Zoezi la thermodynamiki lililofanyiwa kazi

Kazi ya badiliko la politropiki PVk=thabitiPV^k=\text{thabiti}

Zoezi 14 · Somo 5 — Matumizi kwa Gesi Bora

  • badiliko la politropiki
  • kazi ya nguvu za shinikizo
  • sheria ya Laplace

Swali

Tunazingatia badiliko la nusutuli la gesi kamilifu ambapo PVk=thabitiPV^k=\text{thabiti}, huku k∈Rk\in\mathbb{R} na k≠1k\neq1.

  1. Kokotoa WA→BW_{A\to B} kwa kutumia PA,VA,PB,VBP_A,V_A,P_B,V_B na kk.
  2. Pata tena matokeo ya isobariki (k=0k=0).
  3. Thamani yake ni nini kwa isokoriki (bila kutumia fomula iliyotangulia)?
  4. Nini hutokea wakati k=1k=1? Pata tena W=−nRTln⁡(VB/VA)W=-nRT\ln(V_B/V_A).

Kidokezo
Weka P(V)=CV−kP(V)=CV^{-k} huku C=PAVAkC=P_AV_A^k, kokotoa integrali, kisha tumia CV1−k=PVCV^{1-k}=PV.

Jibu la kina

Suluhisho
Swali la 1. Uhusiano wa politropiki huandikwa

PVk=C,P(V)=CV−k,C=PAVAk=PBVBk.PV^k=C, \qquad P(V)=CV^{-k}, \qquad C=P_AV_A^k=P_BV_B^k.

Kazi inayopokelewa na gesi, kwa kaida ya benki, ni

WA→B=−∫VAVBP(V) dV=−C∫VAVBV−k dV.W_{A\to B} =-\int_{V_A}^{V_B}P(V)\,\mathrm{d}V =-C\int_{V_A}^{V_B}V^{-k}\,\mathrm{d}V.

Kwa k≠1k\neq1, primitivi ya V−kV^{-k} ni V1−k/(1−k)V^{1-k}/(1-k). Hivyo,

WA→B=−C1−k(VB1−k−VA1−k)=CVA1−k−CVB1−k1−k.W_{A\to B} =-\frac{C}{1-k} \left(V_B^{1-k}-V_A^{1-k}\right) =\frac{CV_A^{1-k}-CV_B^{1-k}}{1-k}.

Na

CVA1−k=PAVA,CVB1−k=PBVB.CV_A^{1-k}=P_AV_A, \qquad CV_B^{1-k}=P_BV_B.

Hatimaye,

WA→B=PAVA−PBVB1−k=PBVB−PAVAk−1.\boxed{ W_{A\to B} =\frac{P_AV_A-P_BV_B}{1-k} =\frac{P_BV_B-P_AV_A}{k-1} }.

Swali la 2. Kwa k=0k=0, uhusiano PV0=CPV^0=C unakuwa P=CP=C: badiliko ni la isobariki. Kwa kuwa PA=PB=PP_A=P_B=P,

WA→B=PAVA−PBVB=P(VA−VB)=−P(VB−VA)=−PΔV.W_{A\to B} =P_AV_A-P_BV_B =P(V_A-V_B) =-P(V_B-V_A) =-P\Delta V.

Tunapata tena usemi wa moja kwa moja wa kazi ya isobariki.

Swali la 3. Kwa badiliko la isokoriki, VB=VAV_B=V_A na dV=0\mathrm{d}V=0 kila wakati. Kwa hiyo,

WA→B=−∫ABP dV=0.W_{A\to B}=-\int_A^B P\,\mathrm{d}V=0.

Isokoriki isiyo sahili hailingani na thamani yoyote finiti ya kk: ikiwa VV ni thabiti, uhusiano PVk=thabitiPV^k=\text{thabiti} ungelazimisha PP pia iwe thabiti. Tunaweza kuiona isokoriki kama kikomo rasmi k→∞k\to\infty pekee.

Swali la 4. Kwa k=1k=1, integrandi ni sawia na 1/V1/V: primitivi si tena kipeo, bali logaritimu. Kwa hiyo ni lazima kukokotoa integrali kando. Uhusiano wa politropiki unakuwa

PV=C.PV=C.

Kwa gesi kamilifu iliyofungwa, PV=nRTPV=nRT; kwa hiyo halijoto ni thabiti na C=nRTC=nRT. Kisha kazi inayopokelewa ni

WA→B=−∫VAVBnRTV dV=−nRTln⁡ ⁣(VBVA).W_{A\to B} =-\int_{V_A}^{V_B}\frac{nRT}{V}\,\mathrm{d}V =-nRT\ln\!\left(\frac{V_B}{V_A}\right).

Kwa mbanano, VB/VA<1V_B/V_A<1, kwa hiyo logaritimu ni hasi na WA→B>0W_{A\to B}>0, kama inavyotarajiwa.