Çözümlü termodinamik alıştırması

Ders alıştırması: temel dönüşümler

Alıştırma 9 · Ders 5 — İdeal gaza uygulama

ders alıştırması
tek atomlu ideal gaz
izokorik dönüşüm
izotermal dönüşüm
izobarik dönüşüm
iç enerji
iş
ısı
birinci yasa

Soru

$n$ mol tek atomlu ideal gazı ele alalım; gaz başlangıçta $A(P_A,V_A,T_i)$ durumundadır. Tümü $A$ durumundan başlayan ve $T_f>T_i$ koşulunu sağlayan üç yarı-statik dönüşüm ayrı ayrı incelenmektedir:

$A\to B$ : $T_i$ 'den $T_f$ 'ye izokorik ısıtma;
$A\to C$ : $T_i$ sıcaklığında $V_A$ 'dan $V_A/2$ 'ye izotermal sıkıştırma;
$A\to D$ : $T_i$ 'den $T_f$ 'ye izobarik ısıtma.

Bankacı işaret uzlaşımı benimsenmektedir: gazın aldığı enerji aktarımları pozitiftir.

Üç dönüşümü aynı Clapeyron $(P,V)$ diyagramında gösterin ve $B$ , $C$ ve $D$ durumlarını sembolik olarak belirleyin.
Üç dönüşümün her biri için $W$ , $\Delta U$ ve $Q$ 'yu sembolik olarak hesaplayın.
Enerji aktarımlarının işaretlerini yorumlayın.
Sayısal uygulama: $n=1\ \mathrm{mol}$ , $T_i=300\ \mathrm{K}$ , $T_f=500\ \mathrm{K}$ ve $R=8{,}314\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}$ .

İpucu

Tek atomlu ideal gaz için

\Delta U=\frac32nR\Delta T

'dir.

W=-\int P\,\mathrm{d}V

bağıntısını ve birinci yasa

\Delta U=Q+W

'yi kullanın.

Ayrıntılı çözüm

Çözüm

Soru 1. İdeal gaz denklemi şunu verir:

\begin{aligned} \begin{array}{c|c|c|c} \text{Durum} & P & V & T \\ \hline A & P_A & V_A & T_i \\ B & P_A\dfrac{T_f}{T_i} & V_A & T_f \\[4pt] C & 2P_A & \dfrac{V_A}{2} & T_i \\[4pt] D & P_A & V_A\dfrac{T_f}{T_i} & T_f \end{array} \end{aligned}

$(P,V)$ diyagramında $A\to B$ düşey bir doğru, $A\to C$ sola doğru $T_i$ izotermi ve $A\to D$ sağa doğru yatay bir doğrudur.

Soru 2.

İzokorik ısıtma $A\to B$ . $\mathrm{d}V=0$ olduğundan

W_{AB}=0, \qquad \Delta U_{AB}=\frac32nR(T_f-T_i), \qquad Q_{AB}=\frac32nR(T_f-T_i).

İzotermal sıkıştırma $A\to C$ . Sıcaklık sabit olduğundan $\Delta U_{AC}=0$ 'dır. Ayrıca,

W_{AC} =-\int_{V_A}^{V_A/2}\frac{nRT_i}{V}\,\mathrm{d}V =nRT_i\ln2, \qquad Q_{AC}=-nRT_i\ln2.

İzobarik ısıtma $A\to D$ . Basınç sabitken $P_A(V_D-V_A)=nR(T_f-T_i)$ olduğundan

W_{AD}=-nR(T_f-T_i), \qquad \Delta U_{AD}=\frac32nR(T_f-T_i), \qquad Q_{AD}=\frac52nR(T_f-T_i).

Soru 3. İzokorik dönüşümde alınan ısının tamamı iç enerjiyi artırır. İzotermal sıkıştırma sırasında gaz iş alır ve aynı miktarda enerjiyi ısı biçiminde verir. İzobarik dönüşümde ise gaz ısı alır, iç enerjisini artırır ve genleşirken iş verir.

Soru 4. $T_f-T_i=200\ \mathrm{K}$ için:

\begin{aligned} \begin{array}{c|r|r|r} \text{Dönüşüm} & W\ (\mathrm{kJ}) & \Delta U\ (\mathrm{kJ}) & Q\ (\mathrm{kJ}) \\ \hline \text{İzokorik }A\to B & 0 & +2{,}49 & +2{,}49 \\ \text{İzotermal }A\to C & +1{,}73 & 0 & -1{,}73 \\ \text{İzobarik }A\to D & -1{,}66 & +2{,}49 & +4{,}16 \end{array} \end{aligned}