Çözümlü termodinamik alıştırması

Ders alıştırması: Laplace yasaları

Alıştırma 18 · Ders 5 — İdeal gaza uygulama

ders alıştırması
Laplace yasası
adyabatik indis
gama
adyabatik genleşme
diferansiyel biçimde birinci yasa

Soru

$n$ mol ideal gazı ele alalım; adyabatik indisi $γ = c_{P} / c_{V}$ sabit kabul edilmektedir. Sistemin kapalı olduğu varsayılmaktadır. Mayer bağıntısı $c_{P} - c_{V} = R$ kabul edilecektir ( $c_{P}$ 'nin keşfiyle ilgili alıştırmaya bakın).

Şu bağıntıları gösterin: $c_{V} = \frac{R}{γ - 1}, c_{P} = \frac{γ R}{γ - 1} .$
Gaz, $P_{ext} = P$ olduğu varsayılan yarı-statik adyabatik bir dönüşüm geçirmektedir. Birinci yasanın diferansiyel biçiminden başlayarak $\frac{d T}{T} + (γ - 1) \frac{d V}{V} = 0,$ bağıntısını gösterin, ardından dönüşüm boyunca $T V^{γ - 1} = sabit$ olduğunu çıkarın.
Laplace yasasının diğer iki biçimini çıkarın: $P V^{γ} = sabit$ ve $T^{γ} P^{1 - γ} = sabit$ .
Tek atomlu bir gazın ( $γ = 5/3$ ) hacmini iki katına çıkaran böyle bir genleşmeyi ele alalım; $n = 1$ mol ve başlangıç sıcaklığı $T_{i} = 300$ K'dir. $T_{f}$ 'yi, ardından $Δ T$ ve $W$ 'yi hesaplayın; $Δ T$ ile $W$ 'nin işaretlerini yorumlayın.
Clapeyron $(P, V)$ diyagramında, böyle bir adyabatın eğimiyle bir izotermin eğimini aynı noktada karşılaştırın.

İpucu

2. soru için:

d U = n c_{V} d T

δ W = - P d V

bağıntılarını

P = n R T / V

ile kullanıp değişkenleri ayırın. 5. soru için

P V^{γ} = sabit

P V = sabit

bağıntılarının diferansiyelini alın.

Ayrıntılı çözüm

Çözüm

Soru 1.

c_{P} = γ c_{V}

c_{P} - c_{V} = R

bağıntılarından

c_{V} (γ - 1) = R

elde edilir; buradan iki formül de bulunur. Soru 2. Dönüşüm adyabatik olduğundan

δ Q = 0

ve dolayısıyla

d U = δ W

'dir; yani

n c_{V} d T = - P d V = - \frac{n R T}{V} d V

olur.

c_{V} = R / (γ - 1)

kullanılırsa:

\frac{d T}{T} = - (γ - 1) \frac{d V}{V} .

Tümleme sonucunda $ln T + (γ - 1) ln V = sabit$ , başka bir deyişle $T V^{γ - 1} = sabit$ elde edilir.

Soru 3.

T = P V / (n R)

yerine konduğunda

P V^{γ} = sabit

elde edilir; çünkü

n

sabittir.

V = n R T / P

yerine konduğunda

T (\frac{T}{P})^{γ - 1} = sabit

ve dolayısıyla

T^{γ} P^{1 - γ} = sabit

bulunur. Soru 4. En kolay yol,

T V^{γ - 1} = sabit

Laplace yasasını kullanmaktır. Bu yasa

T_{i} V_{i}^{γ - 1} = T_{f} V_{f}^{γ - 1}

, dolayısıyla

T_{f} = T_{i} 2^{- (γ - 1)} = 300 \times 2^{- 2/3} \approx 189

K verir. Hata yapmamak için bu hesapta sıcaklığın mutlaka kelvin cinsinden kullanılması gerektiğine dikkat edin! Buradan

Δ T = T_{f} - T_{i} \approx - 111

K elde edilir. İş için

Q = 0

olduğundan:

W = Δ U = \frac{3}{2} R Δ T \approx \frac{3}{2} \times 8, 314 \times (- 111) \approx - 1, 4 kJ .

$W < 0$ 'dır: gaz genleşme sırasında dışarıya iş verir. Herhangi bir ısı kaynağından enerji alamadığından ( $Q = 0$ ), bu enerjiyi iç enerjisinden karşılar; dolayısıyla $Δ T < 0$ olur ve gaz soğur.

Soru 5.

P V = sabit

bağıntısının diferansiyeli alınırsa

(\frac{d P}{d V})_{izotermal} = - \frac{P}{V}

elde edilir.

P V^{γ} = sabit

bağıntısının diferansiyeli ise

(\frac{d P}{d V})_{adyabatik} = - γ \frac{P}{V}

verir. Adyabatın eğiminin mutlak değeri izoterminkinin

γ

katıdır: ısıyı uzaklaştırmadan yapılan sıkıştırmada sıcaklık da arttığı için basınç daha hızlı yükselir.