Zoezi la thermodynamiki lililofanyiwa kazi

Mzunguko mstatili wa kupooza?

Zoezi 23 · Somo 5 — Matumizi kwa Gesi Bora

mzunguko wa termodinamiki
mzunguko mstatili
mchoro wa Clapeyron
kazi
joto
eneo
gesi kamilifu
mzunguko wa kupokea kazi
mashine ya friji

Swali

Tunazingatia moli $n$ za gesi kamilifu ya atomi moja, yenye $U = \frac{3}{2} n R T$ , ikifuata kwa nusutuli mzunguko mstatili kinyume cha mwelekeo wa saa

A (P_{1}, V_{1}) \to B (P_{1}, V_{2}) \to C (P_{2}, V_{2}) \to D (P_{2}, V_{1}) \to A,

ambapo $V_{2} > V_{1}$ na $P_{2} > P_{1}$ . Tutaandika

Δ P = P_{2} - P_{1} > 0, Δ V = V_{2} - V_{1} > 0.

Chora mzunguko kwenye mchoro wa Clapeyron $(P, V)$ na ubainishe aina ya kila tawi.
Kokotoa kazi inayopokelewa kwenye kila moja ya matawi manne kwa kutumia $Δ V$ inapobadilika, kisha kazi yote kwa kutumia $Δ P$ na $Δ V$ . Pata tena thamani yake kutokana na eneo la mstatili.
Eleza $Δ U$ na $Q$ kwenye kila tawi kwa kutumia $P_{1}$ , $P_{2}$ , $V_{1}$ , $V_{2}$ , $Δ P$ na $Δ V$ , ukitumia $Δ P$ kwenye isokoriki na $Δ V$ kwenye isobariki.
Hakikisha kuwa $Δ U_{cycle} = 0$ na $Q_{cycle} = - W_{cycle}$ . Je, ni mzunguko wa injini au wa kupokea kazi? Gesi hupokea joto kwenye matawi yapi na hulitoa kwenye matawi yapi? Onyesha kwamba joto lote linalotolewa na gesi, $Q_{out} > 0$ , ni sawa na joto lote inalopokea, $Q_{in} > 0$ , likijumlishwa na kazi inayopokelewa $W_{cycle}$ .
Eleza halijoto $T_{A}$ , $T_{B}$ , $T_{C}$ na $T_{D}$ za pembe nne. Ipi ni ya chini zaidi na ipi ni ya juu zaidi? Halijoto ya gesi hubadilikaje kando ya kila tawi? Gesi hupokea joto kati ya halijoto zipi, na hulitoa kati ya halijoto zipi?
Tungependa kutumia mzunguko huu kama jokofu: kuchukua joto kutoka sehemu ya ndani yenye baridi na kulitoa kwa hewa yenye joto zaidi ya chumba. Ili kitu kipokee joto, chanzo kinachogusana nacho lazima kiwe na joto zaidi kuliko kitu hicho. Vyanzo vinavyoipa gesi joto, na vile vinavyopokea joto kutoka kwake, lazima viwe na halijoto zipi? Je, mzunguko huu unaweza kufanya kazi kama jokofu?
Matumizi ya namba: $P_{1} = 1, 0$ bar, $P_{2} = 3, 0$ bar, $V_{1} = 5, 0$ L na $V_{2} = 15, 0$ L. Hesabu $W$ na $Q$ kwenye kila tawi, kisha $W_{cycle}$ , $Q_{in}$ na $Q_{out}$ . Mwisho, hesabu uwiano $T_{B} / T_{A}$ , $T_{C} / T_{A}$ na $T_{D} / T_{A}$ , kisha toa hitimisho.

Kidokezo

Kwenye isokoriki,

n R Δ T = V Δ P

na kazi ni sifuri. Kwenye isobariki,

n R Δ T = P Δ V

W = - P Δ V

. Kila funksioni ya hali hurejea kwenye thamani yake ya mwanzo mwishoni mwa mzunguko.

Jibu la kina

Suluhisho

Swali la 1. Nukta

A

B

C

D

ziko mtawalia chini kushoto, chini kulia, juu kulia na juu kushoto. Matawi

A \to B

C \to D

ni ya isobariki;

B \to C

D \to A

ni ya isokoriki. Njia

A \to B \to C \to D \to A

hufuata kinyume cha mwelekeo wa saa.

