سوال

یہ مشق محض ایک معروف کلاسیکی مسئلہ نہیں، بلکہ عکوس اور غیر عکوس تحول کے درمیان ایک بنیادی فرق دکھانے کے لیے بھی نہایت اہم ہے (سبق 6 بھی دیکھیے)۔

مستقل حرارتی گنجائشوں اور نسبت $\gamma=c_P/c_V>1$ والی مثالی گیس کے $n$ مول ایک عمودی، حرارت بند سلنڈر میں قید ہیں جس کا رقبۂ مقطع $\mathcal S$ ہے۔ سلنڈر کو نہایت کمیت، حرارت بند اور بے رگڑ متحرک پسٹن بند کرتا ہے۔ باہر کا کرۂ ہوا پسٹن کی بالائی سطح پر فضائی دباؤ $P_0$ ڈالتا ہے۔ ابتدائی توازن میں گیس کا دباؤ بھی $P_0$ ہے اور اس کی حالت

A=(P_0,V_0,T_0).

کل کمیت $M$ کا ایک اضافی بوجھ دستیاب ہے۔ اسے پورا پسٹن پر رکھنے سے بیرونی دباؤ

P_1=P_0+\frac{Mg}{\mathcal S}=xP_0, \qquad x>1.

ہو جاتا ہے۔ دو تجربوں کا موازنہ کیا جاتا ہے: یا تو کمیت $M$ کو بہت سی چھوٹی کمیتوں میں تقسیم کر کے ایک ایک کر کے رکھا جاتا ہے اور ہر نئے توازن کا انتظار کیا جاتا ہے؛ یا پوری کمیت $M$ ایک ہی بار رکھی جاتی ہے۔ پھر بوجھ بھی اسی انداز میں ہٹایا جاتا ہے: ریت کا ایک ایک دانہ، یا سب کچھ ایک ہی بار۔

دونوں تجربے ایک ہی ابتدائی حالت A سے شروع ہوتے ہیں، جو درمیان میں دکھائی گئی ہے: اس وقت پسٹن صرف فضائی دباؤ P_0 کے زیر اثر ہے۔ بائیں طرف کل کمیت M کا اضافی بوجھ ریت کے ایک ایک دانے کی صورت میں رکھا جاتا ہے، اس لیے P_ ext بتدریج بڑھتا ہے؛ اسی طرح ہٹانے پر یہی راستہ الٹی سمت میں طے ہوتا ہے۔ دائیں طرف یہی کمیت M ایک ہی بار رکھی جاتی ہے، لہٰذا P_ ext اچانک P_0 سے P_1 ہو جاتا ہے۔ انضغاط کے دونوں تجربوں میں P_1=P_0+Mg/ S=xP_0۔ — شکل 1. دونوں تجربے ایک ہی ابتدائی حالت $A$ سے شروع ہوتے ہیں، جو درمیان میں دکھائی گئی ہے: اس وقت پسٹن صرف فضائی دباؤ $P_0$ کے زیر اثر ہے۔ بائیں طرف کل کمیت $M$ کا اضافی بوجھ ریت کے ایک ایک دانے کی صورت میں رکھا جاتا ہے، اس لیے $P_{\mathrm{ext}}$ بتدریج بڑھتا ہے؛ اسی طرح ہٹانے پر یہی راستہ الٹی سمت میں طے ہوتا ہے۔ دائیں طرف یہی کمیت $M$ ایک ہی بار رکھی جاتی ہے، لہٰذا $P_{\mathrm{ext}}$ اچانک $P_0$ سے $P_1$ ہو جاتا ہے۔ انضغاط کے دونوں تجربوں میں $P_1=P_0+Mg/\mathcal S=xP_0$ ۔

