İdeal gaza uygulama

Birinci ilke şimdiye kadar sistem için belirli bir model varsayılmadan ifade edildi. Makroskopik kinetik ve potansiyel enerjileri değişmeyen kapalı bir sistem için

$$\Delta U=Q+W.$$

biçiminde yazılır. Bununla birlikte, bu bağıntı tek başına $\Delta U$ değerini hesaplamaya yetmez; tıpkı Newton'un ikinci yasasının, sisteme etkiyen kuvvetler bilinmeden sistemin evrimini öngörememesi gibi. Dolayısıyla incelenen sistemi ayrıca nitelendirmemiz gerekir: şimdi bunu ideal gaz için yapacağız.

1. İdeal gazın durum denklemleri

İdeal gazın ilk durum denklemi

biçimindedir. Ders 2'de gördüğümüz gibi bu bağıntı, uzun bir deneysel çalışmalar tarihinin sonucudur. Tek başına gazın iç enerjisi hakkında hiçbir bilgi vermez. Bunun için başka deneyler gereklidir. İlk okumada atlanabilecek olan bir sonraki bölüm, ideal gazın diğer temel formülüne götüren deneysel yaklaşımı gösterir:

Burada $c_V$, ileride yeniden ele alacağımız bir sabit; $U_0(n)$ ise sıcaklıktan bağımsız bir referans terimidir. Şimdiden belirtelim ki termodinamik formalizm bu durum denklemlerinin türetilmesine olanak vermez. Buna karşılık istatistiksel fizik, mikroskobik bir modelden yola çıkarak bu denklemleri yeniden elde etmemizi sağlayacaktır.

1.1. Joule-Gay-Lussac genleşmesi

Temel deney, bir gazın boşluğa genleşmesini gözlemlemeye dayanır. Uygulamada moleküller arasındaki etkileşimleri azaltmak ve böylece ideal gaz modeline yaklaşmak için yeterince seyrek bir gaz kullanılır. Rijit ve ısı yalıtımlı bir kap iki bölmeye ayrılmıştır. İlk bölmede dengede bir gaz bulunur, ikinci bölme ise boştur. Bölmeleri ayıran duvar kaldırılır, yeni bir denge kurulması beklenir ve ardından bu denge deneysel olarak belirlenir.

Bu tür deneyleri ilk kez XIX^e yüzyılın başında Gay-Lussac yapmış, deneyler daha sonra 1845 dolaylarında Joule tarafından tekrarlanmıştır. Önemli deneysel sonuç, gazın ilk ve son durumları arasında sıcaklık değişimi gözlenmemesidir. Gerçekte, gerçek bir gazda küçük bir değişim kalır ve bu değişim gaza ve koşullara bağlı olarak pozitif ya da negatif olabilir; ancak yoğunluk azaldıkça sıfıra yaklaşır. Bu nedenle ideal modelde tam olarak $T_B=T_A$ olduğu düşünülür.

Bu sonucu yorumlamak için birinci ilkenin ne söylediğine bakalım. Gaz boşluğa yayıldığından dış basınç sıfırdır ve dolayısıyla $W=0$ olur. Ayrıca sistemin duvarları ısı yalıtımlıdır; bu nedenle $Q=0$ da geçerlidir. Birinci ilke bu durumda

$$\Delta U=0.$$

olmasını gerektirir.

İç enerjinin (şimdilik) şu biçimde yazılabildiğini kabul edelim: $U=U(T,V,n)$; bu değişken seçimi ikinci ilke ortaya konduktan sonra gerekçelendirilecektir. Sistem kapalı olduğundan $n$ sabittir. Deney farklı ilk ve son hacimler için tekrarlandığında, sabit sıcaklıkta ($T_B=T_A$ olduğundan) hacim değişirken iç enerjinin değişmediği ($\Delta U=0$) görülür. Buradan

elde edilir. Bu özellik Joule yasasıdır: ideal gazın iç enerjisi hacmine bağlı değildir. Bu deney henüz $U(T,n)$ fonksiyonunun biçimini vermez.

