Zoezi la thermodynamiki lililofanyiwa kazi

Kazi na joto kati ya hali mbili kupitia njia mbili

Zoezi 11 · Somo 5 — Matumizi kwa Gesi Bora

kazi ya nguvu za shinikizo
joto
isothemali
isokoriki
mchoro wa Clapeyron
diferenshali kamili
gesi kamilifu

Swali

Tunazingatia moli $n$ za gesi kamilifu ya atomi moja, yenye nishati ya ndani $U=\frac{3}{2}nRT$ . Tunaunganisha hali $A(T_1,V_1)$ na hali $B(T_2,V_2)$ kwa njia mbili za nusutuli, huku $P_{\mathrm{ext}}=P$ kila wakati:

$\Gamma_1$ : upanuzi wa isothemali kwenye $T_1$ , kutoka $V_1$ hadi $V_2$ , ukifuatwa na badiliko la isokoriki kwenye $V_2$ , kutoka $T_1$ hadi $T_2$ ;
$\Gamma_2$ : badiliko la isokoriki kwenye $V_1$ , kutoka $T_1$ hadi $T_2$ , likifuatwa na upanuzi wa isothemali kwenye $T_2$ , kutoka $V_1$ hadi $V_2$ .

Katika hali ambapo $T_2>T_1$ na $V_2>V_1$ , chora njia $\Gamma_1$ na $\Gamma_2$ kwenye mchoro wa Clapeyron $(P,V)$ . Onyesha hali za kati na mwelekeo wa kufuata njia.
Kokotoa kazi zinazopokelewa $W_1$ na $W_2$ katika kila moja ya njia hizo mbili. Tofauti yao $W_1-W_2$ ni nini?
Bila kukokotoa tena integrali hizo mbili kando, pata kijiometria $W_1-W_2$ kutokana na eneo lililo kati ya njia hizo mbili kwenye mchoro wa Clapeyron.
Kokotoa $\Delta U$ kwenye kila moja ya njia hizo mbili, kisha dedua $Q_1$ na $Q_2$ . Hitimisha kuhusu asili ya $\delta Q$ .
Matumizi ya namba: $n=1$ moli, $T_1=300$ K, $T_2=600$ K na $V_2=2V_1$ .

Kidokezo

Kwenye mchoro wa Clapeyron, isokoriki ni mstari wima na isothemali ya gesi kamilifu hutimiza

P=nRT/V

. Isothemali yenye halijoto

T_2

iko juu ya ile yenye halijoto

T_1

. Isokoriki haichangii kazi ya nguvu za shinikizo. Kwa swali la 3, kazi inayopokelewa ni kinyume cha eneo lenye ishara lililo chini ya njia kwenye mchoro

(P,V)

Jibu la kina

Suluhisho

Swali la 1. Tuite

C

hali ya kati ya njia

\Gamma_1

D

hali ya kati ya njia

\Gamma_2

. Shinikizo na ujazo wake ni

\begin{aligned} A&=\left(\frac{nRT_1}{V_1},V_1\right),& C&=\left(\frac{nRT_1}{V_2},V_2\right),\\ D&=\left(\frac{nRT_2}{V_1},V_1\right),& B&=\left(\frac{nRT_2}{V_2},V_2\right). \end{aligned}

Kwa kuwa $T_2>T_1$ , isothemali $T_2$ iko juu ya isothemali $T_1$ . Njia $\Gamma_1$ huchorwa kutoka $A$ kuelekea $C$ , upande wa kulia kwenye isothemali ya chini $T_1$ , kisha wima kutoka $C$ kuelekea $B$ kwenye isokoriki $V_2$ . Njia $\Gamma_2$ kwanza hupanda wima kutoka $A$ kuelekea $D$ kwenye isokoriki $V_1$ , kisha huenda kulia kutoka $D$ kuelekea $B$ kwenye isothemali ya juu $T_2$ . Kwa hiyo mishale ya njia zote mbili ni

\Gamma_1:A\xrightarrow{\,T=T_1\,}C\xrightarrow{\,V=V_2\,}B, \qquad \Gamma_2:A\xrightarrow{\,V=V_1\,}D\xrightarrow{\,T=T_2\,}B.

Njia _1 na _2 kwenye mchoro wa Clapeyron. Mikunjo ya kijivu huendeleza isothemali T_1 na T_2. — Kielelezo 1. Njia $\Gamma_1$ na $\Gamma_2$ kwenye mchoro wa Clapeyron. Mikunjo ya kijivu huendeleza isothemali $T_1$ na $T_2$ .

Swali la 2. Kwa kaida ya kazi inayopokelewa na gesi, $\delta W=-P\,\mathrm{d}V$ . Isokoriki haichangii na, kwenye isothemali yenye halijoto $T$ ,

W=-\int_{V_1}^{V_2}\frac{nRT}{V}\,\mathrm{d}V =-nRT\ln\frac{V_2}{V_1}.

Kwa hiyo tunapata

W_1=-nRT_1\ln\frac{V_2}{V_1}, \qquad W_2=-nRT_2\ln\frac{V_2}{V_1},

kisha

W_1-W_2 =nR(T_2-T_1)\ln\frac{V_2}{V_1}\neq 0.

Hali za mwanzo na mwisho zinafanana, lakini kazi ni tofauti: $\delta W$ si diferenshali kamili.

Swali la 3. Isokoriki hazifagii eneo lolote. Kwa kuwa kazi inayopokelewa ni kinyume cha eneo chini ya mkunjo, tofauti $W_1-W_2$ ni eneo lililo kati ya isothemali $T_2$ na $T_1$ :

W_1-W_2 =\int_{V_1}^{V_2}\left(\frac{nRT_2}{V}-\frac{nRT_1}{V}\right)\mathrm{d}V =nR(T_2-T_1)\ln\frac{V_2}{V_1}>0.

Tunapata tena matokeo ya swali la 2.

Swali la 4. Nishati ya ndani ya gesi kamilifu ya atomi moja hutegemea halijoto pekee. Kwa hiyo mabadiliko yake yanafanana kwenye njia zote mbili:

\Delta U=U_B-U_A=\frac{3}{2}nR(T_2-T_1).

Kanuni ya kwanza, $\Delta U=W+Q$ , inatoa $Q=\Delta U-W$ , na hivyo

\begin{aligned} Q_1&=\frac{3}{2}nR(T_2-T_1) +nRT_1\ln\frac{V_2}{V_1},\\ Q_2&=\frac{3}{2}nR(T_2-T_1) +nRT_2\ln\frac{V_2}{V_1}. \end{aligned}

Hivyo,

Q_2-Q_1=nR(T_2-T_1)\ln\frac{V_2}{V_1}\neq 0.

Joto linalobadilishwa pia hutegemea njia: $\delta Q$ si diferenshali kamili, tofauti na $\mathrm{d}U$ .

Swali la 5. Kwa $\ln 2\simeq0{,}693$ ,

\begin{aligned} W_1&\simeq-1{,}73\ \mathrm{kJ},& W_2&\simeq-3{,}46\ \mathrm{kJ},\\ \Delta U&\simeq3{,}74\ \mathrm{kJ},& Q_1&\simeq5{,}47\ \mathrm{kJ},& Q_2&\simeq7{,}20\ \mathrm{kJ}. \end{aligned}

Gesi hufanya kazi mara mbili zaidi wakati wa $\Gamma_2$ na hupokea joto la ziada linalolingana nayo.