Çözümlü termodinamik alıştırması

İki durum arasında iki farklı yoldan iş ve ısı

Alıştırma 19 · Ders 5 — İdeal gaza uygulama

basınç kuvvetlerinin işi
ısı
izotermal dönüşüm
izokorik dönüşüm
Clapeyron diyagramı
tam diferansiyel
ideal gaz

Soru

$n$ mol tek atomlu ideal gazı ele alalım; iç enerjisi $U = \frac{3}{2} n R T$ 'dir. $A (T_{1}, V_{1})$ durumu ile $B (T_{2}, V_{2})$ durumu, her anda $P_{ext} = P$ olacak şekilde iki yarı-statik yolla birleştirilmektedir:

$Γ_{1}$ : $T_{1}$ sıcaklığında $V_{1}$ 'den $V_{2}$ 'ye izotermal genleşme, ardından $V_{2}$ hacminde $T_{1}$ 'den $T_{2}$ 'ye izokorik dönüşüm;
$Γ_{2}$ : $V_{1}$ hacminde $T_{1}$ 'den $T_{2}$ 'ye izokorik dönüşüm, ardından $T_{2}$ sıcaklığında $V_{1}$ 'den $V_{2}$ 'ye izotermal genleşme.

$T_{2} > T_{1}$ ve $V_{2} > V_{1}$ durumunda $Γ_{1}$ ve $Γ_{2}$ yollarını Clapeyron $(P, V)$ diyagramında gösterin. Ara durumları ve izlenme yönünü belirtin.
İki yol boyunca alınan $W_{1}$ ve $W_{2}$ işlerini hesaplayın. $W_{1} - W_{2}$ neye eşittir?
İki integrali ayrı ayrı yeniden hesaplamadan, Clapeyron diyagramında iki yol arasında kalan alandan yararlanarak $W_{1} - W_{2}$ 'yi geometrik olarak bulun.
İki yolun her biri boyunca $Δ U$ 'yu hesaplayın, ardından $Q_{1}$ ve $Q_{2}$ 'yi çıkarın. $δ Q$ 'nun niteliği hakkında sonuç çıkarın.
Sayısal uygulama: $n = 1$ mol, $T_{1} = 300$ K, $T_{2} = 600$ K ve $V_{2} = 2 V_{1}$ .

İpucu

Clapeyron diyagramında izokorik dönüşüm düşey bir doğrudur; ideal gazın izotermi ise

P = n R T / V

bağıntısını sağlar.

T_{2}

sıcaklığındaki izoterm,

T_{1}

sıcaklığındaki izotermin üzerindedir. İzokorik dönüşüm basınç kuvvetlerinin işine katkıda bulunmaz. 3. soru için, alınan iş

(P, V)

diyagramında yolun altında kalan cebirsel alanın ters işaretlisine eşittir.

Ayrıntılı çözüm

Çözüm

Soru 1.

C

ile

Γ_{1}

yolunun,

D

ile ise

Γ_{2}

yolunun ara durumunu gösterelim. Bu durumların basınç ve hacimleri

A D = (\frac{n R T _{1}}{V _{1}}, V_{1}), = (\frac{n R T _{2}}{V _{1}}, V_{1}), C B = (\frac{n R T _{1}}{V _{2}}, V_{2}), = (\frac{n R T _{2}}{V _{2}}, V_{2}) .

$T_{2} > T_{1}$ olduğundan $T_{2}$ izotermi $T_{1}$ izoterminin üzerindedir. $Γ_{1}$ yolu $A$ 'dan $C$ 'ye, sağa doğru alttaki $T_{1}$ izotermi boyunca ilerler; ardından $C$ 'den $B$ 'ye, $V_{2}$ izokoru boyunca düşey olarak çıkar. $Γ_{2}$ yolu önce $A$ 'dan $D$ 'ye, $V_{1}$ izokoru boyunca düşey olarak çıkar, ardından $D$ 'den $B$ 'ye, üstteki $T_{2}$ izotermi boyunca sağa doğru ilerler. İki yolun okları dolayısıyla şöyledir:

Γ_{1} : A T = T_{1} C V = V_{2} B, Γ_{2} : A V = V_{1} D T = T_{2} B .

_1 ve _2 yollarının Clapeyron diyagramındaki gösterimi. Gri eğriler T_1 ve T_2 izotermlerinin uzantılarıdır. — Şekil 1. $Γ_{1}$ ve $Γ_{2}$ yollarının Clapeyron diyagramındaki gösterimi. Gri eğriler $T_{1}$ ve $T_{2}$ izotermlerinin uzantılarıdır.

Soru 2. Gazın aldığı iş işaret uzlaşımıyla $δ W = - P d V$ 'dir. İzokorik dönüşüm katkıda bulunmaz ve $T$ sıcaklığındaki bir izoterm üzerinde

W = - \int_{V_{1}}^{V_{2}} \frac{n R T}{V} d V = - n R T ln \frac{V _{2}}{V _{1}} .

Dolayısıyla

W_{1} = - n R T_{1} ln \frac{V _{2}}{V _{1}}, W_{2} = - n R T_{2} ln \frac{V _{2}}{V _{1}},

ve ardından

W_{1} - W_{2} = n R (T_{2} - T_{1}) ln \frac{V _{2}}{V _{1}} \neq = 0.

elde edilir. Başlangıç ve son durumları aynı olmasına rağmen işler farklıdır: $δ W$ tam diferansiyel değildir.

Soru 3. İzokorlar hiçbir alan taramaz. Alınan iş eğrinin altındaki alanın ters işaretlisi olduğundan,

W_{1} - W_{2}

farkı

T_{2}

T_{1}

izotermleri arasında kalan alandır:

W_{1} - W_{2} = \int_{V_{1}}^{V_{2}} (\frac{n R T _{2}}{V} - \frac{n R T _{1}}{V}) d V = n R (T_{2} - T_{1}) ln \frac{V _{2}}{V _{1}} > 0.

Böylece 2. sorudaki sonuç yeniden elde edilir.

Soru 4. Tek atomlu ideal gazın iç enerjisi yalnızca sıcaklığa bağlıdır. Bu nedenle değişimi iki yolda da aynıdır:

Δ U = U_{B} - U_{A} = \frac{3}{2} n R (T_{2} - T_{1}) .

Birinci yasa $Δ U = W + Q$ olduğundan $Q = Δ U - W$ ve dolayısıyla

Q_{1} Q_{2} = \frac{3}{2} n R (T_{2} - T_{1}) + n R T_{1} ln \frac{V _{2}}{V _{1}}, = \frac{3}{2} n R (T_{2} - T_{1}) + n R T_{2} ln \frac{V _{2}}{V _{1}} .

Böylece,

Q_{2} - Q_{1} = n R (T_{2} - T_{1}) ln \frac{V _{2}}{V _{1}} \neq = 0.

Aktarılan ısı da yola bağlıdır: $δ Q$ tam diferansiyel değildir; $d U$ ise tam diferansiyeldir.

Soru 5.

ln 2 ≃ 0, 693

ile

W_{1} Δ U ≃ - 1, 73 kJ, ≃ 3, 74 kJ, W_{2} Q_{1} ≃ - 3, 46 kJ, ≃ 5, 47 kJ, Q_{2} ≃ 7, 20 kJ .

Gaz $Γ_{2}$ boyunca iki kat fazla iş verir ve buna karşılık gelen ek ısıyı alır.