Zoezi la thermodynamiki lililofanyiwa kazi

Kazi ya badiliko la politropiki $P V^{k} = thabiti$

Zoezi 22 · Somo 5 — Matumizi kwa Gesi Bora

badiliko la politropiki
kazi ya nguvu za shinikizo
sheria ya Laplace

Swali

Tunazingatia badiliko la nusutuli la gesi kamilifu ambapo $P V^{k} = thabiti$ , huku $k \in R$ na $k \neq = 1$ .

Kokotoa $W_{A \to B}$ kwa kutumia $P_{A}, V_{A}, P_{B}, V_{B}$ na $k$ .
Pata tena matokeo ya isobariki ( $k = 0$ ).
Thamani yake ni nini kwa isokoriki (bila kutumia fomula iliyotangulia)?
Nini hutokea wakati $k = 1$ ? Pata tena $W = - n R T ln (V_{B} / V_{A})$ .

Kidokezo

Weka

P (V) = C V^{- k}

huku

C = P_{A} V_{A}^{k}

, kokotoa integrali, kisha tumia

C V^{1 - k} = P V

Jibu la kina

Suluhisho

Swali la 1. Uhusiano wa politropiki huandikwa

P V^{k} = C, P (V) = C V^{- k}, C = P_{A} V_{A}^{k} = P_{B} V_{B}^{k} .

Kazi inayopokelewa na gesi, kwa kaida ya benki, ni

W_{A \to B} = - \int_{V_{A}}^{V_{B}} P (V) d V = - C \int_{V_{A}}^{V_{B}} V^{- k} d V .

Kwa $k \neq = 1$ , primitivi ya $V^{- k}$ ni $V^{1 - k} / (1 - k)$ . Hivyo,

W_{A \to B} = - \frac{C}{1 - k} (V_{B}^{1 - k} - V_{A}^{1 - k}) = \frac{C V _{A}^{1 - k} - C V _{B}^{1 - k}}{1 - k} .

C V_{A}^{1 - k} = P_{A} V_{A}, C V_{B}^{1 - k} = P_{B} V_{B} .

Hatimaye,

W_{A \to B} = \frac{P _{A} V _{A} - P _{B} V _{B}}{1 - k} = \frac{P _{B} V _{B} - P _{A} V _{A}}{k - 1}

Swali la 2. Kwa $k = 0$ , uhusiano $P V^{0} = C$ unakuwa $P = C$ : badiliko ni la isobariki. Kwa kuwa $P_{A} = P_{B} = P$ ,

W_{A \to B} = P_{A} V_{A} - P_{B} V_{B} = P (V_{A} - V_{B}) = - P (V_{B} - V_{A}) = - P Δ V .

Tunapata tena usemi wa moja kwa moja wa kazi ya isobariki.

Swali la 3. Kwa badiliko la isokoriki,

V_{B} = V_{A}

d V = 0

kila wakati. Kwa hiyo,

W_{A \to B} = - \int_{A}^{B} P d V = 0.

Isokoriki isiyo sahili hailingani na thamani yoyote finiti ya $k$ : ikiwa $V$ ni thabiti, uhusiano $P V^{k} = thabiti$ ungelazimisha $P$ pia iwe thabiti. Tunaweza kuiona isokoriki kama kikomo rasmi $k \to \infty$ pekee.

Swali la 4. Kwa

k = 1

, integrandi ni sawia na

1/ V

: primitivi si tena kipeo, bali logaritimu. Kwa hiyo ni lazima kukokotoa integrali kando. Uhusiano wa politropiki unakuwa

P V = C .

Kwa gesi kamilifu iliyofungwa, $P V = n R T$ ; kwa hiyo halijoto ni thabiti na $C = n R T$ . Kisha kazi inayopokelewa ni

W_{A \to B} = - \int_{V_{A}}^{V_{B}} \frac{n R T}{V} d V = - n R T ln (\frac{V _{B}}{V _{A}}) .

Kwa mbanano, $V_{B} / V_{A} < 1$ , kwa hiyo logaritimu ni hasi na $W_{A \to B} > 0$ , kama inavyotarajiwa.