Matumizi kwa Gesi Bora

Hadi sasa, kanuni ya kwanza imeandikwa bila kudhani kielelezo fulani maalumu cha mfumo. Kwa mfumo funge ambao nishati zake za kinetiki na potenshali za kimakroskopiki hazibadiliki, huandikwa

$$\Delta U=Q+W.$$

Hata hivyo, uhusiano huu hautoshi kukokotoa $\Delta U$, kama vile sheria ya pili ya Newton isivyoweza kutabiri mabadiliko ya mfumo kabla ya kujua nguvu zinazoutenda. Kwa hiyo bado tunahitaji kuufafanua mfumo unaochunguzwa: sasa tutafanya hivyo kwa gesi bora.

1. Milinganyo ya hali ya gesi bora

Mlinganyo wa kwanza wa hali ya gesi bora ni

Kama tulivyoona katika Somo la 2, uhusiano huu ni matokeo ya historia ndefu ya uchunguzi wa kimajaribio. Peke yake, hautuelezi chochote kuhusu nishati ya ndani ya gesi. Kwa hilo, majaribio mengine yanahitajika. Sehemu inayofuata, ambayo inaweza kurukwa katika usomaji wa kwanza, inaonyesha mkabala wa kimajaribio unaoongoza kwenye fomula nyingine muhimu ya gesi bora:

ambapo $c_V$ ni thabiti tutakayorejelea baadaye na $U_0(n)$ ni neno la marejeleo lisilotegemea halijoto. Kumbuka tangu sasa kwamba utaratibu rasmi wa thermodynamiki hauruhusu milinganyo hii ya hali kutolewa. Hata hivyo, fizikia ya takwimu itaruhusu kuipata kutoka katika kielelezo cha kihadubini.

1.1. Upanuzi wa Joule-Gay-Lussac

Jaribio muhimu ni kuchunguza upanuzi wa gesi ndani ya ombwe. Kwa vitendo, gesi yenye msongamano mdogo wa kutosha hutumiwa ili kupunguza mwingiliano kati ya molekuli na hivyo kukaribia kielelezo cha gesi bora. Chombo kigumu na kilichohamiwa joto hugawanywa katika sehemu mbili. Sehemu ya kwanza ina gesi iliyo katika usawa na ya pili ni tupu. Ukuta unaozitenganisha huondolewa, husubiriwa hadi usawa mpya utokee, kisha hali hiyo hubainishwa kwa majaribio.

Gay-Lussac alikuwa wa kwanza kufanya majaribio ya aina hii mwanzoni mwa karne ya XIX; Joule aliyafanya tena baadaye, karibu mwaka 1845. Tokeo muhimu la kimajaribio ni kwamba hakuna badiliko la halijoto ya gesi linaloonekana kati ya hali ya awali na hali ya mwisho. Kwa kweli, katika gesi halisi badiliko dogo hubaki na linaweza kuwa chanya au hasi kulingana na gesi na hali za jaribio; lakini huelekea sifuri kadiri msongamano unavyopungua. Kwa hiyo, katika kielelezo bora tunaongozwa kufikiri kwamba $T_B=T_A$ hasa.

Ili kufasiri tokeo hili, tuangalie inachosema kanuni ya kwanza. Gesi huenea ndani ya ombwe, hivyo shinikizo la nje ni sifuri na kwa hiyo $W=0$. Aidha, kuta za mfumo zimehamiwa joto, hivyo pia tuna $Q=0$. Kanuni ya kwanza basi inalazimisha

$$\Delta U=0.$$

Tukubali kwa muda kwamba nishati ya ndani inaweza kuandikwa $U=U(T,V,n)$; uchaguzi huu wa vigezo utahalalishwa baada ya kuanzishwa kwa kanuni ya pili. Kwa kuwa mfumo ni funge, $n$ ni thabiti. Jaribio likirudiwa kwa ujazo tofauti wa awali na wa mwisho, huonyesha kwamba kwa halijoto thabiti (kwa kuwa $T_B=T_A$), nishati ya ndani haibadiliki ujazo unapobadilika ($\Delta U=0$). Hivyo,

Sifa hii ndiyo kanuni ya Joule: nishati ya ndani ya gesi bora haitegemei ujazo wake. Jaribio hili bado halitoi umbo la dhima $U(T,n)$.