اضافی بوجھ نہایت آہستہ شامل کیا جاتا ہے، اس لیے بیرونی دباؤ دھیرے دھیرے $P_0$ سے $P_1$ ہوتا ہے۔ واضح کریں کہ ہر لمحے گیس کا دباؤ $P$ بیرونی دباؤ $P_{\mathrm{ext}}$ کے برابر کیوں ہے۔ گیس کی پے در پے حالتوں کو ملانے کے لیے کون سا قانون استعمال کیا جا سکتا ہے؟ $P_B/P_0$ ، $T_B/T_0$ اور $V_B/V_0$ کو $x$ اور $\gamma$ کے لحاظ سے معلوم کریں۔
اب حالت $B$ سے شروع کر کے اضافی بوجھ نہایت آہستہ، ریت کا ایک ایک دانہ، ہٹائیں حتیٰ کہ بیرونی دباؤ پھر $P_0$ ہو جائے۔ پچھلے سوال کا یہی قانون استعمال کر کے دکھائیں کہ گیس عین اپنی ابتدائی حالت $A$ میں لوٹ آتی ہے۔
دوبارہ $A$ سے شروع کریں اور اس بار پوری کمیت $M$ ایک ہی بار رکھیں: بیرونی دباؤ اچانک مستقل قدر $P_1$ اختیار کرتا ہے۔ آخری حالت $B'$ اور $W_{AB'}$ ، $Q_{AB'}$ ، $\Delta U_{AB'}$ مکمل طور پر معلوم کریں۔
پہلے $\gamma=5/3$ اور $x=2$ کی مثال میں $T_{B'}$ کا $T_B$ سے عددی موازنہ کریں۔ پھر ہر $\gamma>1$ اور $x>1$ کے لیے یہ موازنہ تحلیلی طور پر ثابت کریں اور $V_{B'}$ کو $V_B$ سے ملائیں۔ کون سا انضغاط گیس کو زیادہ گرم کرتا ہے اور کون سا زیادہ دباتا ہے؟
$B'$ سے پورا اضافی بوجھ اچانک ہٹا دیا جاتا ہے، لہٰذا بیرونی دباؤ پھر فضائی دباؤ $P_0$ ہو جاتا ہے۔ آخری حالت $B"$ معلوم کریں اور دکھائیں کہ $T_{B"}$ اور $V_{B"}$ اپنی ابتدائی قدروں سے بڑے ہیں یا چھوٹے۔
مکمل چکر $A\to B'\to B"$ کا توانائی حساب کریں۔ وضاحت کریں کہ سبق 6 اس موازنے میں کیا اضافہ کرے گا۔

اشارہ

اچانک تحول کے لیے

W=-P_{\mathrm{ext}}(V_f-V_i)

استعمال کریں اور حالت کی مساوات صرف ابتدائی اور آخری توازنی حالتوں پر لگائیں۔

B

اور

B'

کے موازنے کے لیے

T_{B'}/T_B

کے لوگارتھم کا مطالعہ کیا جا سکتا ہے۔

تفصیلی حل

حل

یاد رہے کہ

c_V=\frac{R}{\gamma-1}

۔

سوال 1۔ اضافی بوجھ کو اتنی چھوٹی کمیتوں میں بانٹا گیا ہے کہ اگلی کمیت رکھنے سے پہلے ہر نیا توازن قائم ہو جاتا ہے۔ یوں گیس توازنی حالتوں کے مسلسل سلسلے سے گزرتی ہے؛ تحول نیم سکونی ہے۔ پسٹن کی کمیت نہایت کم اور رگڑ صفر ہونے کے باعث ہر لمحے میکانی توازن $P\mathcal S=P_{\mathrm{ext}}\mathcal S$ ، یعنی $P=P_{\mathrm{ext}}$ لازم کرتا ہے۔ دیواریں حرارت بند ہیں، اس لیے $\delta Q=0$ ۔ ان حالات میں لاپلاس کے قوانین استعمال کیے جا سکتے ہیں۔ $A$ اور $B$ کے درمیان دو مفید صورتیں ہیں

P_0V_0^\gamma=P_BV_B^\gamma, \qquad T_0^\gamma P_0^{1-\gamma}=T_B^\gamma P_B^{1-\gamma}.

چونکہ $P_B=P_1=xP_0$ ، پہلی نسبت براہ راست $V_B/V_0=x^{-1/\gamma}$ اور دوسری $T_B/T_0=x^{(\gamma-1)/\gamma}$ دیتی ہے۔ آخرکار $P_B/P_0=x$ ، $T_B/T_0=x^{(\gamma-1)/\gamma}$ اور $V_B/V_0=x^{-1/\gamma}$ ۔

سوال 2۔ بوجھ بتدریج ہٹاتے وقت گیس باہر کے ساتھ میکانی توازن میں رہتی اور اسی لاپلاسی اڈیابیٹ کو الٹی سمت میں طے کرتی ہے۔ آخر میں $P_f=P_0$ ۔ لاپلاس کی نسبتیں دیتی ہیں

T_f =T_B\left(\frac{P_0}{P_1}\right)^{(\gamma-1)/\gamma} =T_0x^{(\gamma-1)/\gamma}x^{-(\gamma-1)/\gamma} =T_0,

اور

V_f =V_B\left(\frac{P_1}{P_0}\right)^{1/\gamma} =V_0x^{-1/\gamma}x^{1/\gamma} =V_0.

پس گیس عین حالت $A=(P_0,V_0,T_0)$ حاصل کر لیتی ہے۔ تحول دونوں سمتوں میں توازنی حالتوں کے اسی سلسلے سے گزر سکتا ہے؛ اسی لیے اسے عکوس کہتے ہیں۔

سوال 3۔ لاپلاس کے قوانین استعمال نہیں کرنے چاہییں، کیونکہ اچانک تحول کے دوران گیس توازنی حالتوں کے سلسلے سے نہیں گزرتی۔ صرف مستقل بیرونی دباؤ $P_1$ کام میں شامل ہے: $W_{AB'}=-P_1(V_{B'}-V_0)$ ۔ آخری توازن پر $P_{B'}=P_1$ ۔ $P_0V_0=nRT_0$ ، $P_1V_{B'}=nRT_{B'}$ ، $Q_{AB'}=0$ اور $\Delta U_{AB'}=nc_V(T_{B'}-T_0)$ استعمال کرنے سے پہلا اصول دیتا ہے

T_{B'}=T_0\frac{1+(\gamma-1)x}{\gamma}.