1.2. İdeal gazın iç enerjisi

$U$'nun biçimini bulmak için ikinci bir deney ele alalım. Bilinen miktarda gaz rijit bir kapta ısıtılır. Sabit hacimde basınç kuvvetlerinin işi sıfırdır; dolayısıyla gaza verilen $Q$ enerjisi, gazın iç enerji değişimine eşittir. Küçük miktarlarda enerji verip buna karşılık gelen sıcaklık artışını ölçerek sabit hacimde molar ısı sığası deneysel olarak belirlenir:

Bu ısı sığası ilke olarak sıcaklığa bağlıdır. Gazın ısı sığası kabın ve kalorimetrenin ısı sığasına göre küçük olduğundan doğrudan ölçüm güçtür. Bununla birlikte ölçüm yapılabilir ve seyrek bir gaz için $c_V(T)$ değerinin yaklaşık sabit olduğu dahi gösterilebilir. Kesinlikle sabit olduğu kabul edilirse önceki bağıntı integrallenebilir ve

elde edilir. Madde miktarı sabitken integral alma işlemi

$$U(T,n)=n c_V T+U_0(n),$$

sonucunu verir. Burada $U_0(n)$ referans terimi sıcaklıktan bağımsızdır. Madde miktarı sabitken iç enerjinin başlangıç değeri $U_0(n)=0$ olacak biçimde seçilebilir, çünkü yalnızca $U$'daki değişimler önemlidir. Böylece yeniden $U=n c_V T$ elde edilir. Olağan sıcaklıklarda, seyrek helyum gibi tek atomlu bir gaz için $c_V\simeq 3R/2$, birçok iki atomlu gaz için ise $c_V\simeq 5R/2$ ölçülür; burada $R$ ideal gaz sabitidir. $c_V$ değerlerine ileride yeniden döneceğiz.

2. Birinci ilkenin ideal gaza uygulanması

Artık ideal gazın olağan süreçleri sırasında iç enerji değişimlerini ve alışveriş edilen iş ile ısıyı belirleyebiliriz. Makroskopik kinetik veya potansiyel enerji değişimi bulunmayan ve tek iş türü basınç kuvvetlerinin işi olan kapalı bir sistemle sınırlı kalacağız. Ders 4'ün sonuçları

bağıntılarını verir. Aşağıdaki hesaplarda sürecin yarı statik olduğunu da varsayıyoruz: böylece sistem denge durumları yüzeyi üzerinde bir yol izler. Aşağıda dış basınç $P_{\mathrm{ext}}$ ile gazın basıncı $P$'nin özdeşleştirilebildiğini de varsayacağız. Bu varsayım çok önemlidir: ani bir süreçte gaz basıncı düzgün dağılmayabilir ve $P_{\mathrm{ext}}$ yerine $P$ yazmak yanlış olur. İkinci ilkeyi ve tersinir ya da tersinmez olarak adlandırılan süreçleri incelerken bu varsayıma geri döneceğiz.

2.1. İzokorik süreç

İzokorik bir süreçte $dV=0$'dır. Bu nedenle basınç kuvvetlerinin işi sıfırdır: $W=0$. Birinci ilke bu durumda

sonucunu verir. Gaz ısı aldığında ($Q>0$) sıcaklığı yükselir; tersi de geçerlidir. Bir fırındaki havayı ısıttığımızda esas olarak olan budur (fırını kapalı kabul edersek; gerçekte tam olarak kapalı değildir).

2.2. İzotermal süreç

Sıcaklık $T=T_0$ olmak üzere sabitse, $\Delta U=0$'dır; çünkü $U$ yalnızca $T$'ye bağlıdır. Dolayısıyla $Q=-W$ olur. $P=\frac{nRT_0}{V}$ ile alınan iş

$$W =- \int_{V_A}^{V_B}P\,dV = - \int_{V_A}^{V_B}\frac{nRT_0}{V}\,dV$$

olur; buradan

elde edilir.

Bir genleşme sırasında $V_B>V_A$ ve dolayısıyla $W<0$'dır: gaz iş verir ve aynı miktarda enerjiyi ısı biçiminde alır ($Q = - W >0$). Bu izotermal genleşme aşaması ideal güç çevrimlerinde sıklıkla kullanılacaktır. Sıkıştırmada işaretler tersine döner.

