Swali

Zoezi hili ni zaidi ya zoezi maarufu la kawaida: pia ni la msingi katika kuonyesha mojawapo ya tofauti kati ya badiliko reversibeli na badiliko lisiloreversibeli (taz. pia Somo la 6).

Tunazingatia moli $n$ za gesi kamilifu, yenye uwezo wa joto thabiti na uwiano $\gamma=c_P/c_V>1$ , zilizofungiwa katika silinda wima iliyowekewa kihami joto, yenye eneo la sehemu ya msalaba $\mathcal S$ , iliyofungwa kwa pistoni yenye kihami joto na misa inayopuuzika, inayosogea bila msuguano. Mazingira ya nje yana shinikizo la angahewa $P_0$ , linalotenda kwenye uso wa juu wa pistoni. Kwenye usawa wa mwanzo, shinikizo la gesi pia ni $P_0$ , na hali yake ni

A=(P_0,V_0,T_0).

Tuna mzigo wa nyongeza wenye misa ya jumla $M$ . Unapowekwa wote juu ya pistoni, shinikizo la nje ni

P_1=P_0+\frac{Mg}{\mathcal S}=xP_0, \qquad x>1.

Tunalinganisha majaribio mawili: ama misa $M$ inagawanywa katika idadi kubwa ya misa ndogo inayoongezwa moja baada ya nyingine, huku kila usawa mpya ukisubiriwa; au misa yote $M$ inawekwa kwa mara moja. Katika hatua ya pili, tunaondoa mzigo wa nyongeza kwa njia ileile: ama chembe ya mchanga baada ya chembe nyingine, au wote kwa mara moja.

Majaribio haya mawili huanza kutoka hali ileile ya mwanzo A, iliyoonyeshwa katikati: wakati huo pistoni iko chini ya shinikizo la angahewa P_0 pekee. Upande wa kushoto, mzigo wa nyongeza wenye misa ya jumla M unawekwa chembe ya mchanga baada ya chembe nyingine, hivyo P_ ext huongezeka hatua kwa hatua; unapouondoa kwa njia ileile, njia hiyo hufuatwa kwa mwelekeo wa kinyume. Upande wa kulia, misa ileile M inawekwa kwa mara moja: P_ ext hubadilika ghafla kutoka P_0 hadi P_1. Katika majaribio yote mawili ya mbanano, P_1=P_0+Mg/ S=xP_0. — Kielelezo 1. Majaribio haya mawili huanza kutoka hali ileile ya mwanzo $A$ , iliyoonyeshwa katikati: wakati huo pistoni iko chini ya shinikizo la angahewa $P_0$ pekee. Upande wa kushoto, mzigo wa nyongeza wenye misa ya jumla $M$ unawekwa chembe ya mchanga baada ya chembe nyingine, hivyo $P_{\mathrm{ext}}$ huongezeka hatua kwa hatua; unapouondoa kwa njia ileile, njia hiyo hufuatwa kwa mwelekeo wa kinyume. Upande wa kulia, misa ileile $M$ inawekwa kwa mara moja: $P_{\mathrm{ext}}$ hubadilika ghafla kutoka $P_0$ hadi $P_1$ . Katika majaribio yote mawili ya mbanano, $P_1=P_0+Mg/\mathcal S=xP_0$ .

Mzigo wa nyongeza unaongezwa polepole sana, hivyo shinikizo la nje hubadilika taratibu kutoka $P_0$ hadi $P_1$ . Eleza kwa nini kila wakati shinikizo $P$ la gesi ni sawa na shinikizo la nje $P_{\mathrm{ext}}$ . Ni sheria gani inayoweza kutumiwa kuhusianisha hali zinazofuatana za gesi? Kutokana nayo, pata $P_B/P_0$ , $T_B/T_0$ na $V_B/V_0$ kama funksioni za $x$ na $\gamma$ .
Sasa tunaanza kutoka hali $B$ na kuondoa mzigo wa nyongeza polepole sana, chembe ya mchanga baada ya chembe nyingine, hadi shinikizo la nje lirejee $P_0$ . Kwa kutumia sheria ileile kama katika swali lililotangulia, onyesha kwamba gesi hurudi kikamilifu kwenye hali yake ya mwanzo $A$ .
Tunaanza tena kutoka $A$ na wakati huu tunaweka misa $M$ kwa mara moja: shinikizo la nje linachukua ghafla thamani thabiti $P_1$ . Bainisha kikamilifu hali ya mwisho $B'$ pamoja na $W_{AB'}$ , $Q_{AB'}$ na $\Delta U_{AB'}$ .
Kwanza tumia mfano $\gamma=5/3$ na $x=2$ kulinganisha kwa namba $T_{B'}$ na $T_B$ . Kisha thibitisha kiuchanganuzi ulinganisho kwa kila $\gamma>1$ na kila $x>1$ , halafu linganisha $V_{B'}$ na $V_B$ . Ni upi kati ya mibanano hii miwili unaopasha gesi zaidi, na ni upi unaoibana zaidi?
Kutoka $B'$ , tunaondoa ghafla mzigo wote wa nyongeza: shinikizo la nje linarudi kwenye shinikizo la angahewa $P_0$ . Bainisha hali ya mwisho $B"$ . Onyesha kama $T_{B"}$ na $V_{B"}$ ni kubwa au ndogo kuliko thamani zake za mwanzo.
Fanya mizania ya nishati ya safari ya kwenda na kurudi $A\to B'\to B"$ . Eleza kile ambacho somo la 6 litaongeza kwenye ulinganisho huu.