1.2. Nishati ya ndani ya gesi bora

Ili kupata umbo la $U$, tunazingatia jaribio la pili. Kiasi kinachojulikana cha gesi hupashwa katika chombo kigumu. Kwa ujazo thabiti, kazi ya nguvu za shinikizo ni sifuri; hivyo nishati $Q$ inayotolewa kwa gesi ni sawa na badiliko la nishati yake ya ndani. Kwa kuingiza kiasi kidogo cha nishati na kupima ongezeko linalolingana la halijoto, thamani ya uwezo wa joto wa mola kwa ujazo thabiti huamuliwa kwa majaribio:

Kimsingi, uwezo huu hutegemea halijoto. Upimaji wa moja kwa moja ni mgumu, kwa kuwa uwezo wa joto wa gesi ni mdogo ukilinganishwa na ule wa chombo na kalorimita. Hata hivyo inawezekana, na hata inaonyeshwa kwamba kwa gesi yenye msongamano mdogo, $c_V(T)$ ni takriban thabiti. Tukiuchukua kuwa thabiti kabisa, tunaweza kuintegrali uhusiano uliotangulia na kupata

Kwa kiasi thabiti cha mada, uintegrali basi unatoa

$$U(T,n)=n c_V T+U_0(n),$$

ambapo neno la marejeleo $U_0(n)$ halitegemei halijoto. Kwa kiasi thabiti cha mada, tunaweza kuchagua chanzo cha nishati ya ndani ili $U_0(n)=0$, kwa kuwa ni mabadiliko ya $U$ pekee yanayohusika. Hivyo tunapata tena $U=n c_V T$. Katika halijoto za kawaida, vipimo vinatoa $c_V\simeq 3R/2$ kwa gesi ya atomu moja kama heliamu yenye msongamano mdogo, na $c_V\simeq 5R/2$ kwa gesi nyingi za atomu mbili, ambapo $R$ ni thabiti ya gesi bora. Tutarejea baadaye kwenye thamani za $c_V$.

2. Kanuni ya kwanza ikitumika kwa gesi bora

Sasa tunaweza kuamua mabadiliko ya nishati ya ndani pamoja na kazi na joto zinazobadilishwa wakati wa mabadiliko ya kawaida ya gesi bora. Tunajizuia kwenye mfumo funge, usio na badiliko la nishati ya kinetiki au potenshali ya kimakroskopiki, na ambao kazi yake pekee ni ile ya nguvu za shinikizo. Matokeo ya Somo la 4 yanatoa

Katika mahesabu yanayofuata, tunadhani pia kwamba mabadiliko ni nusutuli: mfumo basi hufuata njia kwenye uso wa hali za usawa. Katika sehemu inayofuata tutadhani pia kwamba shinikizo la nje $P_{\mathrm{ext}}$ linaweza kutambulishwa na shinikizo $P$ la gesi. Dhana hii ni muhimu: wakati wa mabadiliko ya ghafla, shinikizo la gesi linaweza lisiwe sare, na kubadilisha $P_{\mathrm{ext}}$ na $P$ si sahihi. Tutarejea dhana hii tunapochunguza kanuni ya pili na mabadiliko yanayoitwa rejeshi au yasiyo rejeshi.

2.1. Mabadiliko ya isokori

Katika mabadiliko ya isokori, $dV=0$. Kwa hiyo kazi ya nguvu za shinikizo ni sifuri: $W=0$. Kanuni ya kwanza basi inatoa

Gesi inapopokea joto ($Q>0$), halijoto yake huongezeka, na kinyume chake. Hili ndilo hasa linalotokea hewa inapopashwa katika tanuri (tukidhani limefungwa, ingawa si kweli kabisa).

2.2. Mabadiliko ya halijoto thabiti

Ikiwa halijoto ni thabiti, $T=T_0$, tuna $\Delta U=0$ kwa kuwa $U$ hutegemea $T$ pekee. Kwa hiyo $Q=-W$. Kwa $P=\frac{nRT_0}{V}$, kazi inayopokelewa ni

$$W =- \int_{V_A}^{V_B}P\,dV = - \int_{V_A}^{V_B}\frac{nRT_0}{V}\,dV$$

ambayo inatoa:

Wakati wa upanuzi, $V_B>V_A$ na hivyo $W<0$: gesi hutoa kazi na kupokea kiasi kilekile cha nishati kama joto ($Q = - W >0$). Hatua hii ya upanuzi wa halijoto thabiti itatumika mara nyingi katika mizunguko bora ya injini. Wakati wa mbano, ishara hubadilika.

