حرارتی حرکیات کی حل شدہ مشق

درسی مشق: ابتدائی تحولات

مشق 9 · سبق 5 — مثالی گیس پر اطلاق

درسی مشق
یک جوہری مثالی گیس
ہم حجمی تحول
ہم حرارتی تحول
ہم فشاری تحول
اندرونی توانائی
کام
حرارت
پہلا اصول

سوال

ابتدا میں حالت $A(P_A,V_A,T_i)$ میں موجود یک جوہری مثالی گیس کے $n$ مول پر غور کریں۔ ہم $A$ سے شروع ہونے والے تین نیم سکونی تحولات کا الگ الگ مطالعہ کرتے ہیں، جہاں $T_f>T_i$ ہے:

$A\to B$ : $T_i$ سے $T_f$ تک ہم حجمی گرمائش؛
$A\to C$ : $T_i$ پر $V_A$ سے $V_A/2$ تک ہم حرارتی انضغاط؛
$A\to D$ : $T_i$ سے $T_f$ تک ہم فشاری گرمائش۔

ہم بینکار کی علامتی قرارداد اپناتے ہیں: گیس کو موصول ہونے والی منتقلیاں مثبت ہیں۔

تینوں تحولات کو ایک ہی کلاپیرون مخطط $(P,V)$ میں دکھائیں اور حالتوں $B$ ، $C$ اور $D$ کو جبری طور پر متعین کریں۔
تینوں تحولات میں سے ہر ایک کے لیے $W$ ، $\Delta U$ اور $Q$ جبری طور پر معلوم کریں۔
توانائی کی منتقلیوں کی علامتوں پر تبصرہ کریں۔
عددی اطلاق: $n=1\ \mathrm{mol}$ ، $T_i=300\ \mathrm{K}$ ، $T_f=500\ \mathrm{K}$ اور $R=8{,}314\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}$ ۔

اشارہ

یک جوہری مثالی گیس کے لیے

\Delta U=\frac32nR\Delta T

W=-\int P\,\mathrm{d}V

اور پہلا اصول

\Delta U=Q+W

استعمال کریں۔

تفصیلی حل

حل

سوال 1۔ مثالی گیس کی مساوات سے ملتا ہے

\begin{aligned} \begin{array}{c|c|c|c} \text{حالت} & P & V & T \\ \hline A & P_A & V_A & T_i \\ B & P_A\dfrac{T_f}{T_i} & V_A & T_f \\[4pt] C & 2P_A & \dfrac{V_A}{2} & T_i \\[4pt] D & P_A & V_A\dfrac{T_f}{T_i} & T_f \end{array} \end{aligned}

مخطط $(P,V)$ میں $A\to B$ ایک عمودی خط ہے، $A\to C$ ہم حرارتی منحنی $T_i$ پر بائیں طرف جاتا ہے اور $A\to D$ دائیں طرف ایک افقی خط ہے۔

سوال 2۔

ہم حجمی گرمائش $A\to B$ ۔ چونکہ $\mathrm{d}V=0$ ،

W_{AB}=0, \qquad \Delta U_{AB}=\frac32nR(T_f-T_i), \qquad Q_{AB}=\frac32nR(T_f-T_i).

ہم حرارتی انضغاط $A\to C$ ۔ درجۂ حرارت مستقل ہے، لہٰذا $\Delta U_{AC}=0$ ۔ نیز،

W_{AC} =-\int_{V_A}^{V_A/2}\frac{nRT_i}{V}\,\mathrm{d}V =nRT_i\ln2, \qquad Q_{AC}=-nRT_i\ln2.

ہم فشاری گرمائش $A\to D$ ۔ مستقل دباؤ پر $P_A(V_D-V_A)=nR(T_f-T_i)$ ، لہٰذا

W_{AD}=-nR(T_f-T_i), \qquad \Delta U_{AD}=\frac32nR(T_f-T_i), \qquad Q_{AD}=\frac52nR(T_f-T_i).

سوال 3۔ ہم حجمی تحول میں موصول ہونے والی پوری حرارت اندرونی توانائی بڑھاتی ہے۔ ہم حرارتی انضغاط کے دوران گیس کام وصول کرتی ہے اور عین اتنی ہی توانائی حرارت کی صورت میں خارج کرتی ہے۔ ہم فشاری تحول میں گیس حرارت وصول کرتی ہے، اپنی اندرونی توانائی بڑھاتی ہے اور پھیلتے ہوئے کام فراہم کرتی ہے۔

سوال 4۔ جب $T_f-T_i=200\ \mathrm{K}$ ہو:

\begin{aligned} \begin{array}{c|r|r|r} \text{تحول} & W\ (\mathrm{kJ}) & \Delta U\ (\mathrm{kJ}) & Q\ (\mathrm{kJ}) \\ \hline \text{ہم حجمی }A\to B & 0 & +2{,}49 & +2{,}49 \\ \text{ہم حرارتی }A\to C & +1{,}73 & 0 & -1{,}73 \\ \text{ہم فشاری }A\to D & -1{,}66 & +2{,}49 & +4{,}16 \end{array} \end{aligned}