حرارتی حرکیات کا پہلا اصول

پچھلے سبق میں حرارتی حرکیاتی نظام، حالت ہائے توازن اور حالتی تفاعل متعارف ہوئے۔ اب ہم ایک مرکزی سوال کا جواب دیں گے: نظام کی توانائی کو اس میکروسکوپک نمائندگی میں کیسے شامل کیا جائے؟

بعض کورسوں میں اس سوال کو بہت تیزی سے نمٹا دیا جاتا ہے: پہلے اصول کو توانائی کی محض بقائے توانائی کے طور پر پیش کیا جاتا ہے، پھر کسی مزید توجیہ کے بغیر سیدھا توانائی کے موازنے کا فارمولا آ جاتا ہے۔ ہم یہ فارمولے حصوں 3 اور 4.3 میں دیکھیں گے، اور جلدی میں قاری واقعی براہِ راست وہاں جا سکتا ہے (حصہ 7 کا مختصر خلاصہ بھی دیکھیں)۔

لیکن ان فارمولوں تک پہنچنے والی تشکیل دراصل نازک ہے۔ پہلے، پہلا اصول توانائی کے تحفظ سے زیادہ کچھ کہتا ہے، جو آج خردبینی نقطۂ نظر سے بدیہی معلوم ہوتا ہے۔ ہم دکھائیں گے کہ یہ اصول تقریباً $6N$ محددات والی فضا پر میکانیکی طور پر متعین توانائی $U_{\mathrm{micro}}$ کے وجود اور صرف چند میکروسکوپک متغیرات پر منحصر حالتی تفاعلِ توانائی $U_{\mathrm{th}}$ کے وجود کے درمیان منطقی خلا کو پُر کرتا ہے۔

پھر ہم دکھائیں گے کہ توانائی کی جمع پذیری ایک اضافی مفروضہ ہے جو معزول نظام میں توانائی کے تحفظ سے بند نظام کی سرحدوں پر توانائی کے موازنے تک جانے کے لیے ضروری ہے۔ یہی آخری قدم حرارت کی علمیاتی اور منطقی حیثیت واضح کرتا ہے: بند نظام پر کیے گئے میکروسکوپک کام کا حساب کرنے کے بعد اس موازنے میں بچنے والی ہر توانائی منتقلی کو حرارت کہتے ہیں: $Q \equiv \Delta U - W$۔

اس سبق میں پہلے ہم بند نظاموں پر غور کریں گے: کوئی مادہ ان کی سرحد عبور نہیں کرتا۔ وجہ سادہ ہے: کھلے نظام میں مادہ خود سرحد کے پار توانائی لے جاتا اور توانائی کے موازنے کو پیچیدہ بناتا ہے۔ کھلے نظاموں کا معاملہ کورس میں آگے آئے گا۔

1. خردبینی اندرونی توانائی

ایک گیلیلیائی حوالہ نظام میں کلاسیکی، غیر کوانٹمی اور غیر اضافیتی نظام لیں¹۔ کمیت $m_i$، مقام $\vec r_i$ اور رفتار $\vec v_i$ رکھنے والے $N$ نقطہ نما ذرات تصور کریں۔ ہر لمحے اس کی خردبینی حالت مکمل طور پر

سے متعین ہوتی ہے، جہاں $\Gamma$ نظام کی کلاسیکی فیز فضا ہے، جس کی اس سادہ نمونے میں بُعدیت $\dim\Gamma=6N$ ہے۔ فرض کیا جاتا ہے کہ تمام اندرونی قوتیں، مثلاً سالمات کے درمیان کشش یا دفع، بقائی ہیں۔ ان سے کل داخلی پوٹینشل توانائی $E_p^{\mathrm{int}}(\vec r_1,...,\vec r_N)$ وابستہ کی جا سکتی ہے، جہاں $\vec F_i^{\,\mathrm{int}}=-\nabla_{\vec r_i}E_p^{\mathrm{int}}$۔ نظام بیرونی بقائی قوتوں، مثلاً اپنے وزن، کے زیرِ اثر بھی ہو سکتا ہے۔ ان سے بھی بیرونی پوٹینشل توانائی $E_p^{\mathrm{ext}}(\vec r_1,...,\vec r_N)$ وابستہ کی جاتی ہے۔

منتخب حوالہ نظام میں نظام لازماً ساکن نہیں۔ ہر لمحے اس کا مرکزِ کمیت اور اس کی، ممکنہ طور پر وقت پر منحصر، رفتار $\vec V$ متعین کی جا سکتی ہے۔ نظام کی کل کمیت اور مرکزِ کمیت کے لحاظ سے نسبتی رفتاریں متعارف کر کے

کل حرکی توانائی یوں لکھی جا سکتی ہے:

مربع کو پھیلانے پر مخلوط اجزا ختم ہو جاتے ہیں، کیونکہ $\sum_i m_i\vec u_i=\vec 0$۔ کلاسیکی میکانیات میں یہ نتیجہ کونیگ کے قضیے کے نام سے معروف ہے:

اس سے ملتا ہے:

پس کل حرکی توانائی ہمیشہ² مرکزِ کمیت کی میکروسکوپک حرکی توانائی اور باقی نسبتی، “بےترتیب” حرکات کی توانائی میں تقسیم ہوتی ہے؛ مؤخر الذکر کو حرارتی حرکت کہتے ہیں۔

مختلف اجزا جمع کرنے پر کل میکانیکی توانائی آخرکار یوں لکھی جاتی ہے:

