حرارتی حرکیات کی حل شدہ مشق

مستقل دباؤ پر گرمائش: cPc_P کی دریافت

مشق 13 · سبق 5 — مثالی گیس پر اطلاق

  • حرارتی گنجائش
  • مستقل دباؤ
  • مائر کا تعلق
  • ہم فشاری گرمائش
  • مثالی گیس

سوال

مولی حرارتی گنجائش cVc_V رکھنے والی مثالی گیس کا ایک مول ابتدائی حجم V0V_0 کے سلنڈر میں بند ہے۔ سلنڈر کو ایک بے رگڑ متحرک اور اڈیابیٹک پسٹن بند کرتا ہے، جس پر مستقل بیرونی دباؤ P0P_0 وارد ہوتا ہے۔ گیس کے اندر موجود ایک برقی مزاحم اسے نیم سکونی انداز میں حرارت Q>0Q>0 فراہم کرتا ہے۔

  1. آلے کا سادہ خاکہ بنائیں۔ گیس، پسٹن، مزاحم، بیرونی دباؤ P0P_0 اور توانائی کے تبادلے دکھائیں۔
  2. عددی قدریں استعمال کیے بغیر ابتدائی درجۂ حرارت T0T_0 کا اظہار لکھیں، پھر آخری حالت (Pf,Vf,Tf)(P_f,V_f,T_f)، گیس کا وصول کردہ کام WW اور اس کی اندرونی توانائی میں تبدیلی ΔU\Delta U معلوم کریں۔
  3. اس سے مستقل دباؤ پر مولی حرارتی گنجائش cP=(δQ/dT)Pc_P=(\delta Q/\mathrm{d}T)_P کو cVc_V اور RR کی صورت میں اخذ کریں۔
  4. یک جوہری مثالی گیس کے لیے عددی اطلاق: cV=32Rc_V=\frac32R، V0=25 LV_0=25\ \mathrm{L}، P0=1,0×105 PaP_0=1{,}0\times10^5\ \mathrm{Pa}، Q=1000 JQ=1000\ \mathrm{J} اور R=8,314 J mol−1 K−1R=8{,}314\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}۔

اشارہ
تحول ہم فشاری ہے: W=−P0 ΔVW=-P_0\,\Delta V۔ مثالی گیس کے ایک مول کے لیے P0 ΔV=R ΔTP_0\,\Delta V=R\,\Delta T۔ ان تعلقات کو پہلے اصول میں رکھیں۔

تفصیلی حل

حل
سوال 1۔ خاکے میں متحرک پسٹن سے بند سلنڈر کے اندر گیس دکھائی جانی چاہیے۔ سلنڈر کے اندر ایک تیر مزاحم کی فراہم کردہ حرارت QQ کو ظاہر کرتا ہے۔ بیرونی دباؤ P0P_0 پسٹن پر وارد ہوتا ہے، اور گیس کے پھیلنے پر پسٹن اوپر جاتا ہے۔

سوال 2۔ ابتدائی حالت کی مساوات دیتی ہے

T0=P0V0R.T_0=\frac{P_0V_0}{R}.

دباؤ مستقل رہتا ہے، اس لیے Pf=P0P_f=P_0۔ مزید یہ کہ W=−P0ΔV=−RΔTW=-P_0\Delta V=-R\Delta T۔ تب پہلا اصول دیتا ہے

ΔU=cVΔT=Q+W=Q−RΔT,\Delta U=c_V\Delta T=Q+W=Q-R\Delta T,

جس سے

ΔT=QcV+R.\Delta T=\frac{Q}{c_V+R}.

لہٰذا آخری حالت یہ ہے

Pf=P0,Tf=T0+QcV+R,Vf=V0+RQP0(cV+R).P_f=P_0,\qquad T_f=T_0+\frac{Q}{c_V+R},\qquad V_f=V_0+\frac{RQ}{P_0(c_V+R)}.

آخر میں

W=−RQcV+R,ΔU=cVQcV+R.W=-\frac{RQ}{c_V+R}, \qquad \Delta U=\frac{c_VQ}{c_V+R}.

سوال 3۔ چونکہ مستقل دباؤ پر Q=(cV+R)ΔTQ=(c_V+R)\Delta T،

cP=cV+R.c_P=c_V+R.

یہ مائر کا تعلق ہے۔

سوال 4۔ یک جوہری گیس کے لیے

cP=52R≃20,8 J mol−1 K−1.c_P=\frac52R\simeq20{,}8\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.

حاصل ہوتا ہے

T0≃301 K,ΔT≃48,1 K,Tf≃349 K,Vf=29,0 L.T_0\simeq301\ \mathrm{K},\qquad \Delta T\simeq48{,}1\ \mathrm{K},\qquad T_f\simeq349\ \mathrm{K},\qquad V_f=29{,}0\ \mathrm{L}.

آخر میں

W=−400 J,ΔU=600 J.W=-400\ \mathrm{J},\qquad \Delta U=600\ \mathrm{J}.