Çözümlü termodinamik alıştırması

Polytropik $P V^{k} = sabit$ dönüşümünde iş

Alıştırma 22 · Ders 5 — İdeal gaza uygulama

polytropik dönüşüm
basınç kuvvetlerinin işi
Laplace yasası

Soru

Bir ideal gazın $P V^{k} = sabit$ bağıntısını sağlayan yarı-statik dönüşümünü ele alalım; burada $k \in R$ ve $k \neq = 1$ 'dir.

$W_{A \to B}$ 'yi $P_{A}, V_{A}, P_{B}, V_{B}$ ve $k$ cinsinden hesaplayın.
İzobarik dönüşüm ( $k = 0$ ) sonucunu yeniden elde edin.
İzokorik dönüşüm için değeri nedir (önceki formülü kullanmadan)?
$k = 1$ için ne olur? $W = - n R T ln (V_{B} / V_{A})$ bağıntısını yeniden elde edin.

İpucu

P (V) = C V^{- k}

yazın; burada

C = P_{A} V_{A}^{k}

'dir. Tümleyin, ardından

C V^{1 - k} = P V

bağıntısını kullanın.

Ayrıntılı çözüm

Çözüm

Soru 1. Polytropik bağıntı

P V^{k} = C, P (V) = C V^{- k}, C = P_{A} V_{A}^{k} = P_{B} V_{B}^{k} .

biçiminde yazılır. Bankacı işaret uzlaşımıyla gazın aldığı iş

W_{A \to B} = - \int_{V_{A}}^{V_{B}} P (V) d V = - C \int_{V_{A}}^{V_{B}} V^{- k} d V .

olur. $k \neq = 1$ için $V^{- k}$ 'nin bir ilkeli $V^{1 - k} / (1 - k)$ 'dir. Dolayısıyla,

W_{A \to B} = - \frac{C}{1 - k} (V_{B}^{1 - k} - V_{A}^{1 - k}) = \frac{C V _{A}^{1 - k} - C V _{B}^{1 - k}}{1 - k} .

Öte yandan,

C V_{A}^{1 - k} = P_{A} V_{A}, C V_{B}^{1 - k} = P_{B} V_{B} .

Sonuç olarak,

W_{A \to B} = \frac{P _{A} V _{A} - P _{B} V _{B}}{1 - k} = \frac{P _{B} V _{B} - P _{A} V _{A}}{k - 1}

Soru 2. $k = 0$ için $P V^{0} = C$ bağıntısı $P = C$ olur: dönüşüm izobariktir. $P_{A} = P_{B} = P$ olduğundan

W_{A \to B} = P_{A} V_{A} - P_{B} V_{B} = P (V_{A} - V_{B}) = - P (V_{B} - V_{A}) = - P Δ V .

İzobarik işin doğrudan ifadesi böylece yeniden elde edilir.

Soru 3. İzokorik dönüşüm için

V_{B} = V_{A}

ve her anda

d V = 0

'dır. Dolayısıyla,

W_{A \to B} = - \int_{A}^{B} P d V = 0.

Trivial olmayan izokorik dönüşüm sonlu hiçbir $k$ değerine karşılık gelmez: $V$ sabitse, $P V^{k} = sabit$ bağıntısı $P$ 'nin de sabit olmasını gerektirir. İzokorik dönüşüm ancak $k \to \infty$ biçimsel limiti olarak görülebilir.

Soru 4.

k = 1

için integrand

1/ V

ile orantılıdır: ilkel artık bir kuvvet değil, logaritmadır. Bu nedenle tümleme ayrı olarak yeniden yapılmalıdır. Polytropik bağıntı

P V = C .

biçimini alır. Kapalı bir ideal gaz için $P V = n R T$ 'dir; dolayısıyla sıcaklık sabittir ve $C = n R T$ olur. Alınan iş bu durumda

W_{A \to B} = - \int_{V_{A}}^{V_{B}} \frac{n R T}{V} d V = - n R T ln (\frac{V _{B}}{V _{A}}) .

Sıkıştırmada $V_{B} / V_{A} < 1$ olduğundan logaritma negatiftir ve beklendiği gibi $W_{A \to B} > 0$ olur.