Çözümlü termodinamik alıştırması

Sabit basınçta ısıtma: cPc_P'nin keşfi

Alıştırma 13 · Ders 5 — İdeal gaza uygulama

  • ısı kapasitesi
  • sabit basınç
  • Mayer bağıntısı
  • izobarik ısıtma
  • ideal gaz

Soru

Molar ısı kapasitesi cVc_V olan bir mol ideal gaz, başlangıç hacmi V0V_0 olan bir silindire hapsedilmiştir. Silindir, sürtünmesiz hareket eden ve adyabatik bir pistonla kapatılmıştır; pistona sabit P0P_0 dış basıncı etki etmektedir. Gazın içindeki bir elektrik direnci, yarı-statik olarak gaza Q>0Q>0 ısısı vermektedir.

  1. Düzeneğin basit bir şemasını çizin. Gazı, pistonu, direnci, P0P_0 dış basıncını ve enerji alışverişlerini gösterin.
  2. Sayısal değer kullanmadan önce başlangıç sıcaklığı T0T_0'ı ifade edin; ardından son durumu (Pf,Vf,Tf)(P_f,V_f,T_f), gazın aldığı WW işini ve iç enerji değişimi ΔU\Delta U'yu belirleyin.
  3. Sabit basınçtaki molar ısı kapasitesi cP=(δQ/dT)Pc_P=(\delta Q/\mathrm{d}T)_P'yi cVc_V ve RR cinsinden çıkarın.
  4. Tek atomlu ideal gaz için sayısal uygulama: cV=32Rc_V=\frac32R, V0=25 LV_0=25\ \mathrm{L}, P0=1,0×105 PaP_0=1{,}0\times10^5\ \mathrm{Pa}, Q=1000 JQ=1000\ \mathrm{J} ve R=8,314 J mol−1 K−1R=8{,}314\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.

İpucu
Dönüşüm izobariktir: W=−P0 ΔVW=-P_0\,\Delta V. Bir mol ideal gaz için P0 ΔV=R ΔTP_0\,\Delta V=R\,\Delta T'dir. Bu bağıntıları birinci yasada yerine koyun.

Ayrıntılı çözüm

Çözüm
Soru 1. Şemada, hareketli bir pistonla kapatılmış silindirin içindeki gaz gösterilmelidir. Silindirin içindeki bir ok, direncin verdiği QQ ısısını temsil eder. P0P_0 dış basıncı pistona etki eder ve gaz genleştiğinde piston yukarı doğru hareket eder.

Soru 2. Başlangıç durum denklemi

T0=P0V0R.T_0=\frac{P_0V_0}{R}.

sonucunu verir. Basınç sabit kaldığından Pf=P0P_f=P_0'dır. Ayrıca, W=−P0ΔV=−RΔTW=-P_0\Delta V=-R\Delta T'dir. Birinci yasa bu durumda

ΔU=cVΔT=Q+W=Q−RΔT,\Delta U=c_V\Delta T=Q+W=Q-R\Delta T,

verir; buradan

ΔT=QcV+R.\Delta T=\frac{Q}{c_V+R}.

elde edilir. Dolayısıyla son durum

Pf=P0,Tf=T0+QcV+R,Vf=V0+RQP0(cV+R).P_f=P_0,\qquad T_f=T_0+\frac{Q}{c_V+R},\qquad V_f=V_0+\frac{RQ}{P_0(c_V+R)}.

Son olarak,

W=−RQcV+R,ΔU=cVQcV+R.W=-\frac{RQ}{c_V+R}, \qquad \Delta U=\frac{c_VQ}{c_V+R}.

Soru 3. Sabit basınçta Q=(cV+R)ΔTQ=(c_V+R)\Delta T olduğundan

cP=cV+R.c_P=c_V+R.

Bu, Mayer bağıntısıdır.

Soru 4. Tek atomlu ideal gaz için

cP=52R≃20,8 J mol−1 K−1.c_P=\frac52R\simeq20{,}8\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.

Şu değerler elde edilir:

T0≃301 K,ΔT≃48,1 K,Tf≃349 K,Vf=29,0 L.T_0\simeq301\ \mathrm{K},\qquad \Delta T\simeq48{,}1\ \mathrm{K},\qquad T_f\simeq349\ \mathrm{K},\qquad V_f=29{,}0\ \mathrm{L}.

Son olarak,

W=−400 J,ΔU=600 J.W=-400\ \mathrm{J},\qquad \Delta U=600\ \mathrm{J}.