Soru

$n$ mol ideal gazın, sabit molar ısı kapasitesi $c_V$ ile $A\to B\to C\to A$ yarı-statik çevrimini gerçekleştirdiğini ele alalım:

A=(P_0,V_0), \qquad B=(2P_0,V_0), \qquad C=(P_0,2V_0).

$A\to B$ kolu izokorik, $B\to C$ kolu $(P,V)$ düzleminde bir doğru parçası, $C\to A$ kolu ise izobariktir.

Bir güç çevriminin verimi

\eta=\frac{W_{\mathrm{fourni}}}{Q_{\mathrm{in}}} =\frac{-W_{\mathrm{cycle}}}{Q_{\mathrm{in}}},

olarak tanımlanır; burada $Q_{\mathrm{in}}$ , çevrim boyunca gazın aldığı $\delta Q>0$ temel ısı aktarımlarının toplamıdır.

Çevrimi Clapeyron diyagramında gösterin ve izlenme yönünü belirtin. Güç üreten bir çevrim midir, yoksa iş alan bir çevrim mi?
$P(V)$ denklemini $B$ ile $C$ 'yi birleştiren doğru için belirleyin.
$T_0=P_0V_0/(nR)$ olmak üzere $T_A$ , $T_B$ ve $T_C$ sıcaklıklarını belirleyin. Bu kol izotermal olmadığı hâlde $\Delta U_{B\to C}$ neden sıfırdır?
Üç kolun her birinde ve tüm çevrimde alınan işi hesaplayın. Toplam işin mutlak değerini üçgenin alanından yararlanarak yeniden bulun.
Her koldaki $\Delta U$ ve $Q$ 'yu yalnızca $P_0$ , $V_0$ ve $c_V$ cinsinden hesaplayın, ardından $\Delta U_{\mathrm{cycle}}=0$ ve $Q_{\mathrm{cycle}}=-W_{\mathrm{cycle}}$ olduğunu doğrulayın.
$a = \frac{c_V}{R} >1$ ve $x = V/V_0$ olmak üzere, $\delta Q$ 'nun $B\to C$ kolunun bir noktasında işaret değiştirdiğini gösterin. Buradan $Q_{\mathrm{in}}$ 'i, ardından bu çevrimin verimi $\eta$ 'yı çıkarın. $c_V=\frac32R$ olan tek atomlu ideal gaz için değerini verin.

İpucu

B\to C

üzerinde

P(V)=aV+b

yazıp doğrunun

B

ve

C

'den geçmesi koşulunu uygulayın. İç enerji değişimini hesaplamak için yalnızca kolun uçlarındaki sıcaklıklar gereklidir. 6. soru için birinci yasayı diferansiyel biçimde kullanın.

Ayrıntılı çözüm

Çözüm

Sorular 1—2. Çevrim saat yönünde izlenir; bir güç çevrimidir.

B\to C

doğrusunun denklemi

P(V)=P_0\left(3-\frac{V}{V_0}\right).

Üçgensel A B C A çevriminin Clapeyron diyagramındaki gösterimi. — Şekil 1. Üçgensel $A\to B\to C\to A$ çevriminin Clapeyron diyagramındaki gösterimi.

Soru 3. Durum denklemi

T_A=T_0, \qquad T_B=T_C=2T_0.

sonucunu verir. $B\to C$ boyunca sıcaklık değişir, ancak iki uçta aynı değeri alır. Sabit madde miktarında ideal gazın iç enerjisi yalnızca sıcaklığa bağlı olduğundan $\Delta U_{B\to C}=0$ 'dır.

Soru 4. Alınan işler

W_{AB}=0, \qquad W_{BC}=-\int_{V_0}^{2V_0}P(V)\,dV=-\frac32P_0V_0, \qquad W_{CA}=-P_0 \Delta V = P_0V_0.

Dolayısıyla,

\boxed{W_{\mathrm{cycle}}=-\frac12P_0V_0}.

İşaret negatiftir: gaz çevrim boyunca iş verir. Mutlak değeri, tabanı $V_0$ ve yüksekliği $P_0$ olan üçgenin alanına gerçekten eşittir; dik üçgen için $A=\frac12\text{taban}\times\text{yükseklik}$ bağıntısı kullanılır.

Soru 5. $nRT_0=P_0V_0$ olduğundan

\begin{aligned} \begin{array}{c|c|c|c} \text{Kol} & W & \Delta U & Q=\Delta U-W\\ \hline A\to B & 0 & \dfrac{c_V}{R}P_0V_0 & \dfrac{c_V}{R}P_0V_0\\[4pt] B\to C & -\dfrac32P_0V_0 & 0 & \dfrac32P_0V_0\\[4pt] C\to A & P_0V_0 & -\dfrac{c_V}{R}P_0V_0 & -\left(\dfrac{c_V}{R}+1\right)P_0V_0 \end{array} \end{aligned}

Üç kol toplandığında

\boxed{ \Delta U_{\mathrm{cycle}}=0, \qquad Q_{\mathrm{cycle}}=\frac12P_0V_0=-W_{\mathrm{cycle}}. }

elde edilir.

Soru 6. $a=c_V/R$ ve $x=V/V_0$ olsun. $B\to C$ kolunda $P=P_0(3-x)$ ve $T=T_0(3x-x^2)$ 'dir. Birinci yasa

\delta Q=\mathrm{d}U-\delta W =P_0V_0\left[3(a+1)-(2a+1)x\right]\mathrm{d}x.

bağıntısını verir. Bu temel ısı aktarımı

x_\star=\frac{3(a+1)}{2a+1}.

noktasında sıfır olur. $a>1$ iken $1<x_\star<2$ 'dir: gaz $B$ 'den $x_\star$ apsisli noktaya kadar ısı alır, ardından $C$ 'ye kadar ısı verir. Ayrıca $Q_{AB}=aP_0V_0$ ısısını $A\to B$ üzerinde alır. Dolayısıyla,

\begin{aligned} Q_{\mathrm{in}} &=P_0V_0\left[ a+\int_1^{x_\star}\left(3(a+1)-(2a+1)x\right)\mathrm{d}x \right]\\ &=P_0V_0\left[a+\frac{(a+2)^2}{2(2a+1)}\right]. \end{aligned}

Böylece verim

\boxed{ \eta =\frac{\frac12P_0V_0}{Q_{\mathrm{in}}} =\frac{2a+1}{5a^2+6a+4}, \qquad a=\frac{c_V}{R}. }

olur. Tek atomlu ideal gaz için $a=\frac32$ olduğundan

\eta=\frac{16}{97}\simeq16{,}5\,\%.