Zoezi la thermodynamiki lililofanyiwa kazi

Zoezi la somo: sheria za Laplace

Zoezi 18 · Somo 5 — Matumizi kwa Gesi Bora

zoezi la somo
sheria ya Laplace
kielezo cha adiabati
gamma
upanuzi wa adiabati
kanuni ya kwanza katika umbo la diferenshali

Swali

Tunazingatia moli $n$ za gesi kamilifu yenye kielezo cha adiabati $γ = c_{P} / c_{V}$ kinachodhaniwa kuwa thabiti. Mfumo unadhaniwa kuwa umefungwa. Tunakubali uhusiano wa Mayer $c_{P} - c_{V} = R$ (tazama zoezi kuhusu ugunduzi wa $c_{P}$ ).

Onyesha kuwa $c_{V} = \frac{R}{γ - 1}, c_{P} = \frac{γ R}{γ - 1} .$
Gesi hupitia badiliko la adiabati la nusutuli ambapo tunadhani $P_{ext} = P$ . Kwa kuanzia kanuni ya kwanza katika umbo la diferenshali, onyesha kuwa $\frac{d T}{T} + (γ - 1) \frac{d V}{V} = 0,$ kisha dedua kuwa $T V^{γ - 1} = thabiti$ katika badiliko lote.
Dedua maumbo mengine mawili ya sheria ya Laplace: $P V^{γ} = thabiti$ na $T^{γ} P^{1 - γ} = thabiti$ .
Fikiria upanuzi kama huo unaoongeza mara mbili ujazo wa gesi ya atomi moja ( $γ = 5/3$ ), yenye $n = 1$ moli, kwenye halijoto ya mwanzo $T_{i} = 300$ K. Kokotoa $T_{f}$ , kisha $Δ T$ na $W$ , na utoe maoni kuhusu ishara za $Δ T$ na $W$ .
Kwenye mchoro wa Clapeyron $(P, V)$ , linganisha katika nukta ileile mteremko wa adiabati kama hiyo na wa isothemali.

Kidokezo

Kwa swali la 2:

d U = n c_{V} d T

δ W = - P d V

huku

P = n R T / V

, kisha tenga vigezo. Kwa swali la 5, fanya diferenshali ya

P V^{γ} = thabiti

P V = thabiti

Jibu la kina

Suluhisho

Swali la 1. Kutoka

c_{P} = γ c_{V}

c_{P} - c_{V} = R

, tunapata

c_{V} (γ - 1) = R

, na hivyo fomula zote mbili. Swali la 2. Adiabati:

δ Q = 0

, kwa hiyo

d U = δ W

, yaani

n c_{V} d T = - P d V = - \frac{n R T}{V} d V

. Kwa

c_{V} = R / (γ - 1)

\frac{d T}{T} = - (γ - 1) \frac{d V}{V} .

Kwa kuintegrali: $ln T + (γ - 1) ln V = thabiti$ , yaani $T V^{γ - 1} = thabiti$ .

Swali la 3. Kwa kubadilisha

T = P V / (n R)

tunapata

P V^{γ} = thabiti

kwa kuwa

n

ni thabiti. Kwa kubadilisha

V = n R T / P

, tunapata

T (\frac{T}{P})^{γ - 1} = thabiti

, na hivyo

T^{γ} P^{1 - γ} = thabiti

. Swali la 4. Njia rahisi zaidi ni kutumia sheria ya Laplace

T V^{γ - 1} = thabiti

, ambayo inatoa:

T_{i} V_{i}^{γ - 1} = T_{f} V_{f}^{γ - 1}

, yaani

T_{f} = T_{i} 2^{- (γ - 1)} = 300 \times 2^{- 2/3} \approx 189

K. Kumbuka kwamba ni lazima kutumia halijoto katika kelvini kwenye hesabu hii ili kuepuka kosa! Tunapata

Δ T = T_{f} - T_{i} \approx - 111

K. Kwa kazi, kwa kuwa

Q = 0

W = Δ U = \frac{3}{2} R Δ T \approx \frac{3}{2} \times 8, 314 \times (- 111) \approx - 1, 4 kJ .

$W < 0$ : gesi hufanya kazi kwa mazingira ya nje wakati wa upanuzi. Kwa kuwa haiwezi kuchota nishati hiyo kutoka chanzo chochote cha joto ( $Q = 0$ ), huitoa katika nishati yake ya ndani, na hivyo kupoa kwa $Δ T < 0$ .

Swali la 5. Kwa kufanya diferenshali ya

P V = thabiti

(\frac{d P}{d V})_{isoT} = - \frac{P}{V}

. Kwa kufanya diferenshali ya

P V^{γ} = thabiti

(\frac{d P}{d V})_{adiab} = - γ \frac{P}{V}

. Adiabati ina mteremko mkali mara

γ

kuliko isothemali: kubana bila kuondoa joto huongeza shinikizo kwa kasi zaidi, kwa sababu halijoto pia huongezeka.