Swali

Tunazingatia moli $n$ za gesi kamilifu, yenye uwezo wa joto wa kimoli $c_V$ ulio thabiti, ikifuata mzunguko wa nusutuli $A\to B\to C\to A$ , ambapo

A=(P_0,V_0), \qquad B=(2P_0,V_0), \qquad C=(P_0,2V_0).

Tawi $A\to B$ ni la isokoriki, tawi $B\to C$ ni kipande cha mstari mnyoofu kwenye ndege $(P,V)$ na tawi $C\to A$ ni la isobariki.

Kwa mzunguko wa injini, ufanisi hufafanuliwa kwa

\eta=\frac{W_{\mathrm{fourni}}}{Q_{\mathrm{in}}} =\frac{-W_{\mathrm{cycle}}}{Q_{\mathrm{in}}},

ambapo $Q_{\mathrm{in}}$ ni jumla ya uhamisho wa msingi wa joto $\delta Q>0$ unaopokelewa na gesi katika mzunguko.

Chora mzunguko kwenye mchoro wa Clapeyron na ubainishe mwelekeo wa kuufuata. Je, ni mzunguko wa injini au wa kupokea kazi?
Amua mlinganyo $P(V)$ wa mstari unaounganisha $B$ na $C$ .
Kwa kuweka $T_0=P_0V_0/(nR)$ , amua halijoto $T_A$ , $T_B$ na $T_C$ . Kwa nini $\Delta U_{B\to C}$ ni sifuri ingawa tawi hili si la isothemali?
Kokotoa kazi inayopokelewa kwenye kila moja ya matawi matatu, kisha kwenye mzunguko kamili. Pata tena thamani kamili ya kazi yote kutokana na eneo la pembetatu.
Kokotoa $\Delta U$ na $Q$ kwenye kila tawi kwa kutumia $P_0$ , $V_0$ na $c_V$ pekee, kisha hakikisha kuwa $\Delta U_{\mathrm{cycle}}=0$ na $Q_{\mathrm{cycle}}=-W_{\mathrm{cycle}}$ .
Kwa kuweka $a = \frac{c_V}{R} >1$ na $x = V/V_0$ , onyesha kuwa ishara ya $\delta Q$ hubadilika katika nukta moja ya tawi $B\to C$ . Dedua $Q_{\mathrm{in}}$ , kisha ufanisi $\eta$ wa mzunguko huu. Toa thamani yake kwa gesi kamilifu ya atomi moja, ambayo $c_V=\frac32R$ .

Kidokezo

Kwenye

B\to C

, tafuta

P(V)=aV+b

kwa kulazimisha mstari upitie

B

na

C

. Ili kukokotoa badiliko la nishati ya ndani, halijoto kwenye ncha za tawi pekee ndizo zinazohitajika. Kwa swali la 6, tumia kanuni ya kwanza katika umbo la diferenshali.

Jibu la kina

Suluhisho

Maswali ya 1—2. Mzunguko hufuatwa kwa mwelekeo wa saa: ni mzunguko wa injini. Mlinganyo wa mstari

B\to C

ni

P(V)=P_0\left(3-\frac{V}{V_0}\right).

Mzunguko wa pembetatu A B C A kwenye mchoro wa Clapeyron. — Kielelezo 1. Mzunguko wa pembetatu $A\to B\to C\to A$ kwenye mchoro wa Clapeyron.

Swali la 3. Mlinganyo wa hali unatoa

T_A=T_0, \qquad T_B=T_C=2T_0.

Halijoto hubadilika kwenye $B\to C$ , lakini hurejea katika thamani ileile kwenye ncha zake mbili. Kwa kuwa nishati ya ndani ya gesi kamilifu hutegemea halijoto pekee wakati kiasi cha dutu ni thabiti, $\Delta U_{B\to C}=0$ .

Swali la 4. Kazi zinazopokelewa ni

W_{AB}=0, \qquad W_{BC}=-\int_{V_0}^{2V_0}P(V)\,dV=-\frac32P_0V_0, \qquad W_{CA}=-P_0 \Delta V = P_0V_0.

Hivyo,

\boxed{W_{\mathrm{cycle}}=-\frac12P_0V_0}.

Ishara yake ni hasi: gesi hufanya kazi katika mzunguko. Thamani yake kamili ni eneo la pembetatu, yenye msingi $V_0$ na kimo $P_0$ , kwa fomula $A=\frac12\text{msingi}\times\text{kimo}$ ya pembetatu yenye pembe mraba.

Swali la 5. Kwa kuwa $nRT_0=P_0V_0$ ,

\begin{aligned} \begin{array}{c|c|c|c} \text{Tawi} & W & \Delta U & Q=\Delta U-W\\ \hline A\to B & 0 & \dfrac{c_V}{R}P_0V_0 & \dfrac{c_V}{R}P_0V_0\\[4pt] B\to C & -\dfrac32P_0V_0 & 0 & \dfrac32P_0V_0\\[4pt] C\to A & P_0V_0 & -\dfrac{c_V}{R}P_0V_0 & -\left(\dfrac{c_V}{R}+1\right)P_0V_0 \end{array} \end{aligned}

Kwa kujumlisha matawi matatu, tunapata

\boxed{ \Delta U_{\mathrm{cycle}}=0, \qquad Q_{\mathrm{cycle}}=\frac12P_0V_0=-W_{\mathrm{cycle}}. }

Swali la 6. Weka $a=c_V/R$ na $x=V/V_0$ . Kwenye tawi $B\to C$ , $P=P_0(3-x)$ na $T=T_0(3x-x^2)$ . Kanuni ya kwanza inatoa

\delta Q=\mathrm{d}U-\delta W =P_0V_0\left[3(a+1)-(2a+1)x\right]\mathrm{d}x.

Joto hili la msingi huwa sifuri wakati

x_\star=\frac{3(a+1)}{2a+1}.

Wakati $a>1$ , tuna $1<x_\star<2$ : gesi hupokea joto kutoka $B$ hadi nukta yenye abscissa $x_\star$ , kisha hutoa joto hadi $C$ . Pia hupokea joto $Q_{AB}=aP_0V_0$ kwenye $A\to B$ . Kwa hiyo,

\begin{aligned} Q_{\mathrm{in}} &=P_0V_0\left[ a+\int_1^{x_\star}\left(3(a+1)-(2a+1)x\right)\mathrm{d}x \right]\\ &=P_0V_0\left[a+\frac{(a+2)^2}{2(2a+1)}\right]. \end{aligned}

Kwa hiyo ufanisi ni

\boxed{ \eta =\frac{\frac12P_0V_0}{Q_{\mathrm{in}}} =\frac{2a+1}{5a^2+6a+4}, \qquad a=\frac{c_V}{R}. }

Kwa gesi kamilifu ya atomi moja, $a=\frac32$ , na hivyo

\eta=\frac{16}{97}\simeq16{,}5\,\%.