سوال

سبق 5 کے دو ادیابیاتی دبانے کے تجربوں کو دوبارہ دیکھتے ہیں اور ضروری نتائج یہاں یاد دلاتے ہیں۔ عرضی رقبہ $\mathcal S$ کا حرارتی طور پر معزول عمودی سلنڈر $n$ مول مثالی گیس رکھتا ہے۔ پسٹن بھی معزول ہے، بے رگڑ حرکت کرتا اور قابلِ نظرانداز کمیت رکھتا ہے۔ مولی حرارتی گنجائشیں $c_V$ اور $c_P$ مستقل ہیں، جہاں

\gamma=\frac{c_P}{c_V}>1,\qquad c_V=\frac{R}{\gamma-1},\qquad c_P=c_V+R.

ابتدا میں پسٹن پر صرف فضائی دباؤ $P_0$ ہے: گیس $P_0V_0=nRT_0$ کے ساتھ حالت $A=(P_0,V_0,T_0)$ میں ہے۔ $M$ کمیت کا اضافی بوجھ بیرونی دباؤ بڑھاتا ہے تا

P_1=P_0+\frac{Mg}{\mathcal S}=xP_0,\qquad x>1.

دونوں تجربے $A$ سے شروع ہوتے ہیں۔ پہلے میں بوجھ ریت کے ایک ایک ذرے سے لگایا، پھر ہٹایا جاتا ہے: گیس قابلِ برگشت ادیابیاتی راستہ $A\to B\to A$ لیتی ہے۔ دوسرے میں بوجھ ایک بار میں لگتا ہے، توازن $B'$ حاصل ہوتا ہے، پھر بوجھ ایک بار میں ہٹتا اور توازن $B"$ حاصل ہوتا ہے۔ ہر اچانک مرحلے میں بیرونی دباؤ مستقل ہے: بوجھ لگانے میں $P_1$ ، ہٹانے میں $P_0$ ۔ فرض کیجیے ارتعاش گیس میں تبدد سے مدھم ہوتے ہیں؛ پسٹن ابتدائی و آخری حالتوں میں ساکن ہے اور توانائی ذخیرہ نہیں کرتا۔

دونوں دبانے A سے شروع ہوتے ہیں (وسط)۔ بائیں بوجھ بتدریج B تک لگتا ہے؛ بتدریج ہٹانا گیس کو A میں لوٹاتا ہے۔ دائیں بوجھ اچانک B' تک لگتا ہے؛ اچانک ہٹانا ایک اور حالت B” دیتا ہے۔ خاکہ دبانے دکھاتا ہے؛ چار حالتیں نیچے متعین ہیں۔ — شکل 1. دونوں دبانے $A$ سے شروع ہوتے ہیں (وسط)۔ بائیں بوجھ بتدریج $B$ تک لگتا ہے؛ بتدریج ہٹانا گیس کو $A$ میں لوٹاتا ہے۔ دائیں بوجھ اچانک $B'$ تک لگتا ہے؛ اچانک ہٹانا ایک اور حالت $B"$ دیتا ہے۔ خاکہ دبانے دکھاتا ہے؛ چار حالتیں نیچے متعین ہیں۔

قابلِ برگشت راستے پر لاپلاس تعلقات اور اچانک راستوں پر پہلے اصول نے مندرجہ ذیل نتائج دیے۔ متعین کریں

\begin{aligned} \theta=\frac{1+(\gamma-1)x}{\gamma},\qquad \phi=\frac{1+(\gamma-1)/x}{\gamma}. \begin{array}{c|ccc} \text{حالت} & P/P_0 & V/V_0 & T/T_0\\ \hline A & 1 & 1 & 1\\[3pt] B & x & x^{-1/\gamma} & x^{(\gamma-1)/\gamma}\\[3pt] B' & x & \theta/x & \theta\\[3pt] B" & 1 & \theta\phi & \theta\phi \end{array} \end{aligned}

خاص طور پر،

\theta>x^{(\gamma-1)/\gamma},\qquad \phi>x^{-(\gamma-1)/\gamma},\qquad \theta\phi-1=\frac{\gamma-1}{\gamma^2}\frac{(x-1)^2}{x}>0.

