Çözümlü termodinamik alıştırması

Dikdörtgen soğutma çevrimi?

Alıştırma 23 · Ders 5 — İdeal gaza uygulama

termodinamik çevrim
dikdörtgen çevrim
Clapeyron diyagramı
iş
ısı
alan
ideal gaz
iş alan çevrim
soğutma makinesi

Soru

$n$ mol tek atomlu ideal gazın, $U = \frac{3}{2} n R T$ olmak üzere saat yönünün tersine yarı-statik olarak izlediği dikdörtgen çevrimi ele alalım:

A (P_{1}, V_{1}) \to B (P_{1}, V_{2}) \to C (P_{2}, V_{2}) \to D (P_{2}, V_{1}) \to A,

burada $V_{2} > V_{1}$ ve $P_{2} > P_{1}$ 'dir. Şu gösterimler kullanılacaktır:

Δ P = P_{2} - P_{1} > 0, Δ V = V_{2} - V_{1} > 0.

Çevrimi Clapeyron $(P, V)$ diyagramında gösterin ve her kolun türünü belirtin.
Dört kolun her birinde alınan işi, değişimin gerçekleştiği kollarda $Δ V$ cinsinden; toplam işi ise $Δ P$ ve $Δ V$ cinsinden hesaplayın. Değerini dikdörtgenin alanından yararlanarak yeniden bulun.
Her koldaki $Δ U$ ve $Q$ 'yu $P_{1}$ , $P_{2}$ , $V_{1}$ , $V_{2}$ , $Δ P$ ve $Δ V$ cinsinden ifade edin; izokorik kollarda $Δ P$ 'yi, izobarik kollarda $Δ V$ 'yi kullanın.
$Δ U_{cycle} = 0$ ve $Q_{cycle} = - W_{cycle}$ olduğunu doğrulayın. Çevrim güç üreten bir çevrim mi, yoksa iş alan bir çevrim mi? Gaz hangi kollarda ısı alır, hangi kollarda ısı verir? Gazın verdiği toplam ısı $Q_{out} > 0$ değerinin, aldığı toplam ısı $Q_{in} > 0$ ile aldığı iş $W_{cycle}$ toplamına eşit olduğunu gösterin.
Dört köşenin $T_{A}$ , $T_{B}$ , $T_{C}$ ve $T_{D}$ sıcaklıklarını ifade edin. En düşük hangisi, en yüksek hangisidir? Gazın sıcaklığı her kol boyunca nasıl değişir? Gaz hangi sıcaklıklar arasında ısı alır, hangi sıcaklıklar arasında ısı verir?
Bu çevrimi bir buzdolabı olarak kullanmak istiyoruz: soğuk bir bölmeden ısı çekip bunu odanın daha sıcak havasına atmak. Bir cismin ısı alabilmesi için temas ettiği kaynağın ondan daha sıcak olması gerekir. Gaza ısı veren kaynakların ve gazdan ısı alan kaynakların sıcaklıkları ne olmalıdır? Bu çevrim buzdolabı olarak çalışabilir mi?
Sayısal uygulama: $P_{1} = 1, 0$ bar, $P_{2} = 3, 0$ bar, $V_{1} = 5, 0$ L ve $V_{2} = 15, 0$ L. Her koldaki $W$ ve $Q$ değerlerini, ardından $W_{cycle}$ , $Q_{in}$ ve $Q_{out}$ değerlerini hesaplayın. Son olarak $T_{B} / T_{A}$ , $T_{C} / T_{A}$ ve $T_{D} / T_{A}$ oranlarını hesaplayın ve sonuca varın.

İpucu

İzokorik dönüşümde

n R Δ T = V Δ P

ve iş sıfırdır. İzobarik dönüşümde

n R Δ T = P Δ V

W = - P Δ V

'dir. Her durum fonksiyonu çevrim sonunda başlangıç değerine döner.

Ayrıntılı çözüm

Çözüm

Soru 1.

A

B

C

D

noktaları sırasıyla sol altta, sağ altta, sağ üstte ve sol üsttedir.

