پولی ٹروپک تحول $PV^k=\text{مستقل}$ کا کام

سوال 1۔ پولی ٹروپک تعلق یوں لکھا جاتا ہے

$$PV^k=C, \qquad P(V)=CV^{-k}, \qquad C=P_AV_A^k=P_BV_B^k.$$

بینکار کی علامتی قرارداد کے مطابق گیس کا وصول کردہ کام یہ ہے

$$W_{A\to B} =-\int_{V_A}^{V_B}P(V)\,\mathrm{d}V =-C\int_{V_A}^{V_B}V^{-k}\,\mathrm{d}V.$$

$k\neq1$ کے لیے $V^{-k}$ کا ایک غیر معین تکمل $V^{1-k}/(1-k)$ ہے۔ لہٰذا

$$W_{A\to B} =-\frac{C}{1-k} \left(V_B^{1-k}-V_A^{1-k}\right) =\frac{CV_A^{1-k}-CV_B^{1-k}}{1-k}.$$

اور

$$CV_A^{1-k}=P_AV_A, \qquad CV_B^{1-k}=P_BV_B.$$

آخرکار

$$\boxed{ W_{A\to B} =\frac{P_AV_A-P_BV_B}{1-k} =\frac{P_BV_B-P_AV_A}{k-1} }.$$

سوال 2۔ $k=0$ کے لیے تعلق $PV^0=C$، $P=C$ بن جاتا ہے: تحول ہم فشاری ہے۔ چونکہ $P_A=P_B=P$،

$$W_{A\to B} =P_AV_A-P_BV_B =P(V_A-V_B) =-P(V_B-V_A) =-P\Delta V.$$

یوں ہم فشاری کام کا براہ راست اظہار دوبارہ مل جاتا ہے۔

سوال 3۔ ہم حجمی تحول کے لیے ہر لمحے $V_B=V_A$ اور $\mathrm{d}V=0$۔ نتیجتاً

$$W_{A\to B}=-\int_A^B P\,\mathrm{d}V=0.$$

کوئی غیر معمولی ہم حجمی تحول $k$ کی کسی محدود قدر سے مطابقت نہیں رکھتا: اگر $V$ مستقل ہو تو تعلق $PV^k=\text{مستقل}$، $P$ کو بھی مستقل قرار دے گا۔ ہم حجمی تحول کو صرف باقاعدہ حد $k\to\infty$ کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔

سوال 4۔ $k=1$ کے لیے تکملی تفاعل $1/V$ کے متناسب ہے: اس کا غیر معین تکمل اب قوت نہیں بلکہ لوگارتھم ہے۔ اس لیے تکمل الگ سے دوبارہ لینا ضروری ہے۔ پولی ٹروپک تعلق بن جاتا ہے

$$PV=C.$$

بند مثالی گیس کے لیے $PV=nRT$؛ لہٰذا درجۂ حرارت مستقل اور $C=nRT$ ہے۔ تب وصول کردہ کام یہ ہے

$$W_{A\to B} =-\int_{V_A}^{V_B}\frac{nRT}{V}\,\mathrm{d}V =-nRT\ln\!\left(\frac{V_B}{V_A}\right).$$

انضغاط کے لیے $V_B/V_A<1$، اس لیے لوگارتھم منفی اور حسب توقع $W_{A\to B}>0$ ہے۔