حرارتی حرکیات کی حل شدہ مشق

مستطیلی تبریدی چکر؟

مشق 23 · سبق 5 — مثالی گیس پر اطلاق

حر حرکیاتی چکر
مستطیلی چکر
کلاپیرون مخطط
کام
حرارت
رقبہ
مثالی گیس
تبریدی چکر
تبریدی مشین

سوال

یک جوہری مثالی گیس کے $n$ مول، جہاں $U = \frac{3}{2} n R T$ ہے، نیم سکونی طور پر مستطیلی چکر کو خلاف ساعت سمت میں طے کرتے ہیں:

A (P_{1}, V_{1}) \to B (P_{1}, V_{2}) \to C (P_{2}, V_{2}) \to D (P_{2}, V_{1}) \to A,

جہاں $V_{2} > V_{1}$ اور $P_{2} > P_{1}$ ہیں۔ ہم لکھیں گے

Δ P = P_{2} - P_{1} > 0, Δ V = V_{2} - V_{1} > 0.

چکر کو کلاپیرون مخطط $(P, V)$ میں دکھائیں اور ہر شاخ کی نوعیت بتائیں۔
چاروں شاخوں پر وصول کردہ کام کو $Δ V$ کی صورت میں نکالیں جہاں یہ بدلتا ہے، پھر کل کام کو $Δ P$ اور $Δ V$ کی صورت میں نکالیں۔ مستطیل کے رقبے سے اس کی قدر دوبارہ حاصل کریں۔
ہر شاخ پر $Δ U$ اور $Q$ کو $P_{1}$ ، $P_{2}$ ، $V_{1}$ ، $V_{2}$ ، $Δ P$ اور $Δ V$ کی صورت میں لکھیں؛ ہم حجمی شاخوں پر $Δ P$ اور ہم فشاری شاخوں پر $Δ V$ استعمال کریں۔
تصدیق کریں کہ $Δ U_{cycle} = 0$ اور $Q_{cycle} = - W_{cycle}$ ۔ کیا یہ طاقت پیدا کرنے والا چکر ہے یا کام وصول کرنے والا چکر؟ گیس کن شاخوں پر حرارت وصول اور کن پر خارج کرتی ہے؟ دکھائیں کہ گیس کی خارج کردہ کل حرارت $Q_{out} > 0$ اس کی وصول کردہ کل حرارت $Q_{in} > 0$ اور وصول کردہ کام $W_{cycle}$ کے مجموعے کے برابر ہے۔
چاروں راسوں کے درجہ حرارت $T_{A}$ ، $T_{B}$ ، $T_{C}$ اور $T_{D}$ بیان کریں۔ ان میں سب سے کم کون سا ہے اور سب سے زیادہ کون سا؟ ہر شاخ کے ساتھ گیس کا درجہ حرارت کیسے بدلتا ہے؟ گیس کن درجہ ہائے حرارت کے درمیان حرارت وصول کرتی ہے اور کن کے درمیان خارج کرتی ہے؟
ہم اس چکر کو ریفریجریٹر کے طور پر استعمال کرنا چاہتے ہیں: ایک ٹھنڈے خانے سے حرارت لے کر اسے کمرے کی زیادہ گرم ہوا میں خارج کرنا۔ کسی جسم کے حرارت وصول کرنے کے لیے ضروری ہے کہ اس سے مس کرنے والا منبع اس سے زیادہ گرم ہو۔ گیس کو حرارت دینے والے منابع اور گیس سے حرارت لینے والے منابع کے درجہ حرارت کیسے ہونے چاہییں؟ کیا یہ چکر ریفریجریٹر کی طرح کام کر سکتا ہے؟
عددی اطلاق: $P_{1} = 1, 0$ bar، $P_{2} = 3, 0$ bar، $V_{1} = 5, 0$ L اور $V_{2} = 15, 0$ L۔ ہر شاخ پر $W$ اور $Q$ ، پھر $W_{cycle}$ ، $Q_{in}$ اور $Q_{out}$ کا حساب کریں۔ آخر میں تناسب $T_{B} / T_{A}$ ، $T_{C} / T_{A}$ اور $T_{D} / T_{A}$ نکال کر نتیجہ اخذ کریں۔

اشارہ

ہم حجمی تحول پر

n R Δ T = V Δ P

اور کام صفر ہے۔ ہم فشاری تحول پر

n R Δ T = P Δ V

اور

W = - P Δ V

ہے۔ چکر مکمل ہونے پر ہر حالتی تفاعل اپنی ابتدائی قدر دوبارہ اختیار کر لیتا ہے۔

تفصیلی حل

حل

سوال 1۔ نقاط

A

B

C

اور

D

بالترتیب نیچے بائیں، نیچے دائیں، اوپر دائیں اور اوپر بائیں واقع ہیں۔ شاخیں

A \to B

اور

C \to D

ہم فشاری ہیں؛

B \to C

اور

D \to A

ہم حجمی ہیں۔ راستہ

A \to B \to C \to D \to A

خلاف ساعت سمت میں طے ہوتا ہے۔

شکل 1. کلاپیرون مخطط میں ہم فشاری–ہم حجمی مستطیلی چکر۔

سوال 2۔ گیس کا وصول کردہ کام یہ ہے

W = - \int P_{ext} d V .