Kielelezo 1. Mzunguko mstatili wa isobariki–isokoriki kwenye mchoro wa Clapeyron.

Swali la 2. Kazi inayopokelewa na gesi ni

W = - \int P_{ext} d V .

Ni sifuri kwenye isokoriki $B \to C$ na $D \to A$ . Kwenye isobariki mbili,

W_{A B} = - P_{1} (V_{2} - V_{1}) = - P_{1} Δ V, W_{C D} = - P_{2} (V_{1} - V_{2}) = P_{2} Δ V .

Hivyo,

W_{cycle} = (- P_{1} + P_{2}) Δ V = Δ P Δ V > 0

Thamani hii ni eneo la mstatili kwenye mchoro wa Clapeyron.

Swali la 3. Kwa gesi kamilifu ya atomi moja,

Δ U = n c_{V} Δ T = \frac{3}{2} n R Δ T .

Kwenye isobariki, mlinganyo wa hali unatoa $n R Δ T = P Δ V_{branch}$ . Kwa hiyo,

Δ U_{A B} = \frac{3}{2} P_{1} Δ V, Δ U_{C D} = - \frac{3}{2} P_{2} Δ V .

Kwenye isokoriki, unatoa $n R Δ T = V Δ P_{branch}$ , na hivyo

Δ U_{B C} = \frac{3}{2} V_{2} Δ P, Δ U_{D A} = - \frac{3}{2} V_{1} Δ P .

Hatimaye, kanuni ya kwanza $Δ U = Q + W$ , yaani $Q = Δ U - W$ , inaelekeza kwenye jedwali la muhtasari:

Tawi A \to B B \to C C \to D D \to A W - P_{1} Δ V 0 P_{2} Δ V 0 Δ U \frac{3}{2} P_{1} Δ V \frac{3}{2} V_{2} Δ P - \frac{3}{2} P_{2} Δ V - \frac{3}{2} V_{1} Δ P Q = Δ U - W \frac{5}{2} P_{1} Δ V \frac{3}{2} V_{2} Δ P - \frac{5}{2} P_{2} Δ V - \frac{3}{2} V_{1} Δ P

Swali la 4. Jumla ya mabadiliko ya nishati ya ndani ni sifuri, kama kwa kila dhima ya hali katika mzunguko. Kwa hiyo kanuni ya kwanza inatoa

Q_{cycle} = - W_{cycle} = - Δ P Δ V < 0.

Kwa jumla gesi hupokea kazi: mzunguko ni wa kupokea kazi. Kwa mujibu wa jedwali, gesi hupokea joto kwenye $A \to B$ na $B \to C$ , na hulitoa kwenye $C \to D$ na $D \to A$ :

Q_{in} = Q_{A B} + Q_{B C} = \frac{5}{2} P_{1} Δ V + \frac{3}{2} V_{2} Δ P, Q_{out} = - (Q_{C D} + Q_{D A}) = \frac{5}{2} P_{2} Δ V + \frac{3}{2} V_{1} Δ P .

Kwa kutoa moja kutoka nyingine, na kutumia $P_{2} - P_{1} = Δ P$ na $V_{2} - V_{1} = Δ V$ ,

Q_{out} - Q_{in} = \frac{5}{2} Δ P Δ V - \frac{3}{2} Δ P Δ V = Δ P Δ V = W_{cycle},

hivyo

Q_{out} = Q_{in} + W_{cycle}

Katika mzunguko mmoja, gesi hutoa kama joto nishati yote iliyopokea, joto na kazi pamoja.

Swali la 5. Mlinganyo wa hali unatoa

T = P V / (n R)

kwenye kila pembe:

T_{A} = \frac{P _{1} V _{1}}{n R}, T_{B} = \frac{P _{1} V _{2}}{n R}, T_{C} = \frac{P _{2} V _{2}}{n R}, T_{D} = \frac{P _{2} V _{1}}{n R} .

Kwa kuwa $P_{1} < P_{2}$ na $V_{1} < V_{2}$ , zao $P V$ ni dogo zaidi kwenye $A$ na kubwa zaidi kwenye $C$ : $T_{A}$ ni halijoto ya chini zaidi ya mzunguko, $T_{C}$ ni ya juu zaidi, na $T_{B}$ na $T_{D}$ ziko katikati.