2.3. Mabadiliko ya isobari

Kwa shinikizo thabiti $P=P_0$, kazi inayopokelewa ni

Kwa njia nyingine, mlinganyo wa hali $PV=nRT$ unatoa $P_0(V_B-V_A)=nR(T_B-T_A)$, na hivyo pia $W=-nR\Delta T$. Kwa kuwa $Q=\Delta U-W$, tunapata

Usemi huu kwa kawaida unaongoza kwenye kuanzishwa kwa uwezo wa joto wa mola kwa shinikizo thabiti, unaoandikwa $c_P$, kwa $Q=nc_P\Delta T$ wakati wa mabadiliko ya isobari. Kwa gesi bora, tuna

uhusiano tutakaorejelea baadaye (uhusiano wa Mayer). Pia tunaanzisha uwiano

unaoitwa kipeo cha adiabatiki cha gesi. Uhusiano wa Mayer unaonyesha kwamba $\gamma >1$. Kwa gesi ya atomu moja, yenye $c_V=3R/2$, tunapata $c_P=5R/2$ na $\gamma=5/3$. Kwa gesi ya atomu mbili, yenye $c_V=5R/2$, tunapata $c_P=7R/2$ na $\gamma=7/5$. Kwa kuwa $c_P=c_V+R$, tunaweza kugeuza mahusiano haya kupata

$$\boxed{ c_V=\frac{R}{\gamma-1}, \qquad c_P=\frac{\gamma R}{\gamma-1} }$$

ambayo mara nyingi ni muhimu sana katika mahesabu.

Katika Somo la 8 tutarejea kwa utaratibu zaidi kwenye uwezo wa joto $c_V$ na $c_P$, ufafanuzi wake wa jumla na tafsiri yake. Kwa sasa, inatosha kukumbuka kwamba, kwa kiasi kilekile cha gesi, kuongeza halijoto yake kwa thamani ileile kwa shinikizo thabiti kunahitaji nishati zaidi kuliko kwa ujazo thabiti: katika hali ya kwanza, sehemu ya nishati iliyopokelewa hurudishwa kwa mazingira kama kazi wakati wa upanuzi usioepukika wa gesi.

2.4. Mabadiliko ya adiabatiki

Sasa tuchunguze mabadiliko ya adiabatiki, ambayo $Q=0$. Tofauti na hali zilizotangulia, kupata semi za $\Delta U$ na $W$ kati ya hali ya awali na ya mwisho si jambo la moja kwa moja, kwa sababu tuna $\Delta U=W$, lakini kazi huandikwa

$$W=-\int_A^B P\,dV,$$

na bado haijajulikana jinsi shinikizo $P$ linavyobadilika na ujazo. Ili kufanya hivyo, tunahitaji kurudi kwenye umbo la kidiferenshali la kanuni ya kwanza, linalohusisha mabadiliko madogo kabisa ya $U$, $P$ na $V$ kandokando ya mabadiliko. Utoaji unaofuata ni zoezi la kawaida sana, ambalo mara nyingi huulizwa kwa namna ya “toa sheria za Laplace za gesi bora kutokana na kanuni ya kwanza”. Inashauriwa sana kufanya tena mahesabu yote yanayofuata.

Kwa kuwa $\delta Q=0$, kanuni ya kwanza inatoa

$$dU=\delta W=-P\,dV.$$

Lakini kwa gesi bora inayochunguzwa hapa, $dU=n c_V\,dT$. Kwa hiyo tuna $n c_V\,dT=-P\,dV$. Kwa kutumia $PV=nRT$, yaani $P=nRT/V$, na kufupisha kwa $n$, tunapata mlinganyo wa kidiferenshali

$$c_V\frac{dT}{T}=-R\frac{dV}{V}.$$

Unaweza kuintegraliwa mara moja:

$$c_V\ln T+R\ln V=\mathrm{const}.$$

Tunagawa kwa $c_V$ na kutambua kwamba

$$\frac{R}{c_V} = \frac{c_P-c_V}{c_V} = \gamma-1.$$

Hivyo tunapata

$$\ln T+(\gamma-1)\ln V=\mathrm{const},$$

yaani

Kwa kuingiza tena $PV=nRT$ katika uhusiano huu, tunaweza kupata maumbo mengine mawili yanayolingana. Sheria tatu za Laplace, ambazo zinalingana, huandikwa

Kwa vitendo, tutatumia mojawapo kulingana na data ya zoezi. Kazi inaweza kisha kukokotolewa kwa njia kadhaa. Njia ya moja kwa moja zaidi ni kutumia kanuni ya kwanza: kwa kuwa $Q=0$, tuna $W=\Delta U$, hivyo

