Çözümlü termodinamik alıştırması

İki durum arasında iki farklı yoldan iş ve ısı

Alıştırma 11 · Ders 5 — İdeal gaza uygulama

basınç kuvvetlerinin işi
ısı
izotermal dönüşüm
izokorik dönüşüm
Clapeyron diyagramı
tam diferansiyel
ideal gaz

Soru

$n$ mol tek atomlu ideal gazı ele alalım; iç enerjisi $U=\frac{3}{2}nRT$ 'dir. $A(T_1,V_1)$ durumu ile $B(T_2,V_2)$ durumu, her anda $P_{\mathrm{ext}}=P$ olacak şekilde iki yarı-statik yolla birleştirilmektedir:

$\Gamma_1$ : $T_1$ sıcaklığında $V_1$ 'den $V_2$ 'ye izotermal genleşme, ardından $V_2$ hacminde $T_1$ 'den $T_2$ 'ye izokorik dönüşüm;
$\Gamma_2$ : $V_1$ hacminde $T_1$ 'den $T_2$ 'ye izokorik dönüşüm, ardından $T_2$ sıcaklığında $V_1$ 'den $V_2$ 'ye izotermal genleşme.

$T_2>T_1$ ve $V_2>V_1$ durumunda $\Gamma_1$ ve $\Gamma_2$ yollarını Clapeyron $(P,V)$ diyagramında gösterin. Ara durumları ve izlenme yönünü belirtin.
İki yol boyunca alınan $W_1$ ve $W_2$ işlerini hesaplayın. $W_1-W_2$ neye eşittir?
İki integrali ayrı ayrı yeniden hesaplamadan, Clapeyron diyagramında iki yol arasında kalan alandan yararlanarak $W_1-W_2$ 'yi geometrik olarak bulun.
İki yolun her biri boyunca $\Delta U$ 'yu hesaplayın, ardından $Q_1$ ve $Q_2$ 'yi çıkarın. $\delta Q$ 'nun niteliği hakkında sonuç çıkarın.
Sayısal uygulama: $n=1$ mol, $T_1=300$ K, $T_2=600$ K ve $V_2=2V_1$ .

İpucu

Clapeyron diyagramında izokorik dönüşüm düşey bir doğrudur; ideal gazın izotermi ise

P=nRT/V

bağıntısını sağlar.

T_2

sıcaklığındaki izoterm,

T_1

sıcaklığındaki izotermin üzerindedir. İzokorik dönüşüm basınç kuvvetlerinin işine katkıda bulunmaz. 3. soru için, alınan iş

(P,V)

diyagramında yolun altında kalan cebirsel alanın ters işaretlisine eşittir.

Ayrıntılı çözüm

Çözüm

Soru 1.

C

ile

\Gamma_1

yolunun,

D

ile ise

\Gamma_2

yolunun ara durumunu gösterelim. Bu durumların basınç ve hacimleri

\begin{aligned} A&=\left(\frac{nRT_1}{V_1},V_1\right),& C&=\left(\frac{nRT_1}{V_2},V_2\right),\\ D&=\left(\frac{nRT_2}{V_1},V_1\right),& B&=\left(\frac{nRT_2}{V_2},V_2\right). \end{aligned}

$T_2>T_1$ olduğundan $T_2$ izotermi $T_1$ izoterminin üzerindedir. $\Gamma_1$ yolu $A$ 'dan $C$ 'ye, sağa doğru alttaki $T_1$ izotermi boyunca ilerler; ardından $C$ 'den $B$ 'ye, $V_2$ izokoru boyunca düşey olarak çıkar. $\Gamma_2$ yolu önce $A$ 'dan $D$ 'ye, $V_1$ izokoru boyunca düşey olarak çıkar, ardından $D$ 'den $B$ 'ye, üstteki $T_2$ izotermi boyunca sağa doğru ilerler. İki yolun okları dolayısıyla şöyledir:

\Gamma_1:A\xrightarrow{\,T=T_1\,}C\xrightarrow{\,V=V_2\,}B, \qquad \Gamma_2:A\xrightarrow{\,V=V_1\,}D\xrightarrow{\,T=T_2\,}B.

_1 ve _2 yollarının Clapeyron diyagramındaki gösterimi. Gri eğriler T_1 ve T_2 izotermlerinin uzantılarıdır. — Şekil 1. $\Gamma_1$ ve $\Gamma_2$ yollarının Clapeyron diyagramındaki gösterimi. Gri eğriler $T_1$ ve $T_2$ izotermlerinin uzantılarıdır.

Soru 2. Gazın aldığı iş işaret uzlaşımıyla $\delta W=-P\,\mathrm{d}V$ 'dir. İzokorik dönüşüm katkıda bulunmaz ve $T$ sıcaklığındaki bir izoterm üzerinde

W=-\int_{V_1}^{V_2}\frac{nRT}{V}\,\mathrm{d}V =-nRT\ln\frac{V_2}{V_1}.

Dolayısıyla

W_1=-nRT_1\ln\frac{V_2}{V_1}, \qquad W_2=-nRT_2\ln\frac{V_2}{V_1},

ve ardından

W_1-W_2 =nR(T_2-T_1)\ln\frac{V_2}{V_1}\neq 0.

elde edilir. Başlangıç ve son durumları aynı olmasına rağmen işler farklıdır: $\delta W$ tam diferansiyel değildir.

Soru 3. İzokorlar hiçbir alan taramaz. Alınan iş eğrinin altındaki alanın ters işaretlisi olduğundan, $W_1-W_2$ farkı $T_2$ ve $T_1$ izotermleri arasında kalan alandır:

W_1-W_2 =\int_{V_1}^{V_2}\left(\frac{nRT_2}{V}-\frac{nRT_1}{V}\right)\mathrm{d}V =nR(T_2-T_1)\ln\frac{V_2}{V_1}>0.

Böylece 2. sorudaki sonuç yeniden elde edilir.

Soru 4. Tek atomlu ideal gazın iç enerjisi yalnızca sıcaklığa bağlıdır. Bu nedenle değişimi iki yolda da aynıdır:

\Delta U=U_B-U_A=\frac{3}{2}nR(T_2-T_1).

Birinci yasa $\Delta U=W+Q$ olduğundan $Q=\Delta U-W$ ve dolayısıyla

\begin{aligned} Q_1&=\frac{3}{2}nR(T_2-T_1) +nRT_1\ln\frac{V_2}{V_1},\\ Q_2&=\frac{3}{2}nR(T_2-T_1) +nRT_2\ln\frac{V_2}{V_1}. \end{aligned}

Böylece,

Q_2-Q_1=nR(T_2-T_1)\ln\frac{V_2}{V_1}\neq 0.

Aktarılan ısı da yola bağlıdır: $\delta Q$ tam diferansiyel değildir; $\mathrm{d}U$ ise tam diferansiyeldir.

Soru 5. $\ln 2\simeq0{,}693$ ile

\begin{aligned} W_1&\simeq-1{,}73\ \mathrm{kJ},& W_2&\simeq-3{,}46\ \mathrm{kJ},\\ \Delta U&\simeq3{,}74\ \mathrm{kJ},& Q_1&\simeq5{,}47\ \mathrm{kJ},& Q_2&\simeq7{,}20\ \mathrm{kJ}. \end{aligned}

Gaz $\Gamma_2$ boyunca iki kat fazla iş verir ve buna karşılık gelen ek ısıyı alır.