A}(-C_A\,\mathrm dT_A) =\frac{T_B}{T_A}C_A\,\mathrm dT_A.$$

علامت بدل کر $T_B$ سے تقسیم کرنے پر

$$C_B\,\mathrm dT_B=-\frac{T_B}{T_A}C_A\,\mathrm dT_A, \qquad C_A\frac{\mathrm dT_A}{T_A} +C_B\frac{\mathrm dT_B}{T_B}=0.$$

ابتدائی درجہ ہائے حرارت سے کسی بھی تعداد کے چکروں کے بعد حاصل شدہ قدروں تک تکمل لیتے ہیں:

$$C_A\int_{T_{A,0}}^{T_A}\frac{\mathrm dT}{T} +C_B\int_{T_{B,0}}^{T_B}\frac{\mathrm dT}{T}=0.$$

$1/T$ کا ایک اصل تفاعل $\ln T$ ہے؛ حدود پر حساب سے

$$C_A\ln\frac{T_A}{T_{A,0}}+C_B\ln\frac{T_B}{T_{B,0}}=0.$$

یہ تعلق قابلِ برگشت چلنے میں کل اینٹروپی کا تحفظ ظاہر کرتا ہے۔ انجن رکنے پر $T_A=T_B=T_r$۔ $\ln(T_r/T_{B,0})=\ln(T_r/T_{A,0})+\ln(T_{A,0}/T_{B,0})$ لکھنے سے

$$(C_A+C_B)\ln\frac{T_r}{T_{A,0}} =C_B\ln\frac{T_{B,0}}{T_{A,0}}.$$

$C_A+C_B$ سے تقسیم اور قوتی صورت لینے سے

$$\boxed{T_r=T_{A,0} \left(\frac{T_{B,0}}{T_{A,0}}\right)^{C_B/(C_A+C_B)}.}$$

بلاکوں کی حرارتی گنجائشیں محدود ہیں: ہر حرارتی تبادلہ $\mathrm dT=\delta Q_{\mathrm{block}}/C$ کے مطابق درجۂ حرارت بدلتا ہے، جہاں $\delta Q_{\mathrm{block}}$ زیرِ غور بلاک کی وصول کردہ حرارت ہے۔ اس لیے ابتدائی کارکردگی پورے تجربے پر لاگو نہیں۔ درجہ ہائے حرارت صرف ہر لامتناہی چھوٹے چکر کے اندر مستقل لے سکتے ہیں، ہر بار نئی قدریں استعمال کرکے۔

سوال 3۔ بلاکوں اور انجن کا مجموعہ ادیابیاتی ہے مگر کام دیتا ہے: الگ تھلگ نہیں۔ انجن توانائی ذخیرہ نہیں کرتا، اس لیے پہلا اصول دیتا ہے

$$C_A(T_r-T_{A,0})+C_B(T_r-T_{B,0})=W_{\mathrm{rev}}.$$

مجموعے کا وصول کردہ کام انجن کا وصول کردہ کام ہے۔ اجزا اکٹھے کرنے سے

$$W_{\mathrm{rev}}=(C_A+C_B)T_r-C_AT_{A,0}-C_BT_{B,0}<0.$$

نظام سے باہر حاصل کردہ کام اس کی مطلق قیمت ہے:

$$\boxed{|W_{\mathrm{rev}}|=-W_{\mathrm{rev}} =C_AT_{A,0}+C_BT_{B,0}-(C_A+C_B)T_r.}$$

ہر حاصلِ ضرب $CT$ کی اکائی توانائی کی اکائی جول ہے۔ برگشت پذیری کا زیادہ سے زیادہ کام دینا سمجھنے کے لیے ایسا انجن لیں جو اینٹروپی پیدا کرکے بلاکوں کو مشترک $T_*$ پر چھوڑتا ہے۔ بلاکوں کا اینٹروپی موازنہ لازم کرتا ہے

$$C_A\ln\frac{T_*}{T_{A,0}}+C_B\ln\frac{T_*}{T_{B,0}}\geq0.$$

صفر کے برابر قابلِ برگشت موازنہ منفی کرنے سے $(C_A+C_B)\ln(T_*/T_r)\geq0$، لہٰذا $T_*\geq T_r$ رہتا ہے۔ اس انجن کے چلنے کا وصول کردہ کام $W_*=(C_A+C_B)T_*-C_AT_{A,0}-C_BT_{B,0}$ ہے، اس لیے

$$W_*-W_{\mathrm{rev}}=(C_A+C_B)(T_*-T_r)\geq0.$$

یوں $W_{\mathrm{rev}}\leq W_*\leq0$: قابلِ برگشت صورت میں وصول کردہ کام سب سے زیادہ منفی ہے۔ اس لیے اس کی مطلق قیمت زیادہ سے زیادہ ہے، $|W_*|\leq|W_{\mathrm{rev}}|$۔

$C_A=C_B=C$ کے لیے قوت $1/2$ ہے، لہٰذا

$$T_r=T_{A,0}\sqrt{\frac{T_{B,0}}{T_{A,0}}} =\sqrt{T_{A,0}T_{B,0}}, W_{\mathrm{rev}}=-C\left(\sqrt{T_{A,0}}-\sqrt{T_{B,0}}\right)^2<0, |W_{\mathrm{rev}}|=C\left(T_{A,0}+T_{B,0} -2\sqrt{T_{A,0}T_{B,0}}\right) =C\left(\sqrt{T_{A,0}}-\sqrt{T_{B,0}}\right)^2>0.$$

ہم مماثلت $a^2+b^2-2ab=(a-b)^2$ پہچانتے ہیں۔ ابتدائی درجہ ہائے حرارت برابر ہوں تو کام صفر ہے۔

سوال 4۔ دی گئی حرارتی گنجائش فی اکائی کمیت ہے۔ لہٰذا ہر بلاک کی کل گنجائش ہے

$$C=mc=1{,}0\times450=450\ \mathrm{J\,K^{-1}}.$$

جذر کے اندر درجہ ہائے حرارت کیلون میں ہونے چاہییں:

$$T_{A,0}=60+273{,}15=333{,}15\ \mathrm K,\qquad T_{B,0}=20+273{,}15=293{,}15\ \mathrm K.$$

سوال 3 کے نتیجے میں رکھنے سے

$$|W_{\mathrm{rev}}| =450\left(\sqrt{333{,}15}-\sqrt{293{,}15}\right)^2 \simeq575\ \mathrm J=0{,}575\ \mathrm{kJ}.$$

زیادہ سے زیادہ قابلِ حصول کام تقریباً $0{,}58\ \mathrm{kJ}$ ہے۔ وصول کردہ توانائی کے رواج سے انجن کا وصول کردہ کام $W_{\mathrm{rev}}\simeq-575\ \mathrm J$ ہے: منفی علامت بتاتی ہے کہ یہ توانائی ماحول کو دیتا ہے۔