Kwenye isobariki

A \to B

V

huongezeka kwa shinikizo lisilobadilika, hivyo

T

hupanda kutoka

T_{A}

hadi

T_{B}

. Kwenye isokoriki

B \to C

P

huongezeka kwa ujazo usiobadilika, hivyo

T

hupanda kutoka

T_{B}

hadi

T_{C}

. Vivyo hivyo,

T

hushuka kutoka

T_{C}

hadi

T_{D}

kwenye

C \to D

, kisha kutoka

T_{D}

hadi

T_{A}

kwenye

D \to A

. Kwa hiyo gesi hupokea joto wakati halijoto yake inapanda kutoka thamani ya chini zaidi

T_{A}

hadi ya juu zaidi

T_{C}

, na hutoa joto wakati inashuka tena kutoka

T_{C}

hadi

T_{A}

. Swali la 6. Ili kupokea joto, gesi lazima igusane na vyanzo vyenye joto angalau sawa na yake; katika kikomo cha mabadiliko nusutuli, halijoto ya vyanzo hufuata ile ya gesi. Kwa hiyo vyanzo vinavyoipa gesi joto vina halijoto kuanzia

T_{A}

hadi

T_{C}

, halijoto ya juu zaidi ya mzunguko. Kinyume chake, vyanzo vinavyopokea joto lake vina halijoto kuanzia

T_{C}

hadi

T_{A}

, halijoto ya chini zaidi ya mzunguko. Hivyo hakuna upande baridi na upande moto vilivyotengana: gesi huchukua joto kutoka vyanzo vyenye joto kali sana na hutoa joto kwa vyanzo baridi sana. Mzunguko huu hauwezi kutumika kama jokofu, ambalo lazima lichukue joto kwenye halijoto za chini zaidi na kulitoa kwenye halijoto za juu zaidi. Mzunguko hupokea kazi na kuirudisha yote kama joto (

Q_{cycle} = - W_{cycle}

), huku ukigawanya upya joto kati ya vyanzo vya halijoto tofauti. Kinyume chake, jokofu lazima lifyonze joto kwenye sehemu baridi zaidi za mzunguko wake na kulitoa kwenye sehemu zenye joto zaidi. Hivyo ndivyo ilivyo kwa mzunguko wa Carnot unaoendeshwa kinyume, unaochunguzwa katika Somo la 6: gesi hupokea joto kando ya isothermi baridi na hulitoa kando ya isothermi moto. Kwa hiyo, mzunguko kupokea kazi hakutoshi kuufanya kuwa mzunguko wa kupooza. Swali la 7. Hapa

Δ P = 2, 0 \times 1 0^{5}

Pa na

Δ V = 1, 0 \times 1 0^{- 2}

^{3}

Tawi A \to B B \to C C \to D D \to A W (J) - 1000 030000 Δ U (J) 15004500 - 4500 - 1500 Q (J) 25004500 - 7500 - 1500

Hivyo $W_{cycle} = + 2000 J$ , $Q_{cycle} = - 2000 J$ na $Δ U_{cycle} = 0$ . Joto lililopokelewa ni $Q_{in} = 2500 + 4500 = 7000 J$ na joto lililotolewa ni $Q_{out} = 7500 + 1500 = 9000 J = Q_{in} + W_{cycle}$ . Uwiano wa halijoto hautegemei $n$ :

\frac{T _{B}}{T _{A}} = \frac{V _{2}}{V _{1}} = 3, \frac{T _{C}}{T _{A}} = \frac{P _{2} V _{2}}{P _{1} V _{1}} = 9, \frac{T _{D}}{T _{A}} = \frac{P _{2}}{P _{1}} = 3.

Kama halijoto ya chini zaidi ya mzunguko ingekuwa ile ya sehemu ya ndani yenye baridi, kwa mfano $T_{A} = 270 K$ , gesi ingelazimika kupokea joto kutoka vyanzo vyenye halijoto hadi $T_{C} = 9 T_{A} ≃ 2400 K$ . Ni wazi kwamba mzunguko wa aina hii haupozi sehemu hiyo.