2.3. İzobarik süreç

Sabit $P=P_0$ basıncında alınan iş

olur. Alternatif olarak, $PV=nRT$ durum denklemi $P_0(V_B-V_A)=nR(T_B-T_A)$ verir ve dolayısıyla $W=-nR\Delta T$ de yazılabilir. $Q=\Delta U-W$ olduğundan

elde edilir. Bu ifade doğal olarak $c_P$ ile gösterilen sabit basınçta molar ısı sığasını tanımlamaya götürür: izobarik bir süreçte $Q=nc_P\Delta T$'dir. İdeal gaz için

bağıntısı geçerlidir; buna ileride yeniden döneceğiz (Mayer bağıntısı). Ayrıca

oranı tanımlanır ve bu oran gazın adyabatik indisi olarak adlandırılır. Mayer bağıntısı $\gamma >1$ olduğunu gösterir. $c_V=3R/2$ olan tek atomlu bir gaz için $c_P=5R/2$ ve $\gamma=5/3$ bulunur. $c_V=5R/2$ olan iki atomlu bir gaz için $c_P=7R/2$ ve $\gamma=7/5$ elde edilir. $c_P=c_V+R$ olduğundan bu bağıntılar tersine çevrilerek

$$\boxed{ c_V=\frac{R}{\gamma-1}, \qquad c_P=\frac{\gamma R}{\gamma-1} }$$

bulunabilir; bu ifadeler hesaplarda çoğu zaman çok kullanışlıdır.

Ders 8'de $c_V$ ve $c_P$ ısı sığalarını, genel tanımlarını ve yorumlarını daha sistematik biçimde inceleyeceğiz. Şimdilik, aynı miktardaki bir gazın sıcaklığını aynı ölçüde yükseltmenin sabit basınçta sabit hacme göre daha fazla enerji gerektirdiğini bilmek yeterlidir: ilk durumda alınan enerjinin bir bölümü, gazın kaçınılmaz genleşmesi sırasında iş biçiminde çevreye geri verilir.

2.4. Adyabatik süreç

Şimdi $Q=0$ olan adyabatik bir süreci ele alalım. Önceki durumların aksine, ilk ve son durumlar arasındaki $\Delta U$ ve $W$ ifadelerini elde etmek doğrudan mümkün değildir; çünkü $\Delta U=W$ olmasına rağmen iş

$$W=-\int_A^B P\,dV,$$

biçiminde yazılır ve basınç $P$'nin hacimle nasıl değiştiği henüz belirlenmemiştir. Bunun için birinci ilkenin, süreç boyunca $U$, $P$ ve $V$'nin sonsuz küçük değişimlerini birbirine bağlayan diferansiyel biçimine geri dönmek gerekir. Aşağıdaki türetim son derece klasik bir alıştırmadır ve çoğunlukla “ideal gazın Laplace yasalarını birinci ilkeden elde edin” biçiminde sorulur. Aşağıdaki hesapların tümünü baştan yapmak özellikle tavsiye edilir.

$\delta Q=0$ olduğundan birinci ilke

$$dU=\delta W=-P\,dV.$$

verir. Burada incelenen ideal gaz için $dU=n c_V\,dT$'dir. Dolayısıyla $n c_V\,dT=-P\,dV$ olur. $PV=nRT$, yani $P=nRT/V$ kullanılıp $n$ sadeleştirildiğinde şu diferansiyel denklem elde edilir:

$$c_V\frac{dT}{T}=-R\frac{dV}{V}.$$

Bu denklem doğrudan integrallenir:

$$c_V\ln T+R\ln V=\mathrm{const}.$$

$c_V$'ye bölelim ve

$$\frac{R}{c_V} = \frac{c_P-c_V}{c_V} = \gamma-1.$$

olduğunu kullanalım. Böylece

$$\ln T+(\gamma-1)\ln V=\mathrm{const},$$

yani

elde edilir.