تمام مرحلے ادیابیاتی ہیں: گیس کی وصول کردہ توانائی مثبت گن کر $Q=0$ اور $W=\Delta U=nc_V(T_f-T_i)$ ۔ لہٰذا،

\begin{aligned} W_{AB}&=nc_VT_0\left[x^{(\gamma-1)/\gamma}-1\right], & W_{BA}&=-W_{AB},\\ W_{AB'}&=nc_VT_0(\theta-1), & W_{B'B"}&=nc_VT_0\theta(\phi-1). \end{aligned}

قابلِ برگشت آنے جانے کا خالص کام صفر ہے، جبکہ اچانک راستہ $W_{AB'B"}=nc_VT_0(\theta\phi-1)>0$ وصول کرتا ہے۔

$A\to B$ اور $B\to A$ پر اینٹروپی تبدیلیاں، پھر قابلِ برگشت آنے جانے کا اینٹروپی موازنہ نکالیے۔
$\Delta S_{AB'}$ نکال کر سختی سے مثبت ہونا دکھائیے۔ اس تبدیلی کا کتنا حصہ تبادلہ اور کتنا پیداوار ہے؟
اچانک بوجھ ہٹانے $B'\to B"$ کے لیے یہی کیجیے۔
$\Delta S_{AB"}$ براہِ راست نکال کر تصدیق کریں کہ یہ پچھلی دو اینٹروپی پیداواروں کا مجموعہ ہے۔ کیا راستہ $A\to B'\to B"$ گیس کے لیے چکر ہے؟
دونوں آنے جانے کے توانائی و اینٹروپی موازنے مقابل کیجیے۔ واضح کیجیے کہ حرارت کا تبادلہ نہ ہونا اینٹروپی کے تحفظ کو کیوں لازم نہیں کرتا۔

اشارہ

مثالی گیس کی دو توازنی حالتوں کے درمیان،

\Delta S=nc_V\ln\frac{T_f}{T_i}+nR\ln\frac{V_f}{V_i}.

$B'\to B"$ کے لیے $T_{B"}/T_{B'}=\phi$ اور $V_{B"}/V_{B'}=x\phi$ استعمال کریں۔ سوال کی یاد دلائی گئی نامساوات علامتیں بتاتی ہیں۔ ہر مرحلے میں $S_{\mathrm{e}}=0$ ۔

تفصیلی حل

حل

سوال 1۔ جدول

T_B/T_0=x^{(\gamma-1)/\gamma}

اور

V_B/V_0=x^{-1/\gamma}

دیتا ہے۔ اینٹروپی فارمولے میں رکھنے سے

\begin{aligned} \Delta S_{AB} &=nc_V\ln\left(x^{(\gamma-1)/\gamma}\right) +nR\ln\left(x^{-1/\gamma}\right)\\ &=nc_V\frac{\gamma-1}{\gamma}\ln x-\frac{nR}{\gamma}\ln x\\ &=\frac n\gamma[c_V(\gamma-1)-R]\ln x=0, \end{aligned}

کیونکہ $c_V(\gamma-1)=R$ ۔ واپسی وہی راستہ مخالف سمت لیتی ہے، لہٰذا $\Delta S_{BA}=0$ ۔ ہر مرحلے اور مکمل آنے جانے کے لیے $S_{\mathrm{e}}=S_{\mathrm{i}}=\Delta S=0$ ۔ گیس اپنی حالت $A$ میں لوٹتی ہے۔

سوال 2۔ اچانک دبانے کے لیے

T_{B'}/T_0=\theta

اور

V_{B'}/V_0=\theta/x

۔

R=c_V(\gamma-1)

، پھر لوگارتھم کے قواعد سے

\begin{aligned} \Delta S_{AB'} &=nc_V\ln\theta+nR\ln\frac{\theta}{x}\\ &=nc_V[\ln\theta+(\gamma-1)(\ln\theta-\ln x)]\\ &=nc_V[\gamma\ln\theta-(\gamma-1)\ln x]\\ &=nc_V\ln\left(\frac{\theta^\gamma}{x^{\gamma-1}}\right). \end{aligned}