ہم حجمی شاخوں $B \to C$ اور $D \to A$ پر یہ صفر ہے۔ دونوں ہم فشاری شاخوں پر

W_{A B} = - P_{1} (V_{2} - V_{1}) = - P_{1} Δ V, W_{C D} = - P_{2} (V_{1} - V_{2}) = P_{2} Δ V .

لہٰذا

W_{cycle} = (- P_{1} + P_{2}) Δ V = Δ P Δ V > 0

یہ قدر واقعی کلاپیرون مخطط میں مستطیل کا رقبہ ہے۔

سوال 3۔ یک جوہری مثالی گیس کے لیے

Δ U = n c_{V} Δ T = \frac{3}{2} n R Δ T .

ہم فشاری تحول پر حالت کی مساوات $n R Δ T = P Δ V_{branch}$ دیتی ہے۔ نتیجتاً

Δ U_{A B} = \frac{3}{2} P_{1} Δ V, Δ U_{C D} = - \frac{3}{2} P_{2} Δ V .

ہم حجمی تحول پر یہ $n R Δ T = V Δ P_{branch}$ دیتی ہے، لہٰذا

Δ U_{B C} = \frac{3}{2} V_{2} Δ P, Δ U_{D A} = - \frac{3}{2} V_{1} Δ P .

آخر میں پہلا اصول $Δ U = Q + W$ ، یعنی $Q = Δ U - W$ ، مندرجہ ذیل خلاصہ جدول دیتا ہے:

شاخ A \to B B \to C C \to D D \to A W - P_{1} Δ V 0 P_{2} Δ V 0 Δ U \frac{3}{2} P_{1} Δ V \frac{3}{2} V_{2} Δ P - \frac{3}{2} P_{2} Δ V - \frac{3}{2} V_{1} Δ P Q = Δ U - W \frac{5}{2} P_{1} Δ V \frac{3}{2} V_{2} Δ P - \frac{5}{2} P_{2} Δ V - \frac{3}{2} V_{1} Δ P

سوال 4۔ اندرونی توانائی کی تبدیلیوں کا مجموعہ صفر ہے، جیسا کہ کسی بھی حالتی تفاعل کے لیے ایک چکر پر ہوتا ہے۔ لہٰذا پہلا اصول دیتا ہے

Q_{cycle} = - W_{cycle} = - Δ P Δ V < 0.

مجموعی طور پر گیس کام وصول کرتی ہے: چکر کام وصول کرنے والا ہے۔ جدول کے مطابق گیس $A \to B$ اور $B \to C$ پر حرارت وصول کرتی ہے اور $C \to D$ اور $D \to A$ پر حرارت خارج کرتی ہے:

Q_{in} = Q_{A B} + Q_{B C} = \frac{5}{2} P_{1} Δ V + \frac{3}{2} V_{2} Δ P, Q_{out} = - (Q_{C D} + Q_{D A}) = \frac{5}{2} P_{2} Δ V + \frac{3}{2} V_{1} Δ P .

تفریق کرنے پر، $P_{2} - P_{1} = Δ P$ اور $V_{2} - V_{1} = Δ V$ استعمال کر کے،

Q_{out} - Q_{in} = \frac{5}{2} Δ P Δ V - \frac{3}{2} Δ P Δ V = Δ P Δ V = W_{cycle},

لہٰذا

Q_{out} = Q_{in} + W_{cycle}

ایک چکر میں گیس اپنی وصول کردہ تمام توانائی، حرارت اور کام دونوں، حرارت کی صورت میں خارج کر دیتی ہے۔

سوال 5۔ حالت کی مساوات ہر راس پر

T = P V / (n R)

دیتی ہے:

T_{A} = \frac{P _{1} V _{1}}{n R}, T_{B} = \frac{P _{1} V _{2}}{n R}, T_{C} = \frac{P _{2} V _{2}}{n R}, T_{D} = \frac{P _{2} V _{1}}{n R} .