A \to B

C \to D

kolları izobarik;

B \to C

D \to A

kolları izokoriktir.

A \to B \to C \to D \to A

yolu saat yönünün tersine izlenir.

Şekil 1. İzobarik–izokorik dikdörtgen çevrimin Clapeyron diyagramındaki gösterimi.

Soru 2. Gazın aldığı iş

W = - \int P_{ext} d V .

biçimindedir. $B \to C$ ve $D \to A$ izokorlarında sıfırdır. İki izobarik kolda ise

W_{A B} = - P_{1} (V_{2} - V_{1}) = - P_{1} Δ V, W_{C D} = - P_{2} (V_{1} - V_{2}) = P_{2} Δ V .

Dolayısıyla,

W_{cycle} = (- P_{1} + P_{2}) Δ V = Δ P Δ V > 0

Bu değer Clapeyron diyagramındaki dikdörtgenin alanına gerçekten eşittir.

Soru 3. Tek atomlu ideal gaz için

Δ U = n c_{V} Δ T = \frac{3}{2} n R Δ T .

İzobarik dönüşümde durum denklemi $n R Δ T = P Δ V_{branch}$ verir. Dolayısıyla,

Δ U_{A B} = \frac{3}{2} P_{1} Δ V, Δ U_{C D} = - \frac{3}{2} P_{2} Δ V .

İzokorik dönüşümde ise $n R Δ T = V Δ P_{branch}$ olduğundan

Δ U_{B C} = \frac{3}{2} V_{2} Δ P, Δ U_{D A} = - \frac{3}{2} V_{1} Δ P .

Son olarak birinci yasa $Δ U = Q + W$ , yani $Q = Δ U - W$ , şu özet tabloyu verir:

Kol A \to B B \to C C \to D D \to A W - P_{1} Δ V 0 P_{2} Δ V 0 Δ U \frac{3}{2} P_{1} Δ V \frac{3}{2} V_{2} Δ P - \frac{3}{2} P_{2} Δ V - \frac{3}{2} V_{1} Δ P Q = Δ U - W \frac{5}{2} P_{1} Δ V \frac{3}{2} V_{2} Δ P - \frac{5}{2} P_{2} Δ V - \frac{3}{2} V_{1} Δ P

Soru 4. İç enerji değişimlerinin toplamı, bir çevrim boyunca her durum fonksiyonunda olduğu gibi sıfırdır. Dolayısıyla birinci yasa şunu verir:

Q_{cycle} = - W_{cycle} = - Δ P Δ V < 0.

Gaz toplamda iş alır: çevrim iş alan bir çevrimdir. Tabloya göre gaz $A \to B$ ve $B \to C$ kollarında ısı alır, $C \to D$ ve $D \to A$ kollarında ısı verir:

Q_{in} = Q_{A B} + Q_{B C} = \frac{5}{2} P_{1} Δ V + \frac{3}{2} V_{2} Δ P, Q_{out} = - (Q_{C D} + Q_{D A}) = \frac{5}{2} P_{2} Δ V + \frac{3}{2} V_{1} Δ P .

$P_{2} - P_{1} = Δ P$ ve $V_{2} - V_{1} = Δ V$ kullanılarak fark alınırsa

Q_{out} - Q_{in} = \frac{5}{2} Δ P Δ V - \frac{3}{2} Δ P Δ V = Δ P Δ V = W_{cycle},

buradan

Q_{out} = Q_{in} + W_{cycle}

Bir çevrim boyunca gaz, aldığı enerjinin tamamını, ısı ve iş dahil, ısı olarak geri verir.

Soru 5. Durum denklemi her köşede

T = P V / (n R)

verir:

T_{A} = \frac{P _{1} V _{1}}{n R}, T_{B} = \frac{P _{1} V _{2}}{n R}, T_{C} = \frac{P _{2} V _{2}}{n R}, T_{D} = \frac{P _{2} V _{1}}{n R} .