دی گئی نامساوات $\theta>x^{(\gamma-1)/\gamma}$ سے $\theta^\gamma>x^{\gamma-1}$ : لوگارتھم کی نسبت 1 سے بڑی ہے، لہٰذا $\Delta S_{AB'}>0$ ۔ اینٹروپی کا تبادلہ نہیں، اس لیے $S_{\mathrm{i},AB'}=\Delta S_{AB'}$ ۔ گیس کی اینٹروپی حرارت لیے بغیر پیداوار سے بڑھتی ہے۔

سوال 3۔ اچانک بوجھ ہٹانے میں اس مرحلے کی آخری و ابتدائی حالتوں کی نسبتیں ہیں

\frac{T_{B"}}{T_{B'}}=\frac{\theta\phi}{\theta}=\phi, \qquad \frac{V_{B"}}{V_{B'}}=\frac{\theta\phi}{\theta/x}=x\phi.

لہٰذا،

\begin{aligned} \Delta S_{B'B"} &=nc_V\ln\phi+nR\ln(x\phi)\\ &=nc_V[\ln\phi+(\gamma-1)(\ln x+\ln\phi)]\\ &=nc_V[\gamma\ln\phi+(\gamma-1)\ln x]\\ &=nc_V\ln\left(\phi^\gamma x^{\gamma-1}\right)>0. \end{aligned}

واقعی، $\phi>x^{-(\gamma-1)/\gamma}$ سے $\phi^\gamma x^{\gamma-1}>1$ ۔ دوبارہ $S_{\mathrm{e}}=0$ اور $S_{\mathrm{i},B'B"}=\Delta S_{B'B"}$ ۔ گیس اس پھیلاؤ میں ٹھنڈی ہوتی ہے ( $\phi<1$ )، مگر اینٹروپی بڑھتی ہے: حجم بڑھنے والا جز غالب ہے۔

سوال 4۔ حالتوں

A

اور

B"

کا دباؤ یکساں اور

T_{B"}/T_0=V_{B"}/V_0=\theta\phi

، لہٰذا

\Delta S_{AB"}=nc_V\ln(\theta\phi)+nR\ln(\theta\phi) =nc_P\ln(\theta\phi)>0.

ہم نے $c_P=c_V+R$ اور $\theta\phi>1$ استعمال کیے۔ اب پچھلے نتائج جمع کریں:

\begin{aligned} \Delta S_{AB'}+\Delta S_{B'B"} &=nc_V[\gamma\ln\theta-(\gamma-1)\ln x\\ &\qquad+\gamma\ln\phi+(\gamma-1)\ln x]\\ &=nc_V\gamma(\ln\theta+\ln\phi)\\ &=nc_P\ln(\theta\phi)=\Delta S_{AB"}. \end{aligned}

$\ln x$ اجزا منسوخ ہوتے ہیں۔ ہر مرحلہ ادیابیاتی ہونے سے یہ مجموعہ دونوں اینٹروپی پیداواروں کے مجموعے کے برابر بھی ہے۔ بیرونی دباؤ کو $P_0$ پر لوٹانا گیس کا چکر مکمل کرنے کے لیے کافی نہیں: $B"\ne A$ ، کیونکہ $T_{B"}>T_0$ اور $V_{B"}>V_0$ ۔

سوال 5۔

A\to B\to A

کے لیے

Q_{\mathrm{tot}}=W_{\mathrm{tot}}=\Delta U_{\mathrm{tot}}=0

اور

S_{\mathrm{i},\mathrm{tot}}=0

۔

A\to B'\to B"

کے لیے،

Q_{\mathrm{tot}}=0,\qquad W_{\mathrm{tot}}=\Delta U_{\mathrm{tot}}=nc_VT_0(\theta\phi-1)>0, S_{\mathrm{e},\mathrm{tot}}=0,\qquad S_{\mathrm{i},\mathrm{tot}}=\Delta S_{\mathrm{tot}}=nc_P\ln(\theta\phi)>0.

پہلا اصول اندرونی توانائی کی صورت محفوظ خالص کام بیان کرتا ہے؛ دوسرا اینٹروپی پیداوار سے ناقابلِ برگشت ہونے کی مقدار بتاتا ہے۔ ادیابیاتی عمل تبھی مستقل اینٹروپی رکھتا ہے جب اینٹروپی پیدا نہ کرے، جیسے یہاں قابلِ برگشت صورت۔