نوٹ: جزو $E_{\mathrm{int}}^{\mathrm{autres}}$ ان داخلی درجاتِ آزادی کے حصوں کو جمع کرتا ہے جنہیں یہ کم سے کم نقطہ نما نمونہ بیان نہیں کرتا، مثلاً سالمات کے دورانی یا ارتعاشی درجاتِ آزادی۔ اگر انہیں صراحت سے نمونہ بنایا جائے تو فیز فضا $\Gamma$ کو اسی مناسبت سے وسیع کرنا ہو گا۔

آگے ہم ایسے نظام لیں گے جو میکروسکوپک طور پر ساکن، مجموعی دوران سے خالی، اور غیر متغیر بیرونی پوٹینشل توانائی رکھتے ہوں۔ اس لیے مبدا کے ایک انتخاب تک لکھ سکیں گے:

اب ہم حرارتی حرکیاتی حالتی تفاعلِ توانائی متعارف کریں گے، جسے عارضی طور پر $U_{\mathrm{th}}$ لکھیں گے، اور سمجھیں گے کہ اسے پیشگی $U_{\mathrm{micro}}$ کے برابر کیوں نہیں سمجھنا چاہیے۔

2. حرارتی حرکیاتی اندرونی توانائی

گرم کرنے والی سطح پر رکھی پانی کی دیگچی کو نظام لیں۔ ہم اوپر بیان کردہ سادہ دائرے میں رہتے ہیں: دیگچی میکروسکوپک طور پر ساکن ہے اور اس کی بیرونی پوٹینشل توانائی نہیں بدلتی۔ لہٰذا ایک مستقل تک $E_{\mathrm{tot}}=U_{\mathrm{micro}}$ لکھ سکتے ہیں۔

پانی گرم کرنے پر کوئی میکروسکوپک حرکی توانائی ظاہر نہیں ہوتی اور دیگچی مقام نہیں بدلتی۔ توانائی کی تمام شکلوں میں سخت بقا ماننے پر فراہم کردہ توانائی لازماً اس کی خردبینی اندرونی توانائی میں ملتی ہے:

حرارتی حرکیات عین اسی تبدیلی کو بیان کرنا چاہتی ہے۔ اس لیے ہم ایسی مقدار $U_{\mathrm{th}}$ بنانا چاہتے ہیں کہ

حل بدیہی لگتا ہے۔ کیا حرارتی حرکیاتی اندرونی توانائی کو خردبینی اندرونی توانائی کے برابر قرار دینا کافی نہیں؟

یہ شناخت دراصل ریاضیاتی طور پر غلط ہو گی، کیونکہ دونوں تفاعلوں کے دائرۂ تعریف یکساں نہیں۔ $U_{\mathrm{micro}}$ فیز فضا پر متعین اور کم از کم $6N$ متغیرات پر منحصر ہے، جبکہ $U_{\mathrm{th}}$ حالتِ توازن $X=(x^1,...,x^d)\in\mathcal E$ بیان کرنے والے صرف $d$ آزاد متغیرات پر منحصر ہے (یاد رہے کہ $x^i$ درجہ حرارت، دباؤ یا حجم جیسے میکروسکوپک حالتی متغیرات ہیں)۔

پھر بھی دونوں تفاعلوں کو یوں مربوط ہونا چاہیے کہ $U_{\mathrm{th}}(X)$ میکروسکوپک پیمانے پر حالتِ توازن $X$ سے متعلق اندرونی توانائی ظاہر کرے۔ یہ بتانا ضروری ہے کہ یہ ابعادی تخفیف کیسے کام کرتی ہے۔ سوال گہرا اور اس تعارفی کورس کے دائرے سے باہر ہے۔ دونوں پیمانوں کے درمیان اس گزر کو اخذ کرنے کے لیے خردبینی بیان درکار ہے۔ نصاب سے باہر ذیلی حصہ 6.2 خاکہ پیش کرتا ہے کہ شماریاتی طبیعیات یہ مسئلہ کیسے حل کرتی ہے۔

لیکن خالص حرارتی حرکیاتی نقطۂ نظر سے اس خردبینی شناخت کا کوئی ممکن جواز نہیں، اور صرف چند میکروسکوپک متغیرات کے تفاعل کے طور پر $U_{\mathrm{th}}$ کے وجود کو مفروضہ ماننا پڑتا ہے۔ یہی حرارتی حرکیات کے پہلے اصول کا کردار ہے، جو صرف توانائی کی بقا نہیں کہتا بلکہ، سب سے بڑھ کر، یہ کہ توازن پر اس توانائی کو میکروسکوپک فضا $\mathcal E$ پر متعین حالتی تفاعل سے ظاہر کیا جا سکتا ہے۔

جب ہم $d$ آزاد حالتی متغیرات $x^i$، مثلاً مثالی گیس کے لیے ($T$، $V$، $N$)، منتخب کر لیں تو تفاعل $U(T,V,N)$ حالتوں کی فضا پر ایک اسکیلر میدان متعین کرتا ہے۔ $U,T,V,N$ محددات والی وسیع فضا میں اس کا گراف ایک بالاسطح، موسومہ سطحِ توازن، ہے؛ کورس کے آگے اس کا کردار نہایت اہم ہو گا، شکل 1 دیکھیں۔

