مستطیلی تبریدی چکر

سوال 1۔ نقاط $A$، $B$، $C$ اور $D$ بالترتیب نیچے بائیں، نیچے دائیں، اوپر دائیں اور اوپر بائیں واقع ہیں۔ شاخیں $A\to B$ اور $C\to D$ ہم فشاری ہیں؛ $B\to C$ اور $D\to A$ ہم حجمی ہیں۔ راستہ $A\to B\to C\to D\to A$ خلاف ساعت سمت میں طے ہوتا ہے۔

سوال 2۔ گیس کا وصول کردہ کام یہ ہے

$$W=-\int P_{\mathrm{ext}}\,\mathrm dV.$$

ہم حجمی شاخوں $B\to C$ اور $D\to A$ پر یہ صفر ہے۔ دونوں ہم فشاری شاخوں پر

$$W_{AB}=-P_1(V_2-V_1)=-P_1\Delta V, \qquad W_{CD}=-P_2(V_1-V_2)=P_2\Delta V.$$

لہٰذا

$$\boxed{W_{\mathrm{cycle}} =(-P_1+P_2)\Delta V =\Delta P\,\Delta V>0}.$$

یہ قدر واقعی کلاپیرون مخطط میں مستطیل کا رقبہ ہے۔

سوال 3۔ یک جوہری مثالی گیس کے لیے

$$\Delta U=nc_V\Delta T=\frac32nR\Delta T.$$

ہم فشاری تحول پر حالت کی مساوات $nR\Delta T=P\Delta V_{\mathrm{branche}}$ دیتی ہے۔ نتیجتاً

$$\Delta U_{AB}=\frac32P_1\Delta V, \qquad \Delta U_{CD}=-\frac32P_2\Delta V.$$

ہم حجمی تحول پر یہ $nR\Delta T=V\Delta P_{\mathrm{branche}}$ دیتی ہے، لہٰذا

$$\Delta U_{BC}=\frac32V_2\Delta P, \qquad \Delta U_{DA}=-\frac32V_1\Delta P.$$

آخر میں پہلا اصول $\Delta U=Q+W$، یعنی $Q=\Delta U-W$، مندرجہ ذیل خلاصہ جدول دیتا ہے:

$$\begin{aligned} \begin{array}{c|c|c|c} \text{شاخ} & W & \Delta U & Q=\Delta U-W\\ \hline A\to B & -P_1\Delta V & \frac32P_1\Delta V & \frac52P_1\Delta V\\[2pt] B\to C & 0 & \frac32V_2\Delta P & \frac32V_2\Delta P\\[2pt] C\to D & P_2\Delta V & -\frac32P_2\Delta V & -\frac52P_2\Delta V\\[2pt] D\to A & 0 & -\frac32V_1\Delta P & -\frac32V_1\Delta P \end{array} \end{aligned}$$

سوال 4۔ اندرونی توانائی کی تبدیلیوں کا مجموعہ صفر ہے۔ لہٰذا پہلا اصول لازم کرتا ہے کہ

$$Q_{\mathrm{cycle}}=-W_{\mathrm{cycle}}=-\Delta P\,\Delta V<0.$$

مجموعی طور پر گیس کام وصول کرتی ہے: یہ تبریدی چکر ہے۔ یہ $A\to B$ اور $B\to C$ پر حرارت وصول کرتی ہے۔ ان دونوں شاخوں پر یہ ان سرد حرارتی ذخائر سے حرارت کھینچتی ہے جن سے اسے اتصال میں رکھا جاتا ہے؛ اس لیے ٹھنڈا گیس کو نہیں بلکہ ان بیرونی ذخائر کو کیا جاتا ہے، مثلاً یخچال کے خانے اور غذاؤں کو۔

$C\to D$ اور $D\to A$ پر گیس اس کے برعکس گرم حرارتی ذخائر، مثلاً کمرے کی ہوا، کو حرارت دیتی ہے۔ ان ذخائر کی وصول کردہ کل حرارت کو $Q_{\mathrm{chaud}}>0$ لکھنے پر

$$Q_{\mathrm{chaud}} =-(Q_{CD}+Q_{DA}) =\frac52P_2\Delta V+\frac32V_1\Delta P.$$

یوں چکر اپنے وصول کردہ کام کی بدولت حرارت کو سرد ذخائر سے گرم ذخائر تک منتقل کرتا ہے۔

سوال 5۔ گیس کی جذب کردہ حرارت یہ ہے

$$Q_f =Q_{AB}+Q_{BC} =\frac52P_1\Delta V+\frac32V_2\Delta P.$$

اس سے حاصل ہوتا ہے

$$\boxed{ \mathrm{COP} =\frac{\frac52P_1\Delta V+\frac32V_2\Delta P} {\Delta P\,\Delta V}. }$$

سوال 6۔ COP لگائے گئے کام کے مقابلے میں حاصل شدہ تبریدی فائدہ ناپتا ہے: $k$ کے برابر COP کا مطلب ہے کہ فراہم کردہ کام کا ہر جول سرد حرارتی ذخائر سے $k$ جول حرارت کھینچنے دیتا ہے۔

حرارتی انجن کی کارکردگی کے برخلاف COP، موصولہ توانائی کے کام میں تبدیل ہونے والے حصے کی پیمائش نہیں ہے۔ گیس کام $W_{\mathrm{in}}$ اور سرد ذخائر سے کھینچی گئی حرارت $Q_f$ دونوں وصول کرتی ہے، پھر ان کا مجموعہ گرم ذخائر کو خارج کرتی ہے:

$$\boxed{Q_{\mathrm{chaud}}=Q_f+W_{\mathrm{in}}}.$$

لہٰذا $Q_f$ کا $W_{\mathrm{in}}$ سے کم ہونا ضروری نہیں، اور COP توانائی کی بقا کی خلاف ورزی کیے بغیر بخوبی 1 سے زیادہ ہو سکتا ہے۔

سوال 7۔ یہاں $\Delta P=2{,}0\times10^5$ Pa اور $\Delta V=1{,}0\times10^{-2}$ m$^3$:

$$\begin{aligned} \begin{array}{c|r|r|r} \text{شاخ} & W\ (\mathrm J) & \Delta U\ (\mathrm J) & Q\ (\mathrm J)\\ \hline A\to B & -1000 & 1500 & 2500\\ B\to C & 0 & 4500 & 4500\\ C\to D & 3000 & -4500 & -7500\\ D\to A & 0 & -1500 & -1500 \end{array} \end{aligned}$$

لہٰذا $W_{\mathrm{cycle}}=+2000$ J، $Q_{\mathrm{cycle}}=-2000$ J اور $\Delta U_{\mathrm{cycle}}=0$۔ جذب شدہ حرارت یہ ہے

$$Q_f=2500+4500=7000\ \mathrm{J},$$

جبکہ گرم حرارتی ذخائر کو دی گئی حرارت یہ ہے

$$Q_{\mathrm{chaud}}=7500+1500=9000\ \mathrm{J} =Q_f+W_{\mathrm{cycle}}.$$

چنانچہ تبریدی ضریبِ کارکردگی یہ ہے

$$\mathrm{COP}=\frac{7000}{2000}=3{,}5.$$