Swali

Tunazingatia moli $n$ za gesi kamilifu ya atomi moja, yenye $U=\frac{3}{2}nRT$ , ikifuata kwa nusutuli mzunguko mstatili kinyume cha mwelekeo wa saa

A(P_1,V_1)\to B(P_1,V_2)\to C(P_2,V_2) \to D(P_2,V_1)\to A,

ambapo $V_2>V_1$ na $P_2>P_1$ . Tutaandika

\Delta P=P_2-P_1>0, \qquad \Delta V=V_2-V_1>0.

Tunatumia mzunguko huu wa kupokea kazi kama modeli ya mashine ya friji. Mgawo wake wa utendaji wa friji (COP) hufafanuliwa kwa

\mathrm{COP}=\frac{Q_f}{W_{\mathrm{in}}} =\frac{Q_f}{W_{\mathrm{cycle}}},

ambapo $Q_f>0$ ni jumla ya joto linalochukuliwa na gesi kwenye matawi ambako hupokea joto, na $W_{\mathrm{cycle}}>0$ ni kazi wavu inayopokea.

Chora mzunguko kwenye mchoro wa Clapeyron $(P,V)$ na ubainishe aina ya kila tawi.
Kokotoa kazi inayopokelewa kwenye kila moja ya matawi manne kwa kutumia $\Delta V$ inapobadilika, kisha kazi yote kwa kutumia $\Delta P$ na $\Delta V$ . Pata tena thamani yake kutokana na eneo la mstatili.
Eleza $\Delta U$ na $Q$ kwenye kila tawi kwa kutumia $P_1$ , $P_2$ , $V_1$ , $V_2$ , $\Delta P$ na $\Delta V$ , ukitumia $\Delta P$ kwenye isokoriki na $\Delta V$ kwenye isobariki.
Hakikisha kuwa $\Delta U_{\mathrm{cycle}}=0$ na $Q_{\mathrm{cycle}}=-W_{\mathrm{cycle}}$ . Je, ni mzunguko wa injini au wa kupokea kazi? Gesi hupokea joto kwenye matawi yapi na hulitoa kwenye matawi yapi? Fasiri mabadilishano haya kwa kutambua hifadhi baridi na hifadhi moto: ni nini kinachopozwa hapa?
Dedua COP ya friji ya mzunguko kwa kutumia $P_1$ , $P_2$ , $V_1$ na $V_2$ .
Fasiri COP kifizikia. Kwa nini inaweza kuwa kubwa kuliko 1, tofauti na ufanisi wa injini ya joto?
Matumizi ya namba: $P_1=1{,}0$ bar, $P_2=3{,}0$ bar, $V_1=5{,}0$ L na $V_2=15{,}0$ L. Toa $W$ na $Q$ kwenye kila tawi, kisha mizania yake kwenye mzunguko na COP.

Kidokezo

Kwenye isokoriki,

nR\,\Delta T=V\,\Delta P

na kazi ni sifuri. Kwenye isobariki,

nR\,\Delta T=P\,\Delta V

na

W=-P\Delta V

. Kila funksioni ya hali hurejea kwenye thamani yake ya mwanzo mwishoni mwa mzunguko.

Jibu la kina

Suluhisho

Swali la 1. Nukta

A

,

B

,

C

na

D

ziko mtawalia chini kushoto, chini kulia, juu kulia na juu kushoto. Matawi

A\to B

na

C\to D

ni ya isobariki;

B\to C

na

D\to A

ni ya isokoriki. Njia

A\to B\to C\to D\to A

hufuata kinyume cha mwelekeo wa saa.

Kielelezo 1. Mzunguko mstatili wa isobariki—isokoriki kwenye mchoro wa Clapeyron.

Swali la 2. Kazi inayopokelewa na gesi ni

W=-\int P_{\mathrm{ext}}\,\mathrm dV.

Ni sifuri kwenye isokoriki $B\to C$ na $D\to A$ . Kwenye isobariki mbili,

W_{AB}=-P_1(V_2-V_1)=-P_1\Delta V, \qquad W_{CD}=-P_2(V_1-V_2)=P_2\Delta V.

Hivyo,

\boxed{W_{\mathrm{cycle}} =(-P_1+P_2)\Delta V =\Delta P\,\Delta V>0}.

Thamani hii ni eneo la mstatili kwenye mchoro wa Clapeyron.

Swali la 3. Kwa gesi kamilifu ya atomi moja,

\Delta U=nc_V\Delta T=\frac32nR\Delta T.

Kwenye isobariki, mlinganyo wa hali unatoa $nR\Delta T=P\Delta V_{\mathrm{branche}}$ . Kwa hiyo,

\Delta U_{AB}=\frac32P_1\Delta V, \qquad \Delta U_{CD}=-\frac32P_2\Delta V.