آخر میں ایک فوری نتیجہ نوٹ کریں جو $U_{\mathrm{th}}$ اور $U_{\mathrm{micro}}$ کا فرق اچھی طرح دکھاتا ہے: یہاں تشکیل دی گئی توازنی حرارتی حرکیات میں حرارتی حرکیاتی اندرونی توانائی عموماً حالت ہائے توازن سے باہر متعین نہیں ہوتی۔ مثلاً گیس کی اچانک تبدیلی کے دوران ممکن بلکہ عام ہے کہ اسے ایک منفرد درجہ حرارت یا دباؤ نہ دیا جا سکے۔ تب اسے براہِ راست حرارتی حرکیاتی اندرونی توانائی $U_{\mathrm{th}}$ بھی نہیں دی جا سکتی، کیونکہ وہ صرف حالت ہائے توازن کی فضا $\mathcal E$ پر متعین ہے۔ مسئلہ یہ نہیں کہ توانائی غائب ہو گئی؛ اس کی خردبینی توانائی ہر لمحے مکمل متعین رہتی ہے۔ مسئلہ صرف یہ ہے کہ نظام اب نقطہ $X\in\mathcal E$ سے ظاہر نہیں ہوتا۔

یہ سب کہنے کے بعد اگلے حصے سے میکانیکی تفاعل $U_{\mathrm{micro}}$ براہِ راست استعمال نہیں ہو گا۔ ہم حرارتی حرکیاتی اندرونی توانائی $U_{\mathrm{th}}$ کو صرف $U$ لکھیں گے، اور ضمنی طور پر سمجھیں گے کہ وہ صرف حالت ہائے توازن کی فضا پر متعین ہے۔

3. حرارتی حرکیات کا پہلا اصول

پچھلے حصے نے اب پہلے اصول کے بیان کے لیے کافی بنیاد فراہم کر دی ہے:

تفاعل $U$ کی ہمواری بھی ایک غیر معمولی مفروضہ ہے۔ عملی طور پر $U$ کو $\mathcal C^\infty$ سمجھا جا سکتا ہے۔ مساوات 3 میں شامل مخزونی توانائیوں کے باعث $U$ صرف ایک مستقل تک متعین ہے، اس لیے صرف اس کی تبدیلیاں طبیعی معنی رکھتی ہیں۔ سادگی کے لیے آگے ہم انہی تبدیلیوں تک محدود رہیں گے جن میں میکروسکوپک حرکی اور مخزونی توانائیاں نہیں بدلتی۔ تب $\Delta E_{\mathrm{tot}}=\Delta U$ ہو گا۔

اب ایک بند نظام $S$ پر غور کریں جو ماحول سے توانائی کا، مگر مادے کا نہیں، تبادلہ کر سکتا ہے۔ مجموعی نظام

کو ہمیشہ ایک معزول نظام میں شامل کیا جا سکتا ہے۔ پہلا اصول تب لازم کرتا ہے کہ

اس اضافی مفروضے کے تحت کہ توانائی جمع پذیر ہے، یعنی باہمی تعامل کی توانائی قابلِ نظر انداز ہے، $E_{S'}=E_S+E_{\mathrm{Ext}}$، لہٰذا

جمع پذیری کا مفروضہ بقائے توانائی کو ذیلی نظاموں کے درمیان موازنے کی صورت دیتا ہے: نظام جو توانائی پاتا ہے وہ ماحول کھوتا ہے، اور بالعکس۔ اب یہ واضح کرنا باقی ہے کہ یہ توانائی نظام کی سرحد سے کیسے منتقل ہو سکتی ہے۔ ہم انتقال کی دو صورتیں الگ کریں گے: کام، جسے $W$ لکھتے ہیں اور جس کی میکانیات سے حاصل ایک آزاد تعریف ہے، اور حرارت، جسے $Q$ لکھتے ہیں۔

توانائی کا موازنہ یوں ہو گا

جہاں $W$ نظام کو ملنے والا کام اور $Q$ اسے ملنے والی حرارت ہے۔

یاد رہے کہ توانائی کی جمع پذیری کا مفروضہ غیر معمولی ہے۔ ابتدائی سطح پر اسے عام حرارتی حرکیاتی نظاموں کے لیے قبول کیا جا سکتا ہے، مگر یہ ہمیشہ درست نہیں۔ بالخصوص دور رس تعاملات توانائی کی جمع پذیری اور امتدادیت دونوں کو بیک وقت ناکام بنا سکتے ہیں؛ حصہ 6.4 دیکھیے۔

اب انتقال کی ان دونوں صورتوں کی تعریف کرنا ہے۔ اس سے پہلے ایک نہایت معروف علامتی روایت نوٹ کرنا ضروری ہے، جو اس کتاب کے باقی حصے میں استعمال ہو گی۔

4. کام، حرارت اور توانائی کا موازنہ

4.1. کام

کام کا ایک فائدہ یہ ہے کہ اس کی حرارتی حرکیات سے آزاد، میکانیات سے وراثت میں ملی تعریف موجود ہے۔ جب کوئی بیرونی قوت $\vec F_{\mathrm{ext}}$ نظام کی سرحد کے کسی نقطے پر لگے اور وہ نقطہ $d\vec r$ سے ہلے تو اس قوت کا دیا ہوا، یعنی نظام کو ملنے والا، ابتدائی کام

پھیلے ہوئے نظام کے لیے سرحد پر کام کرنے والی تمام بیرونی قوتوں کی شراکتیں جمع کرنی ہوتی ہیں۔

عملی طور پر سب سے زیادہ استعمال ہونے والی صورت ایک ایسے ظرف میں بند سیال کی ہے جس کی ایک دیوار متحرک ہو؛ اس سے دباؤ کی قوتوں کا کام معلوم کرنا پڑتا ہے۔ $\mathcal S$ رقبے کے ہموار پسٹن سے سلنڈر میں بند گیس پر غور کریں، شکل 2۔ محور $x$ گیس سے باہر کی طرف ہے۔ پسٹن $dx$ سے سرکے تو حجم کی تبدیلی