لکھیں

\theta=\frac{1+(\gamma-1)x}{\gamma}.

تب

P_{B'}=xP_0, \qquad T_{B'}=\theta T_0, \qquad V_{B'}=\frac{\theta}{x}V_0.

سوال 4۔ پہلے $\gamma=5/3$ اور $x=2$ کی مثال لیں۔ تدریجی انضغاط $T_B/T_0=2^{2/5}\simeq1{,}32$ دیتا ہے، جبکہ اچانک انضغاط

T_{B'}/T_0=\theta=[1+(2/3)\times2]/(5/3)=7/5=1{,}40.

اس مثال میں اچانک انضغاط گیس کو زیادہ گرم کرتا ہے۔ اب ثابت کریں کہ نتیجہ عام ہے۔ لکھیں

f(x)=\ln\!\left(\frac{T_{B'}}{T_B}\right) =\ln\!\left(\frac{1+(\gamma-1)x}{\gamma}\right) -\frac{\gamma-1}{\gamma}\ln x.

$f(1)=0$ اور

f'(x) =\frac{\gamma-1}{1+(\gamma-1)x} -\frac{\gamma-1}{\gamma x} =\frac{(\gamma-1)(x-1)} {\gamma x\,[1+(\gamma-1)x]}

$\gamma>1$ اور $x>1$ پر مخرج کے تمام عوامل مثبت اور $f'(x)>0$ ہیں۔ لہٰذا $f(x)>f(1)=0$ ، یعنی $T_{B'}/T_B>1$ اور $T_{B'}>T_B$ ۔ دونوں حالتوں کا دباؤ $P_1$ یکساں ہے، اس لیے مثالی گیس کی مساوات $V_{B'}>V_B$ بھی لازم کرتی ہے۔ اچانک انضغاط گیس کو زیادہ گرم مگر تدریجی انضغاط سے کم دباتا ہے۔

سوال 5۔ اضافی بوجھ اچانک ہٹانے سے بیرونی دباؤ $P_1$ سے $P_0=P_1/x$ ہو جاتا ہے۔ سوال 3 کے حساب میں دباؤ کی نسبت $x$ کو اس کے معکوس $1/x$ سے بدلنے پر

\frac{T_{B"}}{T_{B'}} =\frac{1+(\gamma-1)P_0/P_1}{\gamma} =\frac{1+(\gamma-1)/x}{\gamma}.

لکھیں

\phi=\frac{1+(\gamma-1)/x}{\gamma},

تو

P_{B"}=P_0, \qquad T_{B"}=\theta\phi\,T_0, \qquad V_{B"}=\theta\phi\,V_0.

اور

\theta\phi-1 =\frac{\gamma-1}{\gamma^2} \left(x+\frac1x-2\right).

زیر مطالعہ حالت میں $x>1$ ، لہٰذا $x>0$ اور $x+1/x-2=(x-1)^2/x>0$ ۔ چونکہ $\gamma>1$ ، اس لیے $\theta\phi-1>0$ ۔ نتیجتاً

\boxed{T_{B"}>T_0}, \qquad \boxed{V_{B"}>V_0}.

بیرونی دباؤ کو ابتدائی قدر پر لوٹانے کے بعد بھی گیس حالت $A$ میں نہیں لوٹتی۔ یہ فرق غیر عکوسیت کی پہلی علامت ہے: بیرونی قید کو ابتدائی قدر پر لوٹانا نظام کو ابتدائی حالت میں لوٹانے کے لیے کافی نہیں۔

سوال 6۔ اچانک پھیلاؤ اڈیابیٹک ہے، لہٰذا پورے آنے جانے پر

Q_{\mathrm{tot}}=0, \qquad W_{\mathrm{tot}}=\Delta U_{\mathrm{tot}} =nc_VT_0(\theta\phi-1)>0.

بیرونی عمل دباؤ کو ابتدائی قدر پر واپس لاتے ہیں، مگر گیس کو خالص کام مل چکا ہے اور وہ زیادہ گرم اور زیادہ پھیلی ہوئی رہتی ہے۔ سبق 6 انہی حالتوں سے دکھائے گا کہ عکوس انضغاط اینٹروپی پیدا نہیں کرتا، جبکہ دونوں اچانک تحولات میں سے ہر ایک اینٹروپی پیدا کرتا ہے۔