حرارتی حرکیات کی حل شدہ مشق

دو راستوں سے دو حالتوں کے درمیان کام اور حرارت

مشق 11 · سبق 5 — مثالی گیس پر اطلاق

  • دباؤ کی قوتوں کا کام
  • حرارت
  • ہم حرارتی منحنی
  • ہم حجمی تحول
  • کلاپیرون مخطط
  • کامل تفرق
  • مثالی گیس

سوال

یک جوہری مثالی گیس کے nn مول پر غور کریں جس کی اندرونی توانائی U=32nRTU=\frac{3}{2}nRT ہے۔ حالت A(T1,V1)A(T_1,V_1) کو حالت B(T2,V2)B(T_2,V_2) سے دو نیم سکونی راستوں کے ذریعے ملایا جاتا ہے، اور ہر لمحے Pext=PP_{\mathrm{ext}}=P ہے:

  • Γ1\Gamma_1: پہلے T1T_1 پر V1V_1 سے V2V_2 تک ہم حرارتی پھیلاؤ، پھر V2V_2 پر T1T_1 سے T2T_2 تک ہم حجمی تحول؛
  • Γ2\Gamma_2: پہلے V1V_1 پر T1T_1 سے T2T_2 تک ہم حجمی تحول، پھر T2T_2 پر V1V_1 سے V2V_2 تک ہم حرارتی پھیلاؤ۔

  1. جب T2>T1T_2>T_1 اور V2>V1V_2>V_1 ہوں تو راستوں Γ1\Gamma_1 اور Γ2\Gamma_2 کو کلاپیرون مخطط (P,V)(P,V) میں دکھائیں۔ درمیانی حالتیں اور حرکت کی سمت بتائیں۔
  2. دونوں راستوں میں سے ہر ایک پر گیس کا وصول کردہ کام W1W_1 اور W2W_2 نکالیں۔ ان کا فرق W1−W2W_1-W_2 کیا ہے؟
  3. دونوں تکمل الگ الگ دوبارہ نکالے بغیر کلاپیرون مخطط میں دونوں راستوں کے درمیان رقبے سے W1−W2W_1-W_2 ہندسی طور پر حاصل کریں۔
  4. دونوں راستوں پر ΔU\Delta U نکالیں، پھر Q1Q_1 اور Q2Q_2 اخذ کریں۔ δQ\delta Q کی نوعیت کے بارے میں نتیجہ اخذ کریں۔
  5. عددی اطلاق: n=1n=1 mol، T1=300T_1=300 K، T2=600T_2=600 K اور V2=2V1V_2=2V_1۔

اشارہ
کلاپیرون مخطط میں ہم حجمی تحول ایک عمودی خط ہوتا ہے اور مثالی گیس کا ہم حرارتی منحنی P=nRT/VP=nRT/V کی پیروی کرتا ہے۔ درجۂ حرارت T2T_2 کا ہم حرارتی منحنی درجۂ حرارت T1T_1 کے منحنی سے اوپر ہوتا ہے۔ ہم حجمی تحول دباؤ کی قوتوں کے کام میں کوئی حصہ نہیں ڈالتا۔ سوال 3 کے لیے، وصول کردہ کام مخطط (P,V)(P,V) میں راستے کے نیچے واقع جبری رقبے کا منفی ہے۔

تفصیلی حل

حل
سوال 1۔ راستے Γ1\Gamma_1 کی درمیانی حالت کو CC اور راستے Γ2\Gamma_2 کی درمیانی حالت کو DD کہیں۔ ان کے دباؤ اور حجم یہ ہیں:

A=(nRT1V1,V1),C=(nRT1V2,V2),D=(nRT2V1,V1),B=(nRT2V2,V2).\begin{aligned} A&=\left(\frac{nRT_1}{V_1},V_1\right),& C&=\left(\frac{nRT_1}{V_2},V_2\right),\\ D&=\left(\frac{nRT_2}{V_1},V_1\right),& B&=\left(\frac{nRT_2}{V_2},V_2\right). \end{aligned}

چونکہ T2>T1T_2>T_1، اس لیے ہم حرارتی منحنی T2T_2، منحنی T1T_1 سے اوپر ہے۔ راستہ Γ1\Gamma_1، AA سے نچلے ہم حرارتی منحنی T1T_1 کے ساتھ دائیں طرف CC تک جاتا ہے، پھر ہم حجمی خط V2V_2 کے ساتھ CC سے عمودی طور پر BB تک جاتا ہے۔ راستہ Γ2\Gamma_2 پہلے ہم حجمی خط V1V_1 کے ساتھ AA سے عمودی طور پر DD تک جاتا ہے، پھر بالائی ہم حرارتی منحنی T2T_2 کے ساتھ DD سے دائیں طرف BB تک جاتا ہے۔ لہٰذا دونوں راستوں کے تیر یہ ہیں:

