Çözümlü termodinamik alıştırması

Polytropik PVk=sabitPV^k=\text{sabit} dönüşümünde iş

Alıştırma 14 · Ders 5 — İdeal gaza uygulama

  • polytropik dönüşüm
  • basınç kuvvetlerinin işi
  • Laplace yasası

Soru

Bir ideal gazın PVk=sabitPV^k=\text{sabit} bağıntısını sağlayan yarı-statik dönüşümünü ele alalım; burada k∈Rk\in\mathbb{R} ve k≠1k\neq1'dir.

  1. WA→BW_{A\to B}'yi PA,VA,PB,VBP_A,V_A,P_B,V_B ve kk cinsinden hesaplayın.
  2. İzobarik dönüşüm (k=0k=0) sonucunu yeniden elde edin.
  3. İzokorik dönüşüm için değeri nedir (önceki formülü kullanmadan)?
  4. k=1k=1 için ne olur? W=−nRTln⁡(VB/VA)W=-nRT\ln(V_B/V_A) bağıntısını yeniden elde edin.

İpucu
P(V)=CV−kP(V)=CV^{-k} yazın; burada C=PAVAkC=P_AV_A^k'dir. Tümleyin, ardından CV1−k=PVCV^{1-k}=PV bağıntısını kullanın.

Ayrıntılı çözüm

Çözüm
Soru 1. Polytropik bağıntı

PVk=C,P(V)=CV−k,C=PAVAk=PBVBk.PV^k=C, \qquad P(V)=CV^{-k}, \qquad C=P_AV_A^k=P_BV_B^k.

biçiminde yazılır. Bankacı işaret uzlaşımıyla gazın aldığı iş

WA→B=−∫VAVBP(V) dV=−C∫VAVBV−k dV.W_{A\to B} =-\int_{V_A}^{V_B}P(V)\,\mathrm{d}V =-C\int_{V_A}^{V_B}V^{-k}\,\mathrm{d}V.

olur. k≠1k\neq1 için V−kV^{-k}'nin bir ilkeli V1−k/(1−k)V^{1-k}/(1-k)'dir. Dolayısıyla,

WA→B=−C1−k(VB1−k−VA1−k)=CVA1−k−CVB1−k1−k.W_{A\to B} =-\frac{C}{1-k} \left(V_B^{1-k}-V_A^{1-k}\right) =\frac{CV_A^{1-k}-CV_B^{1-k}}{1-k}.

Öte yandan,

CVA1−k=PAVA,CVB1−k=PBVB.CV_A^{1-k}=P_AV_A, \qquad CV_B^{1-k}=P_BV_B.

Sonuç olarak,

WA→B=PAVA−PBVB1−k=PBVB−PAVAk−1.\boxed{ W_{A\to B} =\frac{P_AV_A-P_BV_B}{1-k} =\frac{P_BV_B-P_AV_A}{k-1} }.

Soru 2. k=0k=0 için PV0=CPV^0=C bağıntısı P=CP=C olur: dönüşüm izobariktir. PA=PB=PP_A=P_B=P olduğundan

WA→B=PAVA−PBVB=P(VA−VB)=−P(VB−VA)=−PΔV.W_{A\to B} =P_AV_A-P_BV_B =P(V_A-V_B) =-P(V_B-V_A) =-P\Delta V.

İzobarik işin doğrudan ifadesi böylece yeniden elde edilir.

Soru 3. İzokorik dönüşüm için VB=VAV_B=V_A ve her anda dV=0\mathrm{d}V=0'dır. Dolayısıyla,

WA→B=−∫ABP dV=0.W_{A\to B}=-\int_A^B P\,\mathrm{d}V=0.

Trivial olmayan izokorik dönüşüm sonlu hiçbir kk değerine karşılık gelmez: VV sabitse, PVk=sabitPV^k=\text{sabit} bağıntısı PP'nin de sabit olmasını gerektirir. İzokorik dönüşüm ancak k→∞k\to\infty biçimsel limiti olarak görülebilir.

Soru 4. k=1k=1 için integrand 1/V1/V ile orantılıdır: ilkel artık bir kuvvet değil, logaritmadır. Bu nedenle tümleme ayrı olarak yeniden yapılmalıdır. Polytropik bağıntı

PV=C.PV=C.

biçimini alır. Kapalı bir ideal gaz için PV=nRTPV=nRT'dir; dolayısıyla sıcaklık sabittir ve C=nRTC=nRT olur. Alınan iş bu durumda

WA→B=−∫VAVBnRTV dV=−nRTln⁡ ⁣(VBVA).W_{A\to B} =-\int_{V_A}^{V_B}\frac{nRT}{V}\,\mathrm{d}V =-nRT\ln\!\left(\frac{V_B}{V_A}\right).

Sıkıştırmada VB/VA<1V_B/V_A<1 olduğundan logaritma negatiftir ve beklendiği gibi WA→B>0W_{A\to B}>0 olur.