$P_{1} < P_{2}$ ve $V_{1} < V_{2}$ olduğundan $P V$ çarpımı $A$ 'da en küçük, $C$ 'de en büyüktür: $T_{A}$ çevrimin en düşük sıcaklığı, $T_{C}$ en yüksek sıcaklığıdır; $T_{B}$ ve $T_{D}$ ise aradadır.

A \to B

izobarında

V

sabit basınçta artar, dolayısıyla

T

T_{A}

'dan

T_{B}

'ye yükselir.

B \to C

izokorunda

P

sabit hacimde artar, dolayısıyla

T

T_{B}

'den

T_{C}

'ye yükselir. Benzer şekilde

T

C \to D

boyunca

T_{C}

'den

T_{D}

'ye, ardından

D \to A

boyunca

T_{D}

'den

T_{A}

'ya düşer. Gaz, sıcaklığı en düşük değer

T_{A}

'dan en yüksek değer

T_{C}

'ye çıkarken ısı alır; sıcaklığı

T_{C}

'den yeniden

T_{A}

'ya inerken ısı verir. Soru 6. Isı alabilmek için gaz, en az kendisi kadar sıcak kaynaklarla temas halinde olmalıdır; kuazistatik limitte bu kaynakların sıcaklığı gazınkini izler. Dolayısıyla gaza ısı veren kaynakların sıcaklıkları

T_{A}

'dan çevrimin en yüksek sıcaklığı olan

T_{C}

'ye kadar uzanır. Tersine, gazın ısısını alan kaynakların sıcaklıkları

T_{C}

'den çevrimin en düşük sıcaklığı olan

T_{A}

'ya kadar uzanır. Yani ayrı bir soğuk taraf ve sıcak taraf yoktur: gaz çok sıcak kaynaklardan ısı alır ve çok soğuk kaynaklara ısı verir. Bu çevrim, ısıyı en düşük sıcaklıklarda çekip en yüksek sıcaklıklarda atması gereken bir buzdolabı olarak kullanılamaz. Çevrim iş alır ve bunu tamamen ısı olarak geri verir (

Q_{cycle} = - W_{cycle}

); bu sırada ısıyı farklı sıcaklıklardaki kaynaklar arasında yeniden dağıtır. Buna karşılık bir buzdolabı, ısıyı çevriminin en soğuk kısımlarında soğurup en sıcak kısımlarında atmalıdır. Ders 6'da incelenen, ters yönde işletilen Carnot çevriminde durum budur: gaz soğuk izoterm boyunca ısı alır ve sıcak izoterm boyunca ısı verir. Dolayısıyla bir çevrimin iş alması, onun bir soğutma çevrimi olması için yeterli değildir. Soru 7. Burada

Δ P = 2, 0 \times 1 0^{5}

Pa ve

Δ V = 1, 0 \times 1 0^{- 2}

^{3}

'tür:

Kol A \to B B \to C C \to D D \to A W (J) - 1000 030000 Δ U (J) 15004500 - 4500 - 1500 Q (J) 25004500 - 7500 - 1500

Böylece $W_{cycle} = + 2000 J$ , $Q_{cycle} = - 2000 J$ ve $Δ U_{cycle} = 0$ bulunur. Alınan ısı $Q_{in} = 2500 + 4500 = 7000 J$ , verilen ısı ise $Q_{out} = 7500 + 1500 = 9000 J = Q_{in} + W_{cycle}$ olur. Sıcaklık oranları $n$ 'ye bağlı değildir:

\frac{T _{B}}{T _{A}} = \frac{V _{2}}{V _{1}} = 3, \frac{T _{C}}{T _{A}} = \frac{P _{2} V _{2}}{P _{1} V _{1}} = 9, \frac{T _{D}}{T _{A}} = \frac{P _{2}}{P _{1}} = 3.

Çevrimin en düşük sıcaklığı soğuk bir bölmenin sıcaklığı olsaydı, örneğin $T_{A} = 270 K$ , gazın $T_{C} = 9 T_{A} ≃ 2400 K$ sıcaklığa kadar çıkan kaynaklardan ısı alması gerekirdi. Böyle bir çevrim bölmeyi elbette soğutmaz.