$PV=nRT$ bu bağıntıda yeniden kullanılarak eşdeğer iki biçim daha elde edilebilir. Birbirine eşdeğer üç Laplace yasası şöyle yazılır:

Uygulamada, problemde verilenlere göre bunlardan biri kullanılır. İş birkaç yolla hesaplanabilir. En doğrudan yol birinci ilkeyi kullanmaktır: $Q=0$ olduğundan $W=\Delta U$ ve dolayısıyla

olur. Bu ifade ilk ve son sıcaklıklar biliniyorsa kullanışlıdır. İş, basınç kuvvetleri doğrudan integrallenerek de bulunabilir. Gerçekten de $PV^\gamma=\mathrm{const}$ Laplace yasası, süreç boyunca $P=K/V^\gamma$ yazılmasını sağlar; burada $K=P_AV_A^\gamma=P_BV_B^\gamma$'dır. Böylece

$$W=-\int_{V_A}^{V_B}P\,dV =-K\int_{V_A}^{V_B}V^{-\gamma}\,dV =\frac{K}{\gamma-1} \left(V_B^{1-\gamma}-V_A^{1-\gamma}\right).$$

Bu ifade ilk ve son hacimler biliniyorsa kullanışlıdır. Ayrıca $KV_A^{1-\gamma}=P_AV_A$ ve $KV_B^{1-\gamma}=P_BV_B$ olduğundan

de yazılır. Bu ifadelerin tümü eşdeğerdir. Adyabatik genleşmede gaz iş verir: $W<0$. İç enerjisi azalır ve sıcaklığı düşer. Tersine, adyabatik sıkıştırma gazın sıcaklığını yükseltir.

3. Clapeyron diyagramları

Gaz süreçlerini görselleştirmek için, her noktanın bir denge durumuna karşılık geldiği $(P,V)$ düzleminde çalışmak son derece kullanışlıdır. Bu durum, yatay eksendeki hacim $V$ ve düşey eksendeki basınç $P$ ile belirlenir. Bu gösterime Clapeyron diyagramı denir.

Her noktada sıcaklık $PV=nRT$ durum denklemiyle belirlenir. Her zaman kapalı bir sistem ele aldığımızdan $n$ sabittir ve genellikle soru metninde verilir. Önemli bir nokta, $T$'nin $PV$ çarpımıyla orantılı olmasıdır: dolayısıyla bir nokta diyagramın bu çarpımın büyük olduğu bir bölgesinde, genel olarak yukarıda ve sağda yer aldıkça sıcaklık daha yüksektir.

Daha önce belirtilen varsayımlar altında gazın bir süreci, ilk durum $A$ ile son durum $B$'yi birleştiren bir eğriyle gösterilir. Clapeyron diyagramı böylece yukarıda incelenen süreçlerin çok kullanışlı bir geometrik gösterimini sağlar.

3.1. Olağan süreçlerin gösterimi

Yukarıda karşılaşılan dört süreç $(P,V)$ düzleminde özellikle basit biçimler alır.

$V=V_0$ olan izokorik bir süreç düşey bir doğru parçasıyla, $P=P_0$ olan izobarik bir süreç ise yatay bir doğru parçasıyla gösterilir.

İzotermal bir süreç için durum denklemi $P(V)=nRT_0/V$ verir: dolayısıyla eğri bir hiperbol koludur.

Son olarak, adyabatik bir süreç $PV^\gamma=\mathrm{const}$ Laplace yasasına, yani $P=K/V^\gamma$ bağıntısına uyar. $\gamma>1$ olduğundan basınç, adyabat boyunca izoterm boyunca olduğundan daha hızlı azalır. Bu durum aynı noktadaki eğimler karşılaştırılarak doğrudan görülebilir:

$$\left(\frac{dP}{dV}\right)_{\mathrm{isoth}} =-\frac{P}{V}, \qquad \left(\frac{dP}{dV}\right)_{\mathrm{ad}} =-\gamma\frac{P}{V}.$$

Dolayısıyla adyabat, izotermden daha “diktir”.

3.2. Aynı durumlar arasındaki iki yol

Clapeyron diyagramı, önceki derste ortaya konan temel bir özelliği somut olarak görselleştirmeyi sağlar: $U$ bir durum fonksiyonuyken $Q$ ve $W$, izlenen sürece bağlıdır.

Örneğin şu iki durumu ele alalım:

$$A=(P_0,V_0), \qquad B=\left(\frac{P_0}{2},2V_0\right).$$

İdeal gaz denklemi $T_A=T_B=T_0$ verir; burada $T_0=P_0V_0/(nR)$'dir. İdeal gazın iç enerjisi yalnızca sıcaklığına bağlı olduğundan

$$\boxed{\Delta U_{A\to B}=0}$$

olur; bu sonuç $A$ ile $B$'yi birleştiren süreçten bağımsızdır. Şimdi Şekil 2'da gösterilen iki yolu karşılaştıralım.

