Çözümlü termodinamik alıştırması

Sabit basınçta ısıtma: $c_{P}$ 'nin keşfi

Alıştırma 21 · Ders 5 — İdeal gaza uygulama

ısı kapasitesi
sabit basınç
Mayer bağıntısı
izobarik ısıtma
ideal gaz

Soru

Molar ısı kapasitesi $c_{V}$ olan bir mol ideal gaz, başlangıç hacmi $V_{0}$ olan bir silindire hapsedilmiştir. Silindir, sürtünmesiz hareket eden ve adyabatik bir pistonla kapatılmıştır; pistona sabit $P_{0}$ dış basıncı etki etmektedir. Gazın içindeki bir elektrik direnci, yarı-statik olarak gaza $Q > 0$ ısısı vermektedir.

Düzeneğin basit bir şemasını çizin. Gazı, pistonu, direnci, $P_{0}$ dış basıncını ve enerji alışverişlerini gösterin.
Sayısal değer kullanmadan önce başlangıç sıcaklığı $T_{0}$ 'ı ifade edin; ardından son durumu $(P_{f}, V_{f}, T_{f})$ , gazın aldığı $W$ işini ve iç enerji değişimi $Δ U$ 'yu belirleyin.
Sabit basınçtaki molar ısı kapasitesi $c_{P} = (δ Q / d T)_{P}$ 'yi $c_{V}$ ve $R$ cinsinden çıkarın.
Tek atomlu ideal gaz için sayısal uygulama: $c_{V} = \frac{3}{2} R$ , $V_{0} = 25 L$ , $P_{0} = 1, 0 \times 1 0^{5} Pa$ , $Q = 1000 J$ ve $R = 8, 314 J mo l^{- 1} K^{- 1}$ .

İpucu

Dönüşüm izobariktir:

W = - P_{0} Δ V

. Bir mol ideal gaz için

P_{0} Δ V = R Δ T

'dir. Bu bağıntıları birinci yasada yerine koyun.

Ayrıntılı çözüm

Çözüm

Soru 1. Şemada, hareketli bir pistonla kapatılmış silindirin içindeki gaz gösterilmelidir. Silindirin içindeki bir ok, direncin verdiği

Q

ısısını temsil eder.

P_{0}

dış basıncı pistona etki eder ve gaz genleştiğinde piston yukarı doğru hareket eder. Soru 2. Başlangıç durum denklemi

T_{0} = \frac{P _{0} V _{0}}{R} .

sonucunu verir. Basınç sabit kaldığından $P_{f} = P_{0}$ 'dır. Ayrıca, $W = - P_{0} Δ V = - R Δ T$ 'dir. Birinci yasa bu durumda

Δ U = c_{V} Δ T = Q + W = Q - R Δ T,

verir; buradan

Δ T = \frac{Q}{c _{V} + R} .

elde edilir. Dolayısıyla son durum

P_{f} = P_{0}, T_{f} = T_{0} + \frac{Q}{c _{V} + R}, V_{f} = V_{0} + \frac{R Q}{P _{0} ( c _{V} + R )} .

Son olarak,

W = - \frac{R Q}{c _{V} + R}, Δ U = \frac{c _{V} Q}{c _{V} + R} .

Soru 3. Sabit basınçta $Q = (c_{V} + R) Δ T$ olduğundan

c_{P} = c_{V} + R .

Bu, Mayer bağıntısıdır.

Soru 4. Tek atomlu ideal gaz için

c_{P} = \frac{5}{2} R ≃ 20, 8 J mo l^{- 1} K^{- 1} .

Şu değerler elde edilir:

T_{0} ≃ 301 K, Δ T ≃ 48, 1 K, T_{f} ≃ 349 K, V_{f} = 29, 0 L .

Son olarak,

W = - 400 J, Δ U = 600 J .