Kidokezo

Kwa badiliko la ghafla, tumia

W=-P_{\mathrm{ext}}(V_f-V_i)

na mlinganyo wa hali kwenye hali za usawa za mwanzo na mwisho pekee. Ili kulinganisha

B

na

B'

, tunaweza kuchunguza logarithimu ya uwiano

T_{B'}/T_B

.

Jibu la kina

Suluhisho

Tunakumbuka kwamba

c_V=\frac{R}{\gamma-1}

.

Swali la 1. Mzigo wa nyongeza umegawanywa katika misa ndogo za kutosha, na kila usawa mpya unafikiwa kabla ya kuongeza misa inayofuata: kwa hiyo gesi hupitia mfululizo endelevu wa hali za usawa: badiliko ni la nusutuli. Kwa kuwa pistoni ina misa inayopuuzika na haina msuguano, usawa wa kimekanika kila wakati unalazimisha $P\mathcal S=P_{\mathrm{ext}}\mathcal S$ , yaani $P=P_{\mathrm{ext}}$ . Kwa kuwa kuta zimewekewa kihami joto, $\delta Q=0$ . Chini ya hali hizi, tunaweza kutumia sheria za Laplace. Maumbo mawili muhimu kati ya $A$ na $B$ ni

P_0V_0^\gamma=P_BV_B^\gamma, \qquad T_0^\gamma P_0^{1-\gamma}=T_B^\gamma P_B^{1-\gamma}.

Kwa kuwa $P_B=P_1=xP_0$ , uhusiano wa kwanza unatoa moja kwa moja $V_B/V_0=x^{-1/\gamma}$ , ilhali wa pili unatoa $T_B/T_0=x^{(\gamma-1)/\gamma}$ . Hatimaye, $P_B/P_0=x$ , $T_B/T_0=x^{(\gamma-1)/\gamma}$ na $V_B/V_0=x^{-1/\gamma}$ .

Swali la 2. Wakati mzigo wa nyongeza unaondolewa hatua kwa hatua, gesi hubaki katika usawa wa kimekanika na mazingira ya nje na hufuata adiabati ileile ya Laplace, lakini kwa mwelekeo wa kinyume. Mwishoni, $P_f=P_0$ . Mahusiano ya Laplace basi yanatoa

T_f =T_B\left(\frac{P_0}{P_1}\right)^{(\gamma-1)/\gamma} =T_0x^{(\gamma-1)/\gamma}x^{-(\gamma-1)/\gamma} =T_0,

na

V_f =V_B\left(\frac{P_1}{P_0}\right)^{1/\gamma} =V_0x^{-1/\gamma}x^{1/\gamma} =V_0.

Kwa hiyo gesi hurudi kikamilifu kwenye hali $A=(P_0,V_0,T_0)$ . Badiliko linaweza kufuatwa katika mielekeo yote miwili huku likipitia mfululizo uleule wa hali za usawa: tunasema kuwa badiliko ni reversibeli.

Swali la 3. Hatupaswi kutumia sheria za Laplace: wakati wa badiliko hili la ghafla, gesi haipiti katika mfululizo wa hali za usawa. Wakati wa badiliko, ni shinikizo la nje lisilobadilika $P_1$ pekee linalohusika katika kazi: $W_{AB'}=-P_1(V_{B'}-V_0)$ . Kwenye usawa wa mwisho, $P_{B'}=P_1$ . Kwa kutumia $P_0V_0=nRT_0$ , $P_1V_{B'}=nRT_{B'}$ , $Q_{AB'}=0$ na $\Delta U_{AB'}=nc_V(T_{B'}-T_0)$ , kanuni ya kwanza inatoa

T_{B'}=T_0\frac{1+(\gamma-1)x}{\gamma}.