Usemi huu ni muhimu ikiwa halijoto za awali na za mwisho zinajulikana. Kazi inaweza pia kupatikana kwa kuintegrali moja kwa moja nguvu za shinikizo. Kwa kweli, sheria ya Laplace $PV^\gamma=\mathrm{const}$ inaruhusu kuandika, kandokando ya mabadiliko, $P=K/V^\gamma$, ambapo $K=P_AV_A^\gamma=P_BV_B^\gamma$. Hivyo tunapata

$$W=-\int_{V_A}^{V_B}P\,dV =-K\int_{V_A}^{V_B}V^{-\gamma}\,dV =\frac{K}{\gamma-1} \left(V_B^{1-\gamma}-V_A^{1-\gamma}\right).$$

Usemi huu ni muhimu ikiwa ujazo wa awali na wa mwisho unajulikana. Pia tunaona kwamba $KV_A^{1-\gamma}=P_AV_A$ na $KV_B^{1-\gamma}=P_BV_B$, hivyo tunapata pia

Semi hizi zote zinalingana. Wakati wa upanuzi wa adiabatiki, gesi hutoa kazi: $W<0$. Nishati yake ya ndani hupungua na halijoto yake hushuka. Kinyume chake, mbano wa adiabatiki huongeza halijoto yake.

3. Michoro ya Clapeyron

Ili kuwakilisha mabadiliko ya gesi, ni muhimu sana kufanya kazi katika tambarare ya $(P,V)$, ambapo kila nukta inalingana na hali ya usawa, inayotambuliwa kwa ujazo wake $V$ kwenye mhimili mlalo na shinikizo lake $P$ kwenye mhimili wima. Uwakilishi huu unaitwa mchoro wa Clapeyron.

Katika kila nukta, halijoto huamuliwa na mlinganyo wa hali $PV=nRT$. Kwa kuwa daima tunazingatia mfumo funge, $n$ ni thabiti na kwa kawaida hutolewa katika swali. Jambo muhimu ni kwamba $T$ huwiana na zao $PV$: kwa hiyo huwa kubwa zaidi kadiri nukta ilivyo katika eneo la mchoro ambako zao hili ni kubwa, kwa ujumla kuelekea juu na kulia.

Chini ya dhana zilizotolewa hapo awali, mabadiliko ya gesi basi huwakilishwa na mkunjo unaounganisha hali ya awali $A$ na hali ya mwisho $B$. Kwa hiyo mchoro wa Clapeyron hutoa uwakilishi wa kijiometri ulio rahisi sana wa mabadiliko yaliyochunguzwa hapo juu.

3.1. Uwakilishi wa mabadiliko ya kawaida

Mabadiliko manne yaliyokutana hapo juu huwa na maumbo rahisi hasa katika tambarare ya $(P,V)$.

Mabadiliko ya isokori, $V=V_0$, huwakilishwa na kipande cha mstari wima, ilhali mabadiliko ya isobari, $P=P_0$, huwakilishwa na kipande cha mstari mlalo.

Kwa mabadiliko ya halijoto thabiti, mlinganyo wa hali unatoa $P(V)=nRT_0/V$: kwa hiyo mkunjo ni tawi la hiperbola.

Hatimaye, mabadiliko ya adiabatiki hutii sheria ya Laplace $PV^\gamma=\mathrm{const}$, yaani $P=K/V^\gamma$. Kwa kuwa $\gamma>1$, shinikizo hupungua kwa kasi zaidi pamoja na ujazo kwenye adiabatiki kuliko kwenye mabadiliko ya halijoto thabiti. Tunaweza kuliona hili moja kwa moja kwa kulinganisha, katika nukta ileile, miteremko

$$\left(\frac{dP}{dV}\right)_{\mathrm{isoth}} =-\frac{P}{V}, \qquad \left(\frac{dP}{dV}\right)_{\mathrm{ad}} =-\gamma\frac{P}{V}.$$

Kwa hiyo adiabatiki ni “kali” zaidi kuliko mkunjo wa halijoto thabiti.

3.2. Njia mbili kati ya hali zilezile

Mchoro wa Clapeyron sasa unatuwezesha kuona kwa uwazi sifa ya msingi iliyoanzishwa katika somo lililotangulia: $U$ ni dhima ya hali, ilhali $Q$ na $W$ hutegemea mabadiliko yaliyofanywa.

Kwa mfano, tuzingatie hali mbili

$$A=(P_0,V_0), \qquad B=\left(\frac{P_0}{2},2V_0\right).$$

Mlinganyo wa gesi bora unatoa $T_A=T_B=T_0$, ambapo $T_0=P_0V_0/(nR)$. Kwa kuwa nishati ya ndani ya gesi bora hutegemea halijoto yake pekee,

$$\boxed{\Delta U_{A\to B}=0}$$

bila kujali mabadiliko yanayounganisha $A$ na $B$. Sasa tulinganishe njia mbili zinazoonyeshwa kwenye Mchoro 2.