Doğrudan bir izotermal genleşme olan ilk $\mathcal P_1$ yolu için

$$W_1=-nRT_0\ln 2=-P_0V_0\ln 2.$$

elde edilir. $\Delta U=0$ olduğundan $Q_1=-W_1=P_0V_0\ln 2$ olur.

İkinci $\mathcal P_2$ yolunda önce $A\to C$ izobarik süreci, ardından $C\to B$ izokorik süreci gerçekleştirilir. İlk koldaki alınan iş $W_{AC}=-P_0V_0$, ikinci koldaki ise $W_{CB}=0$'dır. Böylece

$$W_2=-P_0V_0, \qquad Q_2=P_0V_0.$$

Sonuç olarak

elde edilir. İki yol aynı uç durumlara, dolayısıyla aynı iç enerji değişimine sahiptir; ancak farklı işlere ve birinci ilke gereği farklı ısı aktarımlarına yol açarlar.

3.3. Eğrinin altındaki alan olarak iş

İşin yola bağımlılığının doğrudan bir geometrik yorumu vardır. Clapeyron diyagramında gösterilen yarı statik bir süreç için alınan iş

olur. $\int_A^B P\,dV$ integrali, süreci tanımlayan eğrinin altında kalan cebirsel alanı gösterir. Kullandığımız işaret kuralına göre gazın aldığı iş bu alanın ters işaretlisidir.

Burada integralin işaretini sınırların sırasının belirlediğini unutmamak çok önemlidir. $A$'dan $B$'ye bir genleşmede, $V_B>V_A$ olmak üzere,

$$W[A\to B]=-\int_{V_A}^{V_B}P\,dV<0 :$$

gaz çevresine iş verir. Ters yöndeki sıkıştırmada sınırlar yer değiştirir ve

$$W[B\to A] =-\int_{V_B}^{V_A}P\,dV =+\int_{V_A}^{V_B}P\,dV>0 :$$

gaz iş alır. Dolayısıyla Clapeyron diyagramında çizilen her eğrinin izlenme yönü mutlaka bir okla belirtilmelidir.

Bu yorum, Şekil 2'daki iki yolun neden farklı işlere yol açtığını da çok basit biçimde açıklar: iki eğrinin altındaki alanlar aynı değildir.

3.4. Güç ve soğutma çevrimleri

Çevrimsel bir süreçte sistem ilk durumuna geri döner. Bu nedenle çevrim, Clapeyron diyagramında kapalı bir eğriyle gösterilir.

$U$ bir durum fonksiyonu olduğundan $\Delta U_{\mathrm{cycle}}=0$'dır. Birinci ilke bu nedenle $Q_{\mathrm{cycle}}=-W_{\mathrm{cycle}}$ olmasını gerektirir. Ayrıca

Önceki geometrik yorum bu durumda özellikle basit bir biçim alır: işin mutlak değeri çevrimin kapattığı alana eşittir. Bunu görmek için, $P_+(V)$ üst kolunun $V_1$'den $V_2$'ye izlendiği, burada $V_1<V_2$'dir, ve Şekil 4'deki gibi ters yönde izlenen bir alt $P_-(V)$ kolundan oluşan bir çevrimi ele alalım. Şu bağıntı geçerlidir:

$$\oint P\,dV = \int_{V_1}^{V_2}P_+(V)\,dV + \int_{V_2}^{V_1}P_-(V)\,dV = \int_{V_1}^{V_2} \bigl[P_+(V)-P_-(V)\bigr]\,dV.$$

Bu, üst kolun altındaki alandan alt kolun altındaki alanın çıkarılmasıdır; başka bir deyişle çevrimin kapattığı alandır. Burada ele alınan saat yönündeki izleniş için bu integral pozitiftir ve alınan iş dolayısıyla negatiftir.

Bir güç çevrimi için birinci ilke $Q_{\mathrm{cycle}}=-W_{\mathrm{cycle}}>0$ olmasını gerektirir: gaz tüm çevrim boyunca çevresine verdiği işe eşit net miktarda ısı alır.