Weka

\theta=\frac{1+(\gamma-1)x}{\gamma}.

Basi

P_{B'}=xP_0, \qquad T_{B'}=\theta T_0, \qquad V_{B'}=\frac{\theta}{x}V_0.

Swali la 4. Tuanzie mfano $\gamma=5/3$ na $x=2$ . Mbanano wa taratibu unatoa $T_B/T_0=2^{2/5}\simeq1{,}32$ , ilhali mbanano wa ghafla unatoa

T_{B'}/T_0=\theta=[1+(2/3)\times2]/(5/3)=7/5=1{,}40.

Katika mfano huu, mbanano wa ghafla hupasha gesi zaidi. Tuonyeshe kwamba matokeo haya ni ya jumla. Weka

f(x)=\ln\!\left(\frac{T_{B'}}{T_B}\right) =\ln\!\left(\frac{1+(\gamma-1)x}{\gamma}\right) -\frac{\gamma-1}{\gamma}\ln x.

Tuna $f(1)=0$ , na

f'(x) =\frac{\gamma-1}{1+(\gamma-1)x} -\frac{\gamma-1}{\gamma x} =\frac{(\gamma-1)(x-1)} {\gamma x\,[1+(\gamma-1)x]}

Kwa $\gamma>1$ na $x>1$ , vigawo vyote vya kigawanyo ni chanya na $f'(x)>0$ . Hivyo $f(x)>f(1)=0$ , kwa hiyo $T_{B'}/T_B>1$ , yaani $T_{B'}>T_B$ . Hali hizi mbili zina shinikizo lilelile $P_1$ ; kwa hiyo mlinganyo wa gesi kamilifu pia unalazimisha $V_{B'}>V_B$ . Mbanano wa ghafla hupasha gesi zaidi, lakini huibana kidogo kuliko mbanano wa taratibu.

Swali la 5. Kuondoa ghafla mzigo wa nyongeza kunabadilisha shinikizo la nje kutoka $P_1$ hadi $P_0=P_1/x$ . Kwa hiyo tunarudia hesabu ya swali la 3 kwa kubadilisha uwiano wa shinikizo $x$ na kinyume chake $1/x$ . Hivyo matokeo ya swali la 3 yanakuwa

\frac{T_{B"}}{T_{B'}} =\frac{1+(\gamma-1)P_0/P_1}{\gamma} =\frac{1+(\gamma-1)/x}{\gamma}.

Kwa kuweka

\phi=\frac{1+(\gamma-1)/x}{\gamma},

tunapata

P_{B"}=P_0, \qquad T_{B"}=\theta\phi\,T_0, \qquad V_{B"}=\theta\phi\,V_0.

Lakini

\theta\phi-1 =\frac{\gamma-1}{\gamma^2} \left(x+\frac1x-2\right).

Katika hali inayochunguzwa, $x>1$ , kwa hiyo $x>0$ na $x+1/x-2=(x-1)^2/x>0$ . Kwa kuwa $\gamma>1$ , hakika tuna $\theta\phi-1>0$ . Kwa hiyo,

\boxed{T_{B"}>T_0}, \qquad \boxed{V_{B"}>V_0}.

Baada ya safari ya kwenda na kurudi ya shinikizo la nje, kwa hiyo gesi hairudi kwenye hali $A$ . Tofauti hii ni dalili ya kwanza ya kutoreversibeli: kurudisha kizuizi cha nje kwenye thamani yake ya mwanzo hakutoshi kurudisha mfumo kwenye hali yake ya mwanzo.

Swali la 6. Upanuzi wa ghafla ni wa adiabati, na kwa hiyo katika safari kamili ya kwenda na kurudi,

Q_{\mathrm{tot}}=0, \qquad W_{\mathrm{tot}}=\Delta U_{\mathrm{tot}} =nc_VT_0(\theta\phi-1)>0.

Mabadiliko ya nje yanarudisha shinikizo kwenye thamani yake ya mwanzo, lakini gesi imepokea kazi halisi na inabaki ikiwa na joto zaidi na imepanuka zaidi. Somo la 6 litatumia tena hali hizi kuonyesha kwamba mbanano reversibeli hautokezi entropi, ilhali kila moja ya mabadiliko mawili ya ghafla huitokeza.