Γ1:A→ T=T1 C→ V=V2 B,Γ2:A→ V=V1 D→ T=T2 B.\Gamma_1:A\xrightarrow{\,T=T_1\,}C\xrightarrow{\,V=V_2\,}B, \qquad \Gamma_2:A\xrightarrow{\,V=V_1\,}D\xrightarrow{\,T=T_2\,}B.
کلاپیرون مخطط میں راستے _1 اور _2۔ سرمئی منحنی ہم حرارتی منحنیوں T_1 اور T_2 کو آگے بڑھاتے ہیں۔
شکل 1. کلاپیرون مخطط میں راستے Γ1\Gamma_1 اور Γ2\Gamma_2۔ سرمئی منحنی ہم حرارتی منحنیوں T1T_1 اور T2T_2 کو آگے بڑھاتے ہیں۔

سوال 2۔ گیس کے وصول کردہ کام کی علامتی قرارداد کے مطابق δW=−P dV\delta W=-P\,\mathrm{d}V۔ ہم حجمی تحول کوئی حصہ نہیں ڈالتا، اور درجۂ حرارت TT پر ہم حرارتی تحول کے لیے

W=−∫V1V2nRTV dV=−nRTln⁡V2V1.W=-\int_{V_1}^{V_2}\frac{nRT}{V}\,\mathrm{d}V =-nRT\ln\frac{V_2}{V_1}.

لہٰذا

W1=−nRT1ln⁡V2V1,W2=−nRT2ln⁡V2V1,W_1=-nRT_1\ln\frac{V_2}{V_1}, \qquad W_2=-nRT_2\ln\frac{V_2}{V_1},

اور پھر

W1−W2=nR(T2−T1)ln⁡V2V1≠0.W_1-W_2 =nR(T_2-T_1)\ln\frac{V_2}{V_1}\neq 0.

ابتدائی اور آخری حالتیں یکساں ہیں، مگر کام مختلف ہیں: δW\delta W کامل تفرق نہیں ہے۔

سوال 3۔ ہم حجمی خطوط کوئی رقبہ طے نہیں کرتے۔ چونکہ وصول کردہ کام منحنی کے نیچے رقبے کا منفی ہے، اس لیے فرق W1−W2W_1-W_2، ہم حرارتی منحنیوں T2T_2 اور T1T_1 کے درمیان رقبہ ہے:

W1−W2=∫V1V2(nRT2V−nRT1V)dV=nR(T2−T1)ln⁡V2V1>0.W_1-W_2 =\int_{V_1}^{V_2}\left(\frac{nRT_2}{V}-\frac{nRT_1}{V}\right)\mathrm{d}V =nR(T_2-T_1)\ln\frac{V_2}{V_1}>0.

یوں سوال 2 کا نتیجہ دوبارہ حاصل ہو جاتا ہے۔

سوال 4۔ یک جوہری مثالی گیس کی اندرونی توانائی صرف درجۂ حرارت پر منحصر ہے۔ لہٰذا اس کی تبدیلی دونوں راستوں پر یکساں ہے:

ΔU=UB−UA=32nR(T2−T1).\Delta U=U_B-U_A=\frac{3}{2}nR(T_2-T_1).

پہلا اصول ΔU=W+Q\Delta U=W+Q، Q=ΔU−WQ=\Delta U-W دیتا ہے، چنانچہ

Q1=32nR(T2−T1)+nRT1ln⁡V2V1,Q2=32nR(T2−T1)+nRT2ln⁡V2V1.\begin{aligned} Q_1&=\frac{3}{2}nR(T_2-T_1) +nRT_1\ln\frac{V_2}{V_1},\\ Q_2&=\frac{3}{2}nR(T_2-T_1) +nRT_2\ln\frac{V_2}{V_1}. \end{aligned}

پس

Q2−Q1=nR(T2−T1)ln⁡V2V1≠0.Q_2-Q_1=nR(T_2-T_1)\ln\frac{V_2}{V_1}\neq 0.

تبادلہ شدہ حرارت بھی راستے پر منحصر ہے: dU\mathrm{d}U کے برخلاف δQ\delta Q کامل تفرق نہیں ہے۔

سوال 5۔ ln⁡2≃0,693\ln 2\simeq0{,}693 کے ساتھ

W1≃−1,73 kJ,W2≃−3,46 kJ,ΔU≃3,74 kJ,Q1≃5,47 kJ,Q2≃7,20 kJ.\begin{aligned} W_1&\simeq-1{,}73\ \mathrm{kJ},& W_2&\simeq-3{,}46\ \mathrm{kJ},\\ \Delta U&\simeq3{,}74\ \mathrm{kJ},& Q_1&\simeq5{,}47\ \mathrm{kJ},& Q_2&\simeq7{,}20\ \mathrm{kJ}. \end{aligned}

راستہ Γ2\Gamma_2 اختیار کرنے پر گیس دوگنا کام فراہم کرتی ہے اور اسی کے مطابق اضافی حرارت وصول کرتی ہے۔