درسی مشق: لاپلاس کے قوانین

سوال 2۔ اڈیابیٹک تحول میں $\delta Q = 0$، لہٰذا $\mathrm{d}U = \delta W$، یعنی $n c_V\,\mathrm{d}T = -P\,\mathrm{d}V = -\dfrac{nRT}{V}\mathrm{d}V$۔ $c_V = R/(\gamma-1)$ استعمال کرنے سے:

تکمل لینے پر: $\ln T + (\gamma-1)\ln V = \text{مستقل}$، یعنی $TV^{\gamma-1} = \text{مستقل}$۔

سوال 3۔ $T = PV/(nR)$ رکھنے سے $PV^\gamma = \text{مستقل}$ ملتا ہے کیونکہ $n$ مستقل ہے۔ $V = nRT/P$ رکھنے پر $T \left(\frac{T}{P}\right)^{\gamma-1} = \text{مستقل}$، اور یوں $T^\gamma P^{1-\gamma} = \text{مستقل}$۔

سوال 4۔ سب سے آسان طریقہ لاپلاس کا قانون $T V^{\gamma - 1} = \text{مستقل}$ استعمال کرنا ہے، جس سے $T_i V_i^{\gamma - 1} = T_f V_f^{\gamma - 1}$، یعنی $T_f = T_i\,2^{-(\gamma-1)} = 300 \times 2^{-2/3} \approx 189$ K ملتا ہے۔ غلطی سے بچنے کے لیے اس حساب میں درجۂ حرارت لازماً کیلون میں رکھنا چاہیے! اس سے $\Delta T = T_f-T_i \approx -111$ K ملتا ہے۔ چونکہ $Q = 0$، کام کے لیے:

$W < 0$: پھیلاؤ کے دوران گیس بیرونی ماحول کو کام فراہم کرتی ہے۔ چونکہ وہ کسی حرارتی منبع سے یہ توانائی نہیں لے سکتی ($Q=0$)، اس لیے اسے اپنی اندرونی توانائی سے لیتی ہے، جس کے نتیجے میں ٹھنڈک $\Delta T < 0$ پیدا ہوتی ہے۔

سوال 5۔ $PV = \text{مستقل}$ کا تفرق لینے سے: $\left(\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}V}\right)_{\text{ہم حرارتی}} = -\dfrac{P}{V}$۔ $PV^\gamma = \text{مستقل}$ کا تفرق لینے سے: $\left(\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}V}\right)_{\text{اڈیابیٹک}} = -\gamma\dfrac{P}{V}$۔ اڈیابیٹ کی ڈھلوان ہم حرارتی منحنی سے $\gamma$ گنا زیادہ ہے: حرارت خارج کیے بغیر گیس دبانے سے دباؤ زیادہ تیزی سے بڑھتا ہے، کیونکہ درجۂ حرارت بھی بڑھتا ہے۔