گیس کی سرحد پر لگنے والے بیرونی دباؤ کو $P_{\mathrm{ext}}$ لکھیں۔ گیس کو ملنے والی قوت اندر کی طرف ہے اور

لہٰذا گیس کو ملنے والا ابتدائی کام

یعنی

بینکار کی روایت سے علامت فوراً جانچی جا سکتی ہے۔ دبانے میں $dV<0$، لہٰذا $\delta W>0$: گیس کام حاصل کرتی ہے۔ پھیلاؤ میں $dV>0$، لہٰذا $\delta W<0$: گیس ماحول کو کام دیتی ہے۔

غور رہے کہ اس فارمولے میں دباؤ نظام کے باہر کا دباؤ ہے، جس کے عمومی طور پر خود گیس کے دباؤ کے برابر ہونے کی کوئی وجہ نہیں۔ توازن سے باہر اچانک تبدیلیوں میں یہ بات خاص طور پر اہم ہے، کیونکہ تب داخلی دباؤ عموماً متعین بھی نہیں ہوتا۔

تکمل سے، معلوم بیرونی دباؤ والی محدود تبدیلی $A\to B$ کے لیے

ملتا ہے۔ یہ تکمل دکھاتا ہے کہ کل کام کے حساب کے لیے پوری تبدیلی کے دوران $P_{\mathrm{ext}}$ معلوم ہونا چاہیے۔ اس کا اہم نتیجہ یہ ہے کہ عمومی طور پر صرف ابتدائی اور آخری حالتوں $A$ اور $B$ سے کام متعین نہیں کیا جا سکتا: اس کا اظہار اختیار کردہ عمل پر منحصر ہے۔

یہاں تین خاص صورتیں اہم ہیں۔

1. اگر $P_{\mathrm{ext}}$ مستقل ہو تو $W_{\mathrm{pression}}[A\to B] = -P_{\mathrm{ext}}\Delta V$۔
2. ہم حجمی تبدیلی میں $dV=0$ اور دباؤ کی قوتوں کا کام صفر ہے: $\delta W_{\mathrm{pression}}=0$ اور $W_{\mathrm{pression}}[A\to B]=0$۔
3. خلا میں پھیلاؤ کے دوران $P_{\mathrm{ext}}=0$، اس لیے دباؤ کی قوتوں کا کام بھی صفر ہے۔

4.2. حرارت

کام توانائی کی منتقلی کی واحد صورت نہیں ہو سکتا، کیونکہ سخت ظرف میں بند گیس کو گرم کرنے سے کسی بیرونی کام کے بغیر اس کا درجۂ حرارت اور توانائی بڑھتے ہیں۔ لہٰذا توانائی نظام کی سرحد سے کام کی صورت کے بغیر گزری ہے۔ توانائی کی منتقلی کی اس دوسری صورت کو حرارت یا حرارتی انتقال کہتے ہیں۔

یہاں اپنائی گئی تشکیل میں (ایک مساوی متبادل تشکیل کے لیے ذیلی حصہ 6.1 دیکھیے)، دو حالت ہائے توازن $A$ اور $B$ کو ملانے والی طبیعی تبدیلی $A\to B$ میں، نظام کو ملنے والے تمام کام شناخت کرنے کے بعد، موصولہ حرارت کی تعریف ہے

یوں اوپر بیان کردہ تعلق دوبارہ ملتا ہے:

چونکہ کام تبدیلی $A\to B$ کے راستے پر منحصر ہے، جبکہ توانائی کی تبدیلی $\Delta U=U(B)-U(A)$ اس پر منحصر نہیں، اس لیے تبادلہ شدہ حرارت کی مقدار بھی لازماً راستے پر منحصر ہے۔

حرارتی حرکیات کی زبان میں اندرونی توانائی $U$ ایک حالتی تفاعل ہے (مسلّمہ کے طور پر)، جبکہ کام $W$ اور حرارت $Q$ نہیں۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ $W$ اور $Q$ کسی لمحے نظام کی حالت کے تفاعل نہیں ہو سکتے: نظام کے پاس ’کام کی مقدار‘ یا ’حرارت کی مقدار‘ ذخیرہ نہیں ہوتی؛ بلکہ $W$ اور $Q$ کسی تبدیلی $A\to B$ کے دوران اس کی سرحد پر توانائی کے انتقالات ہیں۔ سبق 2 میں بیان کردہ تجربات کے پیشِ نظر ہم یہی نتیجہ چاہتے تھے۔

کسی چکری تبدیلی $A\to A$ میں نظام ابتدائی حالت میں لوٹ آتا ہے، لہٰذا

پہلا اصول تب لازم کرتا ہے

پس کوئی چکری مشین ماحول سے اتنی ہی توانائی لیے بغیر غیر معینہ مدت تک کام نہیں دے سکتی۔ تاریخی طور پر اسے پہلی قسم کی دائمی حرکت کا ناممکن ہونا کہتے ہیں۔

4.3. پہلے اصول کی تفرقی صورت

تعلق

دو حالت ہائے توازن $A$ اور $B$ کو ملاتا ہے۔ یہ ہمیشہ درست ہے، یعنی یہ فرض نہیں کرتا کہ تمام درمیانی حالتیں بھی توازنی حالتوں کی فضا $\mathcal E$ کے نقاط سے ظاہر کی جا سکیں۔ اچانک تبدیلی میں نظام وقتی طور پر $\mathcal E$ پر متعین سطحِ توازن چھوڑ سکتا ہے، اگرچہ $U(A)$ اور $U(B)$ پوری طرح متعین رہتے ہیں۔

