তাপগতিবিদ্যার সমাধানকৃত অনুশীলনী

$P V^{k} = ধ্রুবক$ পলিট্রপিক রূপান্তরের কাজ

অনুশীলনী 22 · পাঠ 5 — আদর্শ গ্যাসে প্রয়োগ

পলিট্রপিক রূপান্তর
চাপবলগুলির কাজ
লাপ্লাসের সূত্র

প্রশ্ন

আদর্শ গ্যাসের এমন একটি অর্ধ-স্থিতিশীল রূপান্তর বিবেচনা করা যাক যাতে $P V^{k} = ধ্রুবক$ , যেখানে $k \in R$ এবং $k \neq = 1$ ।

$P_{A}, V_{A}, P_{B}, V_{B}$ ও $k$ -এর সাহায্যে $W_{A \to B}$ নির্ণয় করুন।
সমচাপ রূপান্তরের ( $k = 0$ ) ফলটি পুনরুদ্ধার করুন।
সমআয়তন রূপান্তরের জন্য এর মান কত (আগের সূত্র ব্যবহার না করে)?
$k = 1$ হলে কী ঘটে? $W = - n R T ln (V_{B} / V_{A})$ পুনরুদ্ধার করুন।

ইঙ্গিত

C = P_{A} V_{A}^{k}

ধরে

P (V) = C V^{- k}

বসিয়ে সমাকলন করুন, তারপর

C V^{1 - k} = P V

ব্যবহার করুন।

বিস্তারিত সমাধান

সমাধান

প্রশ্ন ১। পলিট্রপিক সম্পর্কটি লেখা যায়

P V^{k} = C, P (V) = C V^{- k}, C = P_{A} V_{A}^{k} = P_{B} V_{B}^{k} .

ব্যাংকারের চিহ্নরীতিতে গ্যাসের গৃহীত কাজ

W_{A \to B} = - \int_{V_{A}}^{V_{B}} P (V) d V = - C \int_{V_{A}}^{V_{B}} V^{- k} d V .

$k \neq = 1$ হলে $V^{- k}$ -এর একটি আদি ফাংশন হলো $V^{1 - k} / (1 - k)$ । অতএব,

W_{A \to B} = - \frac{C}{1 - k} (V_{B}^{1 - k} - V_{A}^{1 - k}) = \frac{C V _{A}^{1 - k} - C V _{B}^{1 - k}}{1 - k} .

আবার

C V_{A}^{1 - k} = P_{A} V_{A}, C V_{B}^{1 - k} = P_{B} V_{B} .

শেষ পর্যন্ত,

W_{A \to B} = \frac{P _{A} V _{A} - P _{B} V _{B}}{1 - k} = \frac{P _{B} V _{B} - P _{A} V _{A}}{k - 1}

প্রশ্ন ২। $k = 0$ হলে $P V^{0} = C$ সম্পর্কটি $P = C$ হয়: রূপান্তরটি সমচাপ। যেহেতু $P_{A} = P_{B} = P$ ,

W_{A \to B} = P_{A} V_{A} - P_{B} V_{B} = P (V_{A} - V_{B}) = - P (V_{B} - V_{A}) = - P Δ V .

এভাবে সমচাপ কাজের প্রত্যক্ষ রাশিটিই আবার পাওয়া যায়।

প্রশ্ন ৩। সমআয়তন রূপান্তরের জন্য,

V_{B} = V_{A}

এবং প্রতিটি মুহূর্তে

d V = 0

। অতএব,

W_{A \to B} = - \int_{A}^{B} P d V = 0.

অতুচ্ছ সমআয়তন রূপান্তর $k$ -এর কোনো সসীম মানের সঙ্গে সঙ্গতিপূর্ণ নয়: $V$ ধ্রুব হলে $P V^{k} = ধ্রুবক$ সম্পর্কটি $P$ -কেও ধ্রুব হতে বাধ্য করে। সমআয়তন রূপান্তরকে শুধু $k \to \infty$ একটি আনুষ্ঠানিক সীমা হিসেবে দেখা যায়।

প্রশ্ন ৪।

k = 1

হলে সমাকল্যটি

1/ V

-এর সমানুপাতিক: এর আদি ফাংশন আর কোনো ঘাত নয়, বরং একটি লগারিদম। তাই আলাদাভাবে আবার সমাকলন করতে হবে। পলিট্রপিক সম্পর্কটি হয়

P V = C .

একটি বদ্ধ আদর্শ গ্যাসের জন্য $P V = n R T$ ; তাই তাপমাত্রা ধ্রুব এবং $C = n R T$ । তখন গৃহীত কাজ

W_{A \to B} = - \int_{V_{A}}^{V_{B}} \frac{n R T}{V} d V = - n R T ln (\frac{V _{B}}{V _{A}}) .

সংকোচনের জন্য $V_{B} / V_{A} < 1$ , তাই লগারিদমটি ঋণাত্মক এবং প্রত্যাশামতো $W_{A \to B} > 0$ ।