Kwa njia ya kwanza $\mathcal P_1$, ambayo ni upanuzi wa moja kwa moja wenye halijoto thabiti, tuna

$$W_1=-nRT_0\ln 2=-P_0V_0\ln 2.$$

Kwa kuwa $\Delta U=0$, tunapata $Q_1=-W_1=P_0V_0\ln 2$.

Kwa njia ya pili $\mathcal P_2$, kwanza tunafanya mabadiliko ya isobari $A\to C$, kisha mabadiliko ya isokori $C\to B$. Kazi inayopokelewa kwenye tawi la kwanza ni $W_{AC}=-P_0V_0$, ilhali $W_{CB}=0$. Hivyo,

$$W_2=-P_0V_0, \qquad Q_2=P_0V_0.$$

Hatimaye tunapata

Njia hizi mbili zina ncha zilezile, na hivyo badiliko lilelile la nishati ya ndani, lakini zinasababisha kazi tofauti na, kwa kanuni ya kwanza, uhamisho tofauti wa joto.

3.3. Kazi kama eneo chini ya mkunjo

Utegemezi wa kazi kwa njia una tafsiri ya moja kwa moja ya kijiometri. Kwa mabadiliko nusutuli yanayowakilishwa katika mchoro wa Clapeyron, kazi inayopokelewa ni

Integrali $\int_A^B P\,dV$ inawakilisha eneo lenye ishara chini ya mkunjo unaoeleza mabadiliko. Kwa kanuni yetu ya ishara, kazi inayopokelewa na gesi ni hasi ya eneo hili.

Ni muhimu sana kukumbuka hapa kwamba mpangilio wa mipaka huamua ishara ya integrali. Wakati wa upanuzi kutoka $A$ hadi $B$, ambapo $V_B>V_A$, tuna

$$W[A\to B]=-\int_{V_A}^{V_B}P\,dV<0 :$$

gesi hutoa kazi kwa mazingira yake. Wakati wa mbano wa kinyume, mipaka hubadilishwa na

$$W[B\to A] =-\int_{V_B}^{V_A}P\,dV =+\int_{V_A}^{V_B}P\,dV>0 :$$

gesi hupokea kazi. Kwa hiyo ni lazima kuonyesha kwa mshale mwelekeo wa kufuata kila mkunjo uliochorwa katika mchoro wa Clapeyron.

Tafsiri hii pia inaeleza kwa urahisi sana kwa nini njia mbili za Mchoro 2 zinasababisha kazi tofauti: maeneo chini ya mikunjo miwili si sawa.

3.4. Mizunguko ya injini na mizunguko ya majokofu

Katika mabadiliko ya mzunguko, mfumo hurudi katika hali yake ya awali. Kwa hiyo mzunguko huwakilishwa na mkunjo uliofungwa katika mchoro wa Clapeyron.

Kwa kuwa $U$ ni dhima ya hali, $\Delta U_{\mathrm{cycle}}=0$. Kanuni ya kwanza basi inalazimisha $Q_{\mathrm{cycle}}=-W_{\mathrm{cycle}}$. Aidha,

Tafsiri ya kijiometri iliyotangulia basi huwa na umbo rahisi sana: thamani kamili ya kazi ni sawa na eneo linalofungwa na mzunguko. Ili kuliona hili, tuzingatie mzunguko ulioundwa na tawi la juu $P_+(V)$ linalofuatwa kutoka $V_1$ hadi $V_2$, ambapo $V_1<V_2$, kisha tawi la chini $P_-(V)$ linalofuatwa katika mwelekeo wa kinyume, kama katika Mchoro 4. Tuna

$$\oint P\,dV = \int_{V_1}^{V_2}P_+(V)\,dV + \int_{V_2}^{V_1}P_-(V)\,dV = \int_{V_1}^{V_2} \bigl[P_+(V)-P_-(V)\bigr]\,dV.$$

Hili ni eneo chini ya tawi la juu ukitoa eneo chini ya tawi la chini, kwa maneno mengine eneo linalofungwa na mzunguko. Kwa njia ya mwelekeo wa saa inayozingatiwa hapa, integrali hii ni chanya na kazi inayopokelewa kwa hiyo ni hasi.

Kwa mzunguko wa injini, kanuni ya kwanza inalazimisha $Q_{\mathrm{cycle}}=-W_{\mathrm{cycle}}>0$: katika mzunguko mzima, gesi hupokea kiasi halisi cha joto sawa na kazi inayotoa kwa mazingira yake.