اب ایک خاص صورت کی تفصیل ضروری ہے۔ فرض کریں تبدیلی نیم سکونی ہے۔ تعریفاً نظام ہر لمحے حالتِ توازن میں ہوتا ہے۔ تب تبدیلی کو لامتناہی قریب حالت ہائے توازن سے بنے ایک راستے

سے ظاہر کیا جا سکتا ہے، جو سطحِ توازن نہیں چھوڑتا۔ چونکہ $U$، $\mathcal E$ پر قابلِ تفرق حالتی تفاعل ہے، دو لامتناہی قریب حالتوں کے درمیان اس کی تبدیلی ایک کامل تفرق ہے، جسے $dU$ لکھتے ہیں۔

حرارت اور کام کے متعلقہ ابتدائی انتقالات کو $\delta Q$ اور $\delta W$ لکھتے ہیں۔ پہلا اصول تب

کی صورت اختیار کرتا ہے۔ $dU$ اور $\delta W$ یا $\delta Q$ کے اشاروں کا فرق محض ظاہری نہیں۔ پہلا کامل تفرق ہے اور باقی دو نہیں؛ یہ اس حقیقت کا ریاضیاتی اظہار ہے کہ توانائی کی تبدیلی راستے پر منحصر نہیں مگر $Q$ اور $W$ منحصر ہیں۔ اگلا حصہ اس بنیادی نکتے کے لیے درکار ریاضی یاد دلائے گا۔

اس خاص صورت میں جہاں واحد کام دباؤ کی قوتوں کا ہو اور $P_{\mathrm{ext}}$ کو نظام کے دباؤ $P$ کے برابر رکھا جا سکے، یہ تعلق بنتا ہے

5. کامل اور ناکامل تفرقی صورتیں

یہ حصہ ایک طرف $dU$ اور دوسری طرف $\delta Q$ اور $\delta W$ کے فرق کو درست معنی دینے کے لیے درکار کم از کم ریاضی جمع کرتا ہے۔ جو قاری اسے پہلے سے جانتا ہو، وہ اسے چھوڑ سکتا ہے۔

5.1. تفاعل کا تفرق

$x^1,...,x^d$ متغیرات کا قابلِ تفرق تفاعل $f$ فرض کریں۔ اس کا تفرق

ہے، جو نقطہ $X$ سے قریبی نقطہ $X+dX$ تک جانے پر $f$ کی تبدیلی ناپتا ہے۔ اہم بات یہ ہے کہ نقطہ $A$ سے $B$ تک کسی راستے $\gamma$ پر چل کر ان تمام ابتدائی تبدیلیوں کو جمع کرنے سے

ملتا ہے۔ خصوصاً بند راستے پر

5.2. تفرقی صورتیں

اب اسی نوعیت کی ایک عبارت لیں جسے کسی تفاعل کے تفرق سے ہرگز نہیں ملانا چاہیے۔ من مانے تفاعل $A_i(x^1,...,x^d)$ لے کر

کی تعریف کریں۔ ایسی شے کو تفرقی صورت کہتے ہیں۔ $A_i$ معلوم ہوں تو اسے کسی راستے $\gamma$ پر باآسانی تکمل کیا جا سکتا ہے۔ مگر یہ لازم نہیں کہ کوئی تفاعل $f$ موجود ہو جس کا تفرق $\omega$ ہو، یعنی ہر $i$ کے لیے $A_i=\partial f/\partial x^i$۔

• ایسا $f$ موجود ہو تو صورت کامل کہلاتی اور $\omega=df$ لکھی جاتی ہے۔ تب $\int_\gamma\omega=\int_\gamma df=f(B)-f(A)$ صرف آخری نقاط پر منحصر ہوتا ہے۔
• ورنہ صورت ناکامل ہے؛ یہ یاد دلانے کے لیے کہ یہ کسی تفاعل کا تفرق نہیں، اسے $\omega$ کے بجائے $\delta\omega$ لکھتے ہیں۔ (ریاضی دان اسے صرف $\omega$ لکھیں گے۔)

5.3. شوارز کا معیار

کسی تفرقی صورت کے کامل ہونے کا ایک آسان معیار شوارز کا معیار ہے۔ سادگی کے لیے دو متغیرات لیں (عمومیت فوراً حاصل ہو جاتی ہے):

اگر $\omega$ کامل ہوتی تو $A=\partial f/\partial x$ اور $B=\partial f/\partial y$، لہٰذا

کیونکہ دو بار مسلسل قابلِ تفرق تفاعل کے لیے تفرق کی ترتیب سے فرق نہیں پڑتا۔ چنانچہ ہمارے پاس مفید آزمائش ہے:

ایسی باریکیوں کے سوا جو حرارتی حرکیات میں پیش نہیں آئیں گی، اس کا عکس بھی درست ہے۔

5.4. دباؤ کی قوتوں کے کام کی مثال

جب نیم سکونی راستے پر ابتدائی انتقالات کو حالتی متغیرات کے تفاعل کے طور پر لکھا جا سکے تو $\delta Q$ اور $\delta W$، $\mathcal E$ پر تفرقی صورتیں بن جاتے ہیں اور ان کے کامل ہونے کی جانچ کی جا سکتی ہے۔

مثال کے طور پر $n$ مول مثالی گیس کی نیم سکونی تبدیلی لیں، جہاں $P_{\mathrm{ext}}=P$۔ تب $\delta W=-P\,dV$۔ لیکن $P=nRT/V$ ہے، اس لیے