Kwenye isokoriki, unatoa $nR\Delta T=V\Delta P_{\mathrm{branche}}$ , na hivyo

\Delta U_{BC}=\frac32V_2\Delta P, \qquad \Delta U_{DA}=-\frac32V_1\Delta P.

Hatimaye, kanuni ya kwanza $\Delta U=Q+W$ , yaani $Q=\Delta U-W$ , inaelekeza kwenye jedwali la muhtasari:

\begin{aligned} \begin{array}{c|c|c|c} \text{Tawi} & W & \Delta U & Q=\Delta U-W\\ \hline A\to B & -P_1\Delta V & \frac32P_1\Delta V & \frac52P_1\Delta V\\[2pt] B\to C & 0 & \frac32V_2\Delta P & \frac32V_2\Delta P\\[2pt] C\to D & P_2\Delta V & -\frac32P_2\Delta V & -\frac52P_2\Delta V\\[2pt] D\to A & 0 & -\frac32V_1\Delta P & -\frac32V_1\Delta P \end{array} \end{aligned}

Swali la 4. Jumla ya mabadiliko ya nishati ya ndani ni sifuri. Kwa hiyo kanuni ya kwanza inalazimisha

Q_{\mathrm{cycle}}=-W_{\mathrm{cycle}}=-\Delta P\,\Delta V<0.

Kwa ujumla gesi hupokea kazi: mzunguko ni wa kupokea kazi. Hupokea joto kwenye $A\to B$ na $B\to C$ . Kwenye matawi haya mawili, huchukua joto kutoka hifadhi baridi ambazo inagusana nazo: kwa hiyo hifadhi hizi za nje (kwa mfano, nafasi iliyofungwa na chakula ndani ya friji), wala si gesi inayozunguka yenyewe, ndizo zinazopozwa.

Kwenye $C\to D$ na $D\to A$ , kinyume chake gesi hutoa joto kwa hifadhi moto, kwa mfano hewa ya chumba. Kwa kuandika $Q_{\mathrm{chaud}}>0$ kama jumla ya joto linalopokelewa na hifadhi hizi,

Q_{\mathrm{chaud}} =-(Q_{CD}+Q_{DA}) =\frac52P_2\Delta V+\frac32V_1\Delta P.

Kwa njia hii mzunguko huhamisha joto kutoka hifadhi baridi kwenda hifadhi moto kutokana na kazi inayopokea.

Swali la 5. Joto linalochukuliwa na gesi ni

Q_f =Q_{AB}+Q_{BC} =\frac52P_1\Delta V+\frac32V_2\Delta P.

Tunapata

\boxed{ \mathrm{COP} =\frac{\frac52P_1\Delta V+\frac32V_2\Delta P} {\Delta P\,\Delta V}. }

Swali la 6. COP hupima faida ya upoozaji inayopatikana ikilinganishwa na kazi iliyowekezwa: COP ya $k$ inamaanisha kuwa kila jouli ya kazi iliyotolewa huruhusu jouli $k$ za joto kuchukuliwa kutoka hifadhi baridi.

Tofauti na ufanisi wa injini ya joto, COP si sehemu ya nishati iliyopokelewa inayobadilishwa kuwa kazi. Gesi hupokea kazi $W_{\mathrm{in}}$ na joto $Q_f$ linalochukuliwa kutoka hifadhi baridi kwa pamoja, kisha hutoa jumla yake kwa hifadhi moto:

\boxed{Q_{\mathrm{chaud}}=Q_f+W_{\mathrm{in}}}.

Kwa hiyo hakuna sababu ya $Q_f$ kuwa ndogo kuliko $W_{\mathrm{in}}$ , na COP inaweza kuwa kubwa kuliko 1 bila kukiuka uhifadhi wa nishati.

Swali la 7. Hapa $\Delta P=2{,}0\times10^5$ Pa na $\Delta V=1{,}0\times10^{-2}$ m $^3$ :

\begin{aligned} \begin{array}{c|r|r|r} \text{Tawi} & W\ (\mathrm J) & \Delta U\ (\mathrm J) & Q\ (\mathrm J)\\ \hline A\to B & -1000 & 1500 & 2500\\ B\to C & 0 & 4500 & 4500\\ C\to D & 3000 & -4500 & -7500\\ D\to A & 0 & -1500 & -1500 \end{array} \end{aligned}

Hivyo $W_{\mathrm{cycle}}=+2000$ J, $Q_{\mathrm{cycle}}=-2000$ J na $\Delta U_{\mathrm{cycle}}=0$ . Joto linalochukuliwa ni

Q_f=2500+4500=7000\ \mathrm{J},

ilhali joto linalotolewa kwa hifadhi moto ni

Q_{\mathrm{chaud}}=7500+1500=9000\ \mathrm{J} =Q_f+W_{\mathrm{cycle}}.

Kwa hiyo mgawo wa utendaji wa friji ni

\mathrm{COP}=\frac{7000}{2000}=3{,}5.