Çözümlü termodinamik alıştırması

Ders alıştırması: Laplace yasaları

Alıştırma 10 · Ders 5 — İdeal gaza uygulama

  • ders alıştırması
  • Laplace yasası
  • adyabatik indis
  • gama
  • adyabatik genleşme
  • diferansiyel biçimde birinci yasa

Soru

nn mol ideal gazı ele alalım; adyabatik indisi γ=cP/cV\gamma = c_P/c_V sabit kabul edilmektedir. Sistemin kapalı olduğu varsayılmaktadır. Mayer bağıntısı cP−cV=Rc_P - c_V = R kabul edilecektir (cPc_P'nin keşfiyle ilgili alıştırmaya bakın).

  1. Şu bağıntıları gösterin: cV=Rγ−1,cP=γRγ−1.c_V = \frac{R}{\gamma - 1}, \qquad c_P = \frac{\gamma R}{\gamma - 1}.
  2. Gaz, Pext=PP_{\text{ext}} = P olduğu varsayılan yarı-statik adyabatik bir dönüşüm geçirmektedir. Birinci yasanın diferansiyel biçiminden başlayarak dTT+(γ−1)dVV=0,\frac{\mathrm{d}T}{T} + (\gamma - 1)\frac{\mathrm{d}V}{V} = 0, bağıntısını gösterin, ardından dönüşüm boyunca TVγ−1=sabitTV^{\gamma-1} = \text{sabit} olduğunu çıkarın.
  3. Laplace yasasının diğer iki biçimini çıkarın: PVγ=sabitPV^\gamma = \text{sabit} ve TγP1−γ=sabitT^\gamma P^{1-\gamma} = \text{sabit}.
  4. Tek atomlu bir gazın (γ=5/3\gamma = 5/3) hacmini iki katına çıkaran böyle bir genleşmeyi ele alalım; n=1n = 1 mol ve başlangıç sıcaklığı Ti=300T_i = 300 K'dir. TfT_f'yi, ardından ΔT\Delta T ve WW'yi hesaplayın; ΔT\Delta T ile WW'nin işaretlerini yorumlayın.
  5. Clapeyron (P,V)(P,V) diyagramında, böyle bir adyabatın eğimiyle bir izotermin eğimini aynı noktada karşılaştırın.

İpucu
2. soru için: dU=ncV dT\mathrm{d}U = n c_V\,\mathrm{d}T ve δW=−P dV\delta W = -P\,\mathrm{d}V bağıntılarını P=nRT/VP = nRT/V ile kullanıp değişkenleri ayırın. 5. soru için PVγ=sabitPV^\gamma = \text{sabit} ve PV=sabitPV = \text{sabit} bağıntılarının diferansiyelini alın.

Ayrıntılı çözüm

Çözüm
Soru 1. cP=γcVc_P = \gamma c_V ve cP−cV=Rc_P - c_V = R bağıntılarından cV(γ−1)=Rc_V(\gamma - 1) = R elde edilir; buradan iki formül de bulunur.

Soru 2. Dönüşüm adyabatik olduğundan δQ=0\delta Q = 0 ve dolayısıyla dU=δW\mathrm{d}U = \delta W'dir; yani ncV dT=−P dV=−nRTVdVn c_V\,\mathrm{d}T = -P\,\mathrm{d}V = -\dfrac{nRT}{V}\mathrm{d}V olur. cV=R/(γ−1)c_V = R/(\gamma-1) kullanılırsa:

dTT=−(γ−1)dVV.\frac{\mathrm{d}T}{T} = -(\gamma-1)\frac{\mathrm{d}V}{V}.

Tümleme sonucunda ln⁡T+(γ−1)ln⁡V=sabit\ln T + (\gamma-1)\ln V = \text{sabit}, başka bir deyişle TVγ−1=sabitTV^{\gamma-1} = \text{sabit} elde edilir.

Soru 3. T=PV/(nR)T = PV/(nR) yerine konduğunda PVγ=sabitPV^\gamma = \text{sabit} elde edilir; çünkü nn sabittir. V=nRT/PV = nRT/P yerine konduğunda T(TP)γ−1=sabitT \left(\frac{T}{P}\right)^{\gamma-1} = \text{sabit} ve dolayısıyla TγP1−γ=sabitT^\gamma P^{1-\gamma} = \text{sabit} bulunur.

Soru 4. En kolay yol, TVγ−1=sabitT V^{\gamma - 1} = \text{sabit} Laplace yasasını kullanmaktır. Bu yasa TiViγ−1=TfVfγ−1T_i V_i^{\gamma - 1} = T_f V_f^{\gamma - 1}, dolayısıyla Tf=Ti 2−(γ−1)=300×2−2/3≈189T_f = T_i\,2^{-(\gamma-1)} = 300 \times 2^{-2/3} \approx 189 K verir. Hata yapmamak için bu hesapta sıcaklığın mutlaka kelvin cinsinden kullanılması gerektiğine dikkat edin! Buradan ΔT=Tf−Ti≈−111\Delta T = T_f-T_i \approx -111 K elde edilir. İş için Q=0Q = 0 olduğundan:

W=ΔU=32RΔT≈32×8,314×(−111)≈−1,4 kJ.W = \Delta U = \tfrac{3}{2}R\Delta T \approx \tfrac{3}{2}\times 8{,}314 \times (-111) \approx -1{,}4\ \text{kJ}.

W<0W < 0'dır: gaz genleşme sırasında dışarıya iş verir. Herhangi bir ısı kaynağından enerji alamadığından (Q=0Q=0), bu enerjiyi iç enerjisinden karşılar; dolayısıyla ΔT<0\Delta T < 0 olur ve gaz soğur.

Soru 5. PV=sabitPV = \text{sabit} bağıntısının diferansiyeli alınırsa (dPdV)izotermal=−PV\left(\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}V}\right)_{\text{izotermal}} = -\dfrac{P}{V} elde edilir. PVγ=sabitPV^\gamma = \text{sabit} bağıntısının diferansiyeli ise (dPdV)adyabatik=−γPV\left(\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}V}\right)_{\text{adyabatik}} = -\gamma\dfrac{P}{V} verir. Adyabatın eğiminin mutlak değeri izoterminkinin γ\gamma katıdır: ısıyı uzaklaştırmadan yapılan sıkıştırmada sıcaklık da arttığı için basınç daha hızlı yükselir.