جہاں $x=T$ اور $y=V$ رکھے گئے ہیں۔ یہ واقعی حالتوں کی فضا پر متعین تفرقی صورت ہے۔ شوارز کا معیار دیتا ہے

دونوں ضربی مشتق برابر نہیں: ابتدائی کام واقعی کامل تفرق نہیں ہے۔ اس لیے اس صورت میں کوئی حالتی تفاعل $W(T,V)$ موجود نہیں جس کی تبدیلی $\delta W$ ہو، اور دو حالتوں کے درمیان موصولہ کام واقعی اختیار کردہ راستے پر منحصر ہے۔ یہی دلیل $\delta Q=dU-\delta W$ پر لاگو ہوتی ہے: $dU$ کامل ہے اور $\delta W$ نہیں، اس لیے ان کا فرق بھی کامل نہیں ہو سکتا۔

6. مزید آگے

6.1. پہلے اصول کی دو ممکنہ تشکیلیں

یہاں ہم نے یہ منطقی ترتیب چنی ہے: پہلے اصول سے حالتی تفاعل $U$ کا وجود مسلّمہ لیا، کام کو میکانیات سے آزاد طور پر متعین کیا، پھر موازنے

سے حرارت کی تعریف کی۔ اس سے ایک اہم حقیقت نکلتی ہے۔ اگر تبدیلی ادیابیاتی ہو تو $\Delta U=W$، جس سے لازم آتا ہے کہ ادیابیاتی کام $W_{\mathrm{ad}}$ ہمیشہ اختیار کردہ راستے سے آزاد ہے۔

یہ اندرونی توانائی کی ایک دوسری ممکنہ تشکیل کی طرف اشارہ کرتا ہے: عملیاتی، یعنی ہر خردبینی غور سے آزاد، اور تاریخی پیش رفت کے زیادہ قریب۔ استدلال کے چکر سے بچنے کے لیے پہلے $Q$ متعارف کیے بغیر ادیابیاتی تبدیلیوں کی خصوصیات بیان کی جاتی ہیں۔

خیال ذہین ہے: انتقال کی نہیں، آلے کی تعریف کی جاتی ہے۔ کسی دیوار کو ادیابیاتی کہتے ہیں اگر اس سے بند نظام کی حالت صرف بیرونی میکانی محددات، یعنی پسٹن، مخلوط کنندہ یا برقی رو، کو بدل کر تبدیل کی جا سکے۔ آزمائش براہِ راست ہے: ان محددات کو ساکن رکھ کر بیرونی ماحول من مانے طور پر بدلیں، مثلاً ظرف کو برفیلے حمام میں ڈبوئیں یا شعلے کے قریب لائیں۔ اگر نظام کا کوئی حالتی متغیر نہ بدلے تو دیوار ادیابیاتی ہے۔

اس خصوصیت میں صرف حالتیں اور میکانی حرکتیں شامل ہیں، توانائی کا انتقال کبھی نہیں؛ لہٰذا یہ حرارت کے ہر تصور سے پہلے آتی ہے۔ عملی طور پر اچھی عایق بندی سے، یا حرارتی سکون کے وقت کے مقابلے میں تیزی سے عمل کر کے، اس کے قریب پہنچا جاتا ہے۔

موصولہ کام کو خالص میکانی یا برقی طریقے سے ناپا جاتا ہے۔ 1843 سے 1850 کے درمیان کیے گئے اور بعد میں بڑھتی صحت کے ساتھ دہرائے گئے جول کے تجربات کا پورا تجربی مفہوم یہی ہے: بلندی $h$ سے گرتی کمیت $m$ کسی حرارتی انتقال کے بغیر $mgh$ کام دیتی ہے۔ اوپر کے معنی میں ادیابیاتی ظرف میں اس کے بنائے تمام آلات—پروں والا مخلوط کنندہ، حرارتی مزاحمت یا گیس کا دباؤ—ایک ہی نتیجے پر پہنچے: یکساں فراہم کردہ کام حالت میں یکساں تبدیلی پیدا کرتا ہے۔ سبق 2 میں بیان کردہ یہی اس کا ’حرارت کا میکانی مساوی‘ تھا۔ یوں جول نے پہلی بار تجربی اشارہ دیا کہ ادیابیاتی کام اختیار کردہ راستے پر منحصر نہیں۔

پھر کاراتھیوڈوری نے 1909 ^[2] میں، اور بالخصوص بورن نے 1921 میں، اس تجربی حقیقت کو مسلّمہ بنانے کی تجویز دی۔ اسے مان لیں تو

رکھ کر حالتی تفاعل $U$ آسانی سے تشکیل دیا جا سکتا ہے، اور پھر عام تبدیلیوں کے لیے فرق سے حرارت کی تعریف کی جا سکتی ہے، جیسے ہم نے کیا۔

یہ تشکیل پپارڈ ^[3] اور کیلن ^[4] سمیت بہت سی کتابوں میں اختیار کی گئی ہے۔ یہ ہماری تشکیل کے مساوی ہے: $U$ کو مسلّمہ مان کر ادیابیاتی کام کی راستہ-آزادی اخذ کرنا، یا اس کام کی راستہ-آزادی مسلّمہ مان کر $U$ تشکیل دینا ایک ہی بات ہے۔ جول سے کاراتھیوڈوری اور بورن تک اس تصوری ارتقا کی تفصیلی روداد روزنبرگ ^[5] میں ملے گی۔