چونکہ $P_{1} < P_{2}$ اور $V_{1} < V_{2}$ ، حاصل ضرب $P V$ نقطہ $A$ پر کم ترین اور $C$ پر زیادہ ترین ہے: $T_{A}$ چکر کا سب سے کم درجہ حرارت ہے، $T_{C}$ سب سے زیادہ، اور $T_{B}$ اور $T_{D}$ درمیانی ہیں۔

ہم فشاری شاخ

A \to B

پر مستقل دباؤ پر

V

بڑھتا ہے، اس لیے

T

کی قدر

T_{A}

سے

T_{B}

تک بڑھتی ہے۔ ہم حجمی شاخ

B \to C

پر مستقل حجم پر

P

بڑھتا ہے، اس لیے

T

کی قدر

T_{B}

سے

T_{C}

تک بڑھتی ہے۔ اسی طرح

C \to D

پر

T

کی قدر

T_{C}

سے

T_{D}

تک، پھر

D \to A

پر

T_{D}

سے

T_{A}

تک گھٹتی ہے۔ لہٰذا گیس اس وقت حرارت وصول کرتی ہے جب اس کا درجہ حرارت کم ترین قدر

T_{A}

سے زیادہ ترین قدر

T_{C}

تک بڑھتا ہے، اور اس وقت حرارت خارج کرتی ہے جب یہ دوبارہ

T_{C}

سے

T_{A}

تک گھٹتا ہے۔ سوال 6۔ حرارت وصول کرنے کے لیے گیس کو ایسے منابع سے مس ہونا چاہیے جو کم از کم اس جتنے گرم ہوں؛ نیم سکونی حد میں ان منابع کا درجہ حرارت گیس کے درجہ حرارت کے پیچھے چلتا ہے۔ لہٰذا گیس کو حرارت دینے والے منابع کے درجہ ہائے حرارت

T_{A}

سے لے کر چکر کے سب سے بلند درجہ حرارت

T_{C}

تک پھیلے ہوتے ہیں۔ اس کے برعکس، گیس کی حرارت لینے والے منابع کے درجہ ہائے حرارت

T_{C}

سے لے کر چکر کے سب سے کم درجہ حرارت

T_{A}

تک پھیلے ہوتے ہیں۔ یعنی الگ ٹھنڈا رخ اور گرم رخ موجود نہیں: گیس بہت گرم منابع سے حرارت لیتی ہے اور بہت ٹھنڈے منابع کو حرارت دیتی ہے۔ یہ چکر ریفریجریٹر کا کام نہیں دے سکتا، کیونکہ ریفریجریٹر کو سب سے کم درجہ ہائے حرارت پر حرارت لینی اور سب سے بلند درجہ ہائے حرارت پر خارج کرنی ہوتی ہے۔ یہ چکر کام وصول کرتا ہے اور اسے پورا کا پورا حرارت کی صورت میں لوٹا دیتا ہے (

Q_{cycle} = - W_{cycle}

)، اور ساتھ ہی مختلف درجہ ہائے حرارت کے منابع کے درمیان حرارت کو نئے سرے سے تقسیم کرتا ہے۔ اس کے برعکس، ریفریجریٹر کو اپنے چکر کے سب سے ٹھنڈے حصوں پر حرارت جذب اور سب سے گرم حصوں پر خارج کرنی چاہیے۔ سبق 6 میں زیرِ مطالعہ، الٹی سمت میں چلائے گئے کارنو چکر میں یہی ہوتا ہے: گیس ٹھنڈے ہم حرارتی خط کے ساتھ حرارت وصول کرتی ہے اور گرم ہم حرارتی خط کے ساتھ خارج کرتی ہے۔ لہٰذا کسی چکر کا کام وصول کرنے والا ہونا اس کے تبریدی چکر ہونے کے لیے کافی نہیں۔ سوال 7۔ یہاں

Δ P = 2, 0 \times 1 0^{5}

Pa اور

Δ V = 1, 0 \times 1 0^{- 2}

^{3}

شاخ A \to B B \to C C \to D D \to A W (J) - 1000 030000 Δ U (J) 15004500 - 4500 - 1500 Q (J) 25004500 - 7500 - 1500

اس طرح $W_{cycle} = + 2000 J$ ، $Q_{cycle} = - 2000 J$ اور $Δ U_{cycle} = 0$ ۔ وصول کردہ حرارت $Q_{in} = 2500 + 4500 = 7000 J$ اور خارج کردہ حرارت $Q_{out} = 7500 + 1500 = 9000 J = Q_{in} + W_{cycle}$ ہے۔ درجہ حرارت کے تناسب $n$ پر منحصر نہیں:

\frac{T _{B}}{T _{A}} = \frac{V _{2}}{V _{1}} = 3, \frac{T _{C}}{T _{A}} = \frac{P _{2} V _{2}}{P _{1} V _{1}} = 9, \frac{T _{D}}{T _{A}} = \frac{P _{2}}{P _{1}} = 3.

اگر چکر کا سب سے کم درجہ حرارت کسی ٹھنڈے خانے کا درجہ حرارت ہوتا، مثلاً $T_{A} = 270 K$ ، تو گیس کو $T_{C} = 9 T_{A} ≃ 2400 K$ تک کے درجہ حرارت والے منابع سے حرارت لینی پڑتی۔ ظاہر ہے کہ ایسا چکر خانے کو ٹھنڈا نہیں کرتا۔