Dikdörtgen soğutma çevrimi

Soru 1. $A$, $B$, $C$ ve $D$ noktaları sırasıyla sol altta, sağ altta, sağ üstte ve sol üsttedir. $A\to B$ ve $C\to D$ kolları izobarik; $B\to C$ ve $D\to A$ kolları izokoriktir. $A\to B\to C\to D\to A$ yolu saat yönünün tersine izlenir.

Soru 2. Gazın aldığı iş

$$W=-\int P_{\mathrm{ext}}\,\mathrm dV.$$

biçimindedir. $B\to C$ ve $D\to A$ izokorlarında sıfırdır. İki izobarik kolda ise

$$W_{AB}=-P_1(V_2-V_1)=-P_1\Delta V, \qquad W_{CD}=-P_2(V_1-V_2)=P_2\Delta V.$$

Dolayısıyla,

$$\boxed{W_{\mathrm{cycle}} =(-P_1+P_2)\Delta V =\Delta P\,\Delta V>0}.$$

Bu değer Clapeyron diyagramındaki dikdörtgenin alanına gerçekten eşittir.

Soru 3. Tek atomlu ideal gaz için

$$\Delta U=nc_V\Delta T=\frac32nR\Delta T.$$

İzobarik dönüşümde durum denklemi $nR\Delta T=P\Delta V_{\mathrm{branche}}$ verir. Dolayısıyla,

$$\Delta U_{AB}=\frac32P_1\Delta V, \qquad \Delta U_{CD}=-\frac32P_2\Delta V.$$

İzokorik dönüşümde ise $nR\Delta T=V\Delta P_{\mathrm{branche}}$ olduğundan

$$\Delta U_{BC}=\frac32V_2\Delta P, \qquad \Delta U_{DA}=-\frac32V_1\Delta P.$$

Son olarak birinci yasa $\Delta U=Q+W$, yani $Q=\Delta U-W$, şu özet tabloyu verir:

$$\begin{aligned} \begin{array}{c|c|c|c} \text{Kol} & W & \Delta U & Q=\Delta U-W\\ \hline A\to B & -P_1\Delta V & \frac32P_1\Delta V & \frac52P_1\Delta V\\[2pt] B\to C & 0 & \frac32V_2\Delta P & \frac32V_2\Delta P\\[2pt] C\to D & P_2\Delta V & -\frac32P_2\Delta V & -\frac52P_2\Delta V\\[2pt] D\to A & 0 & -\frac32V_1\Delta P & -\frac32V_1\Delta P \end{array} \end{aligned}$$

Soru 4. İç enerji değişimlerinin toplamı sıfırdır. Dolayısıyla birinci yasa

$$Q_{\mathrm{cycle}}=-W_{\mathrm{cycle}}=-\Delta P\,\Delta V<0.$$

olmasını gerektirir. Gaz net olarak iş alır: bu, iş alan bir çevrimdir. Gaz $A\to B$ ve $B\to C$ kollarında ısı alır. Bu iki kolda, temas ettiği soğuk kaynaklardan ısı çeker; dolayısıyla soğutulan, çevrimsel gazın kendisi değil, bu dış kaynaklardır (örneğin bir buzdolabının iç bölmesi ve içindeki gıdalar).

$C\to D$ ve $D\to A$ kollarında ise gaz sıcak kaynaklara, örneğin oda havasına, ısı verir. Bu kaynakların aldığı toplam ısı $Q_{\mathrm{chaud}}>0$ ile gösterilirse

$$Q_{\mathrm{chaud}} =-(Q_{CD}+Q_{DA}) =\frac52P_2\Delta V+\frac32V_1\Delta P.$$

Böylece çevrim, aldığı iş sayesinde ısıyı soğuk kaynaklardan sıcak kaynaklara aktarır.

Soru 5. Gazın çektiği ısı

$$Q_f =Q_{AB}+Q_{BC} =\frac52P_1\Delta V+\frac32V_2\Delta P.$$

Buradan

$$\boxed{ \mathrm{COP} =\frac{\frac52P_1\Delta V+\frac32V_2\Delta P} {\Delta P\,\Delta V}. }$$

elde edilir.

Soru 6. COP, yatırılan işe karşılık elde edilen soğutma etkisini ölçer: COP'nin $k$ olması, verilen her joule iş sayesinde soğuk kaynaklardan $k$ joule ısı çekilebildiği anlamına gelir.

Bir ısı makinesinin veriminden farklı olarak COP, alınan bir enerjinin işe dönüştürülen oranı değildir. Gaz hem $W_{\mathrm{in}}$ işini hem de soğuk kaynaklardan çektiği $Q_f$ ısısını alır, ardından bunların toplamını sıcak kaynaklara verir:

$$\boxed{Q_{\mathrm{chaud}}=Q_f+W_{\mathrm{in}}}.$$

Dolayısıyla $Q_f$'nin $W_{\mathrm{in}}$'den küçük olması için hiçbir neden yoktur ve COP, enerjinin korunumu yasasıyla çelişmeden 1'den büyük olabilir.

Soru 7. Burada $\Delta P=2{,}0\times10^5$ Pa ve $\Delta V=1{,}0\times10^{-2}$ m$^3$'tür:

$$\begin{aligned} \begin{array}{c|r|r|r} \text{Kol} & W\ (\mathrm J) & \Delta U\ (\mathrm J) & Q\ (\mathrm J)\\ \hline A\to B & -1000 & 1500 & 2500\\ B\to C & 0 & 4500 & 4500\\ C\to D & 3000 & -4500 & -7500\\ D\to A & 0 & -1500 & -1500 \end{array} \end{aligned}$$

Dolayısıyla $W_{\mathrm{cycle}}=+2000$ J, $Q_{\mathrm{cycle}}=-2000$ J ve $\Delta U_{\mathrm{cycle}}=0$'dır. Çekilen ısı

$$Q_f=2500+4500=7000\ \mathrm{J},$$

sıcak kaynaklara verilen ısı ise

$$Q_{\mathrm{chaud}}=7500+1500=9000\ \mathrm{J} =Q_f+W_{\mathrm{cycle}}.$$

Dolayısıyla soğutma performans katsayısı

$$\mathrm{COP}=\frac{7000}{2000}=3{,}5.$$