$PV^k=\text{ধ্রুবক}$ পলিট্রপিক রূপান্তরের কাজ

প্রশ্ন ১। পলিট্রপিক সম্পর্কটি লেখা যায়

$$PV^k=C, \qquad P(V)=CV^{-k}, \qquad C=P_AV_A^k=P_BV_B^k.$$

ব্যাংকারের চিহ্নরীতিতে গ্যাসের গৃহীত কাজ

$$W_{A\to B} =-\int_{V_A}^{V_B}P(V)\,\mathrm{d}V =-C\int_{V_A}^{V_B}V^{-k}\,\mathrm{d}V.$$

$k\neq1$ হলে $V^{-k}$-এর একটি আদি ফাংশন হলো $V^{1-k}/(1-k)$। অতএব,

$$W_{A\to B} =-\frac{C}{1-k} \left(V_B^{1-k}-V_A^{1-k}\right) =\frac{CV_A^{1-k}-CV_B^{1-k}}{1-k}.$$

আবার

$$CV_A^{1-k}=P_AV_A, \qquad CV_B^{1-k}=P_BV_B.$$

শেষ পর্যন্ত,

$$\boxed{ W_{A\to B} =\frac{P_AV_A-P_BV_B}{1-k} =\frac{P_BV_B-P_AV_A}{k-1} }.$$

প্রশ্ন ২। $k=0$ হলে $PV^0=C$ সম্পর্কটি $P=C$ হয়: রূপান্তরটি সমচাপ। যেহেতু $P_A=P_B=P$,

$$W_{A\to B} =P_AV_A-P_BV_B =P(V_A-V_B) =-P(V_B-V_A) =-P\Delta V.$$

এভাবে সমচাপ কাজের প্রত্যক্ষ রাশিটিই আবার পাওয়া যায়।

প্রশ্ন ৩। সমআয়তন রূপান্তরের জন্য, $V_B=V_A$ এবং প্রতিটি মুহূর্তে $\mathrm{d}V=0$। অতএব,

$$W_{A\to B}=-\int_A^B P\,\mathrm{d}V=0.$$

অতুচ্ছ সমআয়তন রূপান্তর $k$-এর কোনো সসীম মানের সঙ্গে সঙ্গতিপূর্ণ নয়: $V$ ধ্রুব হলে $PV^k=\text{ধ্রুবক}$ সম্পর্কটি $P$-কেও ধ্রুব হতে বাধ্য করে। সমআয়তন রূপান্তরকে শুধু $k\to\infty$ একটি আনুষ্ঠানিক সীমা হিসেবে দেখা যায়।

প্রশ্ন ৪। $k=1$ হলে সমাকল্যটি $1/V$-এর সমানুপাতিক: এর আদি ফাংশন আর কোনো ঘাত নয়, বরং একটি লগারিদম। তাই আলাদাভাবে আবার সমাকলন করতে হবে। পলিট্রপিক সম্পর্কটি হয়

$$PV=C.$$

একটি বদ্ধ আদর্শ গ্যাসের জন্য $PV=nRT$; তাই তাপমাত্রা ধ্রুব এবং $C=nRT$। তখন গৃহীত কাজ

$$W_{A\to B} =-\int_{V_A}^{V_B}\frac{nRT}{V}\,\mathrm{d}V =-nRT\ln\!\left(\frac{V_B}{V_A}\right).$$

সংকোচনের জন্য $V_B/V_A<1$, তাই লগারিদমটি ঋণাত্মক এবং প্রত্যাশামতো $W_{A\to B}>0$।