سوال

مستقل مولی حرارتی گنجائش $c_V$ رکھنے والی مثالی گیس کے $n$ مول نیم سکونی چکر $A\to B\to C\to A$ طے کرتے ہیں، جہاں

A=(P_0,V_0), \qquad B=(2P_0,V_0), \qquad C=(P_0,2V_0).

شاخ $A\to B$ ہم حجمی ہے، شاخ $B\to C$ مستوی $(P,V)$ میں ایک خطی قطعہ ہے اور شاخ $C\to A$ ہم فشاری ہے۔

قوتی چکر کے لیے کارکردگی کی تعریف یہ ہے

\eta=\frac{W_{\mathrm{fourni}}}{Q_{\mathrm{in}}} =\frac{-W_{\mathrm{cycle}}}{Q_{\mathrm{in}}},

جہاں $Q_{\mathrm{in}}$ چکر کے دوران گیس کو موصول ہونے والی حرارت کی ان ابتدائی منتقلیوں $\delta Q>0$ کا مجموعہ ہے۔

چکر کو کلاپیرون مخطط میں دکھائیں اور اس کی حرکت کی سمت بتائیں۔ کیا یہ قوتی چکر ہے یا تبریدی چکر؟
$B$ کو $C$ سے ملانے والے خط کی مساوات $P(V)$ معلوم کریں۔
$T_0=P_0V_0/(nR)$ رکھتے ہوئے درجۂ حرارت $T_A$ ، $T_B$ اور $T_C$ معلوم کریں۔ یہ شاخ ہم حرارتی نہ ہونے کے باوجود $\Delta U_{B\to C}$ صفر کیوں ہے؟
تینوں شاخوں اور پھر پورے چکر پر وصول کردہ کام نکالیں۔ تکون کے رقبے سے کل کام کی مطلق قدر دوبارہ حاصل کریں۔
ہر شاخ پر $\Delta U$ اور $Q$ کو صرف $P_0$ ، $V_0$ اور $c_V$ کی صورت میں نکالیں، پھر تصدیق کریں کہ $\Delta U_{\mathrm{cycle}}=0$ اور $Q_{\mathrm{cycle}}=-W_{\mathrm{cycle}}$ ۔
$a = \frac{c_V}{R} >1$ اور $x = V/V_0$ رکھ کر دکھائیں کہ شاخ $B\to C$ پر ایک نقطے پر $\delta Q$ کی علامت بدلتی ہے۔ اس سے $Q_{\mathrm{in}}$ اور پھر اس چکر کی کارکردگی $\eta$ اخذ کریں۔ یک جوہری مثالی گیس، جس کے لیے $c_V=\frac32R$ ہے، کی قدر دیں۔

اشارہ

B\to C

پر

P(V)=aV+b

فرض کریں اور اسے

B

اور

C

سے گزاریں۔ اندرونی توانائی کی تبدیلی نکالنے کے لیے صرف شاخ کے دونوں سروں کے درجۂ حرارت درکار ہیں۔ سوال 6 کے لیے پہلے اصول کی تفرقی صورت استعمال کریں۔

تفصیلی حل

حل

سوالات 1—2۔ چکر ساعت وار سمت میں طے ہوتا ہے: یہ قوتی چکر ہے۔ خط

B\to C

کی مساوات یہ ہے

P(V)=P_0\left(3-\frac{V}{V_0}\right).

کلاپیرون مخطط میں تکونی چکر A B C A۔ — شکل 1. کلاپیرون مخطط میں تکونی چکر $A\to B\to C\to A$ ۔

سوال 3۔ حالت کی مساوات سے ملتا ہے

T_A=T_0, \qquad T_B=T_C=2T_0.

$B\to C$ کے دوران درجۂ حرارت بدلتا ہے، مگر دونوں سروں پر ایک ہی قدر اختیار کرتا ہے۔ چونکہ مادے کی مقدار مقرر ہونے پر مثالی گیس کی اندرونی توانائی صرف درجۂ حرارت پر منحصر ہے، اس لیے $\Delta U_{B\to C}=0$ ۔

سوال 4۔ وصول کردہ کام یہ ہیں

W_{AB}=0, \qquad W_{BC}=-\int_{V_0}^{2V_0}P(V)\,dV=-\frac32P_0V_0, \qquad W_{CA}=-P_0 \Delta V = P_0V_0.

لہٰذا

\boxed{W_{\mathrm{cycle}}=-\frac12P_0V_0}.

اس کی علامت منفی ہے: چکر کے دوران گیس کام فراہم کرتی ہے۔ اس کی مطلق قدر واقعی تکون کا رقبہ ہے، جس کی بنیاد $V_0$ اور ارتفاع $P_0$ ہے؛ قائمہ تکون کے لیے فارمولا $A=\frac12\text{بنیاد}\times\text{ارتفاع}$ ہے۔

سوال 5۔ چونکہ $nRT_0=P_0V_0$ ،

\begin{aligned} \begin{array}{c|c|c|c} \text{شاخ} & W & \Delta U & Q=\Delta U-W\\ \hline A\to B & 0 & \dfrac{c_V}{R}P_0V_0 & \dfrac{c_V}{R}P_0V_0\\[4pt] B\to C & -\dfrac32P_0V_0 & 0 & \dfrac32P_0V_0\\[4pt] C\to A & P_0V_0 & -\dfrac{c_V}{R}P_0V_0 & -\left(\dfrac{c_V}{R}+1\right)P_0V_0 \end{array} \end{aligned}

تینوں شاخوں کا مجموعہ لینے سے ملتا ہے

\boxed{ \Delta U_{\mathrm{cycle}}=0, \qquad Q_{\mathrm{cycle}}=\frac12P_0V_0=-W_{\mathrm{cycle}}. }

سوال 6۔ $a=c_V/R$ اور $x=V/V_0$ رکھیں۔ شاخ $B\to C$ پر $P=P_0(3-x)$ اور $T=T_0(3x-x^2)$ ہیں۔ پہلا اصول دیتا ہے

\delta Q=\mathrm{d}U-\delta W =P_0V_0\left[3(a+1)-(2a+1)x\right]\mathrm{d}x.

یہ ابتدائی حرارت اس وقت صفر ہوتی ہے جب

x_\star=\frac{3(a+1)}{2a+1}.

جب $a>1$ ہو تو $1<x_\star<2$ : گیس $B$ سے افقی محدد $x_\star$ والے نقطے تک حرارت وصول کرتی ہے، پھر $C$ تک حرارت خارج کرتی ہے۔ یہ $A\to B$ پر حرارت $Q_{AB}=aP_0V_0$ بھی وصول کرتی ہے۔ نتیجتاً

\begin{aligned} Q_{\mathrm{in}} &=P_0V_0\left[ a+\int_1^{x_\star}\left(3(a+1)-(2a+1)x\right)\mathrm{d}x \right]\\ &=P_0V_0\left[a+\frac{(a+2)^2}{2(2a+1)}\right]. \end{aligned}

چنانچہ کارکردگی یہ ہے

\boxed{ \eta =\frac{\frac12P_0V_0}{Q_{\mathrm{in}}} =\frac{2a+1}{5a^2+6a+4}, \qquad a=\frac{c_V}{R}. }

یک جوہری مثالی گیس کے لیے $a=\frac32$ ، لہٰذا

\eta=\frac{16}{97}\simeq16{,}5\,\%.