6.2. خرد اور کلان حالتیں

اگر اوپر بیان کردہ عملیاتی راستہ نہ لیا جائے تو حصہ 2 نے ایک بنیادی سوال ظاہر کیا: $6N$ محددات کی فضا پر متعین توانائی چند میکروسکوپک متغیرات کے تفاعل میں کیسے سمٹ سکتی ہے؟ شماریاتی طبیعیات ان دو پیمانوں کے درمیان یہ عبور تشکیل دیتی ہے۔ اس کے بنیادی خطوط یہ ہیں۔

شماریاتی طبیعیات میں حالت ہائے توازن کی فضا $\mathcal E$ کے نقطے $X$ کو کلان حالت کہیں گے۔ ایک ہی کلان حالت سے عموماً یکساں میکروسکوپک قیود کے موافق خرد حالتوں $\gamma\in\Gamma$ کی بہت بڑی تعداد وابستہ ہوتی ہے۔

ثابت کیا جاتا ہے کہ $N\to\infty$، جسے حرارتی حرکیاتی حد کہتے ہیں، میں ان خرد حالتوں کی توانائیاں اپنے اوسط کے گرد انتہائی مرتکز ہوتی ہیں۔ یعنی توانائی کے نسبتی اتار چڑھاؤ صفر کی طرف جاتے ہیں:

تب $U_{\mathrm{th}}(X)=\langle U_{\mathrm{micro}}\rangle_X$ رکھا جا سکتا ہے، جہاں اوسط کلان حالت کے موافق تمام خرد حالتوں پر لیا گیا ہے۔ یہی ارتکاز اس تعریف کو معنی دیتا ہے۔ نظام ہر لمحے ایک منفرد خرد حالت میں ہوتا ہے، اوسط میں نہیں؛ لیکن تقریباً سب کی توانائی یکساں ہونے کے باعث کلان حالت کی توانائی کی بات کی جا سکتی ہے اور دو یکساں تیاریوں سے یکساں پیمائش ملتی ہے۔

تصور کے لیے ایک کلان حالت سے خردبینی طور پر مختلف مگر میکروسکوپک طور پر ناقابلِ امتیاز خرد حالتوں کا ایک عظیم مجموعہ منسلک سمجھا جا سکتا ہے۔ یہ فیز فضا پر ایک جماعتِ مساوات سے مشابہ ہے۔ تاہم درست تشکیل قدرے مختلف ہو گی اور فیز فضا پر احتمالی تقسیم استعمال کرے گی۔

اگلی شکل اس عمل کا خلاصہ کرتی ہے۔

6.3. عمومی کام

اوپر دیکھی گئی کام کی مختلف صورتوں کی مشترک ساخت ہے۔ دباؤ کے کام کے لیے

تار کھینچنے کے لیے

اور سطحی کام کے لیے

دیکھا۔ ہر بار جس جزو کا تفرق لیا جاتا ہے وہ امتدادی اور اس کا پیش ضریب شدتی ہے۔ عمومی طور پر میکانی کام کا ہر جزو یوں لکھیں گے:

جہاں $\nu_i^{\mathrm{ext}}$ بیرونی عمومی قوت ہے، جو عموماً شدتی ہے اور محدد $x^i$ کی مزدوج ہے، جو عموماً امتدادی ہے؛ علامت ہماری روایت کے مطابق ہے۔

جب بیرونی عمومی قوتیں نظام کی متعلقہ حرارتی حرکیاتی قوتوں کے برابر ہوں (مثلاً $P_{\mathrm{ext}}=P$)، پہلا اصول یوں لکھا جا سکتا ہے:

6.4. اندرونی توانائی کی امتدادیت

پچھلے سبق میں اندرونی توانائی کو امتدادی مقدار کے طور پر پیش کیا تھا: شدتی متغیرات کو مستقل رکھتے ہوئے کسی یکساں نظام کا سائز $\lambda$ گنا کرنے سے اس کی توانائی بھی $\lambda$ گنا ہوتی ہے،

یہ خاصیت پہلے اصول کا مسلّمہ نہیں۔ یہ ایک اضافی مفروضہ ہے جسے ہم اکثر اپنائیں گے، مگر جو ہمیشہ درست نہیں۔ توقع ہے کہ نظام کے اجزا کے درمیان دور رس قوتیں، بالخصوص کششِ ثقل، اس کی امتدادیت تباہ کریں گی۔

اسے واضح کریں۔ بُعد $D$ کی فضا میں مستقل کثافت پر تقسیم $N$ اجزا لیں اور فرض کریں کہ ان کے تعامل کی مخزونی توانائی

کی طرح ہے۔ کثافت $\rho=N/V$ مستقل رکھنے پر نظام کا مخصوص خطی سائز

کی طرح بڑھتا ہے۔ اب کل تعاملی توانائی کا اندازہ تین مرحلوں میں لگائیں۔

ہمسایوں کی گنتی۔

ایک جزو کو مقرر کر کے پوچھیں کہ فاصلے $r$ اور $r+dr$ کے درمیان کتنے دوسرے اجزا ہیں۔ یہ کثافت ضرب متعلقہ خول کا حجم ہے:

جہاں $S_D$ بُعد $D$ میں اکائی کرہ کا رقبہ ہے، یعنی تین ابعاد میں $4\pi$۔

فاصلوں پر جمع۔

ہر ہمسایہ $E_p(r)\sim r^{-\alpha}$ کا حصہ ڈالتا ہے۔ اس لیے ایک جزو کی باقی سب سے تعاملی توانائی

نچلی حد $a$ کم از کم قربت کا فاصلہ ہے جس کے نیچے $1/r^\alpha$ کا قانون درست نہیں رہتا اور جو $r\to0$ پر تکمل کو منتشر ہونے سے روکتا ہے۔ بالائی حد $L$ نظام کا سائز ہے؛ اس سے آگے کوئی ہمسایہ نہیں۔

اجزا پر جمع۔

اجزا کی تعداد سے ضرب دے کر، اور ہر جوڑے کو دو بار گننے سے بچنے کے لیے دو سے تقسیم کر کے،

جہاں ہندسی عامل $S_D/2$ کو مرتبۂ مقدار میں جذب کیا گیا ہے۔ تکمل کی قدر ہے

اگر $\alpha>D$ ہو تو قوت نما منفی ہے: $L\to\infty$ میں تکمل مرتکز اور نچلی حد غالب ہے، اس لیے یہ مستقل $a^{D-\alpha}/(\alpha-D)$ کے مرتبے کا ہے۔ اگر $\alpha<D$ ہو تو بالائی حد غالب ہے اور قدر $L^{D-\alpha}=N^{1-\alpha/D}$ کے مرتبے کی ہے۔ آخر میں $\alpha=D$ پر ابتدائی تفاعل لوگارتھم اور تکمل $\ln(L/a)=\tfrac1D\ln N$ ہے۔ یوں

طبیعی تشریح واضح ہے۔ $\alpha>D$ پر قوتیں قلیل رس ہیں: $E_p$ کی کمی ہمسایوں کی تعداد کے اضافے پر غالب آتی ہے۔ ہر جزو صرف فوری ہمسائیگی محسوس کرتا ہے، اس لیے اس کی توانائی نظام کے سائز پر منحصر نہیں اور کل توانائی $N$ کے متناسب، یعنی امتدادی، ہے۔

$\alpha\leq D$ پر الٹ صورت ہے: بہت زیادہ دور کے ہمسائے غالب آتے ہیں، ہر جزو پورا نظام محسوس کرتا ہے اور اس کی اپنی توانائی نظام کے سائز کے ساتھ بڑھتی ہے۔ کل توانائی پھر $N$ سے زیادہ تیزی سے بڑھتی اور امتدادیت ختم ہو جاتی ہے۔ کافی قلیل رس تعاملات قدرتی طور پر امتدادی توانائی دیتے ہیں، جبکہ دور رس تعاملات یہ خاصیت تباہ کر سکتے ہیں۔

مثلاً سہ ابعادی نیوٹنی کششِ ثقل میں

اور پچھلا تخمینہ مستقل کثافت پر دیتا ہے

منفی علامت، جو صرف مرتبۂ مقدار کی دلیل سے نہیں ملتی، کششِ ثقل کی جاذب نوعیت ظاہر کرتی ہے۔

اس کتاب کے باقی حصے میں توانائی کی امتدادیت بکثرت استعمال ہو گی۔ کششِ ثقل بےشک آفاقی مگر بہت کمزور قوت ہے: رابطے میں لائے گئے گیس کے دو حجموں کے مطالعے میں اسے عملاً نظر انداز کیا جا سکتا ہے۔ دوسری طرف گیس کی اندرونی وان ڈیر والز قسم کی قوتیں بہت تیزی سے، $1/r^6$ کی طرح، گھٹتی ہیں؛ اس لیے اس صورت میں امتدادیت تقریباً عین درست ہے۔

اس کے برعکس خود ثقلی نظاموں—ستاروں، کہکشاؤں وغیرہ—کی وضاحت میں کششِ ثقل بنیادی جزو ہے، اور توانائی کی امتدادیت لازماً کھونے کے باعث پورا حرارتی حرکیاتی تجزیہ ابتدا سے کرنا پڑتا ہے۔ یوں ان نظاموں کی حرارتی حرکیات تقریباً الگ سائنس ہے اور غیر متوقع رویے دکھاتی ہے: مثلاً توانائی خارج کرنے والا ستارہ ٹھنڈا ہونے کے بجائے گرم ہوتا ہے۔ کتاب کے اعلیٰ حصے میں ہم اس کی طرف لوٹیں گے۔

7. خلاصہ

آئیے اس سبق میں قائم کردہ اور آگے ہر جگہ استعمال ہونے والے نکات کا خلاصہ کریں۔

• پہلا اصول حالتی تفاعل $U:\mathcal E\longrightarrow\mathbb R$، یعنی اندرونی توانائی، کا وجود مسلّمہ مانتا اور معزول نظام کی بقائے توانائی بیان کرتا ہے۔
• کتاب کے باقی حصے میں ہم اسے امتدادی، اور اپنے تمام متغیرات میں کافی مسلسل اور قابلِ تفرق بھی فرض کریں گے۔
• توانائی کی جمع پذیری کے ساتھ پہلا اصول بقائے توانائی کو بند نظام اور اس کے ماحول کے درمیان توانائی کے موازنے کی صورت دینے دیتا ہے۔ کام کی میکانیات سے آزاد تعریف کے بعد حرارت کو باقی انتقال کے طور پر متعین کیا جاتا ہے، جس سے مفید فارمولا $\Delta U=Q+W$ ملتا ہے۔
• نیم سکونی تبدیلی کے لیے یہ توانائی موازنہ تفرقی صورت $dU=\delta Q+\delta W$ اختیار کرتا ہے، جس میں صرف $dU$ کامل تفرق ہے۔

کھلے نظاموں کا تجزیہ کورس میں دوسری جگہ زیرِ بحث آئے گا۔

8. حوالہ جات

پہلے اصول کے جول سے کاراتھیوڈوری اور بورن تک تصوری ارتقا کے لیے روزنبرگ ^[5] دیکھیے۔ کلاسیکی پیشکش کے لیے پپارڈ ^[3] اور کیلن ^[4] دیکھیے۔