তাপগতিবিদ্যার সমাধানকৃত অনুশীলনী

রুদ্ধতাপীয় সংকোচন: ক্রমশ নাকি আকস্মিক

অনুশীলনী 24 · পাঠ 5 — আদর্শ গ্যাসে প্রয়োগ

রুদ্ধতাপীয় সংকোচন
প্রত্যাবর্তনীয় রূপান্তর
অপ্রত্যাবর্তনীয় রূপান্তর
ধ্রুব বহিঃচাপ
কাজ

প্রশ্ন

এই অনুশীলনটি শুধু একটি সুপরিচিত ধ্রুপদি সমস্যা নয়; প্রত্যাবর্তনীয় ও অপ্রত্যাবর্তনীয় রূপান্তরের একটি মৌলিক পার্থক্য প্রদর্শনের জন্যও এটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ (পাঠ ৬-ও দেখুন)।

ধ্রুব তাপধারণ ক্ষমতা ও $γ = c_{P} / c_{V} > 1$ অনুপাতবিশিষ্ট $n$ মোল আদর্শ গ্যাস একটি উল্লম্ব তাপরোধী সিলিন্ডারে আবদ্ধ। সিলিন্ডারের প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল $S$ এবং এটি নগণ্য ভরের, তাপরোধী, ঘর্ষণহীন সচল পিস্টন দিয়ে বন্ধ। বাইরের বায়ুমণ্ডলীয় চাপ $P_{0}$ পিস্টনের উপরের পৃষ্ঠে ক্রিয়া করে। প্রাথমিক সাম্যে গ্যাসের চাপও তাই $P_{0}$ , এবং তার অবস্থা

A = (P_{0}, V_{0}, T_{0}) .

মোট $M$ ভরের একটি অতিরিক্ত ভার রয়েছে। পুরো ভারটি পিস্টনের উপর রাখলে বহিঃচাপ হয়

P_{1} = P_{0} + \frac{M g}{S} = x P_{0}, x > 1.

দুটি পরীক্ষা তুলনা করা হবে: একটিতে $M$ ভরকে অনেকগুলি ছোট ভরে ভাগ করে একটির পর একটি যোগ করা হয় এবং প্রতিবার নতুন সাম্যের জন্য অপেক্ষা করা হয়; অন্যটিতে পুরো $M$ ভর একবারে রাখা হয়। দ্বিতীয় ধাপে ভারটিকে একইভাবে সরানো হয়: এক দানা বালি করে, অথবা একবারে।

দুটি পরীক্ষাই একই প্রাথমিক অবস্থা A থেকে শুরু হয়, যা মাঝখানে দেখানো হয়েছে: তখন পিস্টনের উপর শুধু বায়ুমণ্ডলীয় চাপ P_0 ক্রিয়া করে। বাঁদিকে, মোট M ভরের অতিরিক্ত ভারটি এক দানা বালি করে রাখা হয়, ফলে P_ ext ক্রমশ বাড়ে; একইভাবে সরালে পথটি বিপরীত দিকে অতিক্রম করা হয়। ডানদিকে, একই M ভর একবারে রাখা হয়: P_ ext আকস্মিকভাবে P_0 থেকে P_1-এ যায়। উভয় সংকোচন পরীক্ষায় P_1=P_0+Mg/ S=xP_0. — চিত্র 1. দুটি পরীক্ষাই একই প্রাথমিক অবস্থা $A$ থেকে শুরু হয়, যা মাঝখানে দেখানো হয়েছে: তখন পিস্টনের উপর শুধু বায়ুমণ্ডলীয় চাপ $P_{0}$ ক্রিয়া করে। বাঁদিকে, মোট $M$ ভরের অতিরিক্ত ভারটি এক দানা বালি করে রাখা হয়, ফলে $P_{ext}$ ক্রমশ বাড়ে; একইভাবে সরালে পথটি বিপরীত দিকে অতিক্রম করা হয়। ডানদিকে, একই $M$ ভর একবারে রাখা হয়: $P_{ext}$ আকস্মিকভাবে $P_{0}$ থেকে $P_{1}$ -এ যায়। উভয় সংকোচন পরীক্ষায় $P_{1} = P_{0} + M g / S = x P_{0}$ .

অতিরিক্ত ভারটি খুব ধীরে যোগ করা হয়, ফলে বহিঃচাপ ধীরে ধীরে $P_{0}$ থেকে $P_{1}$ -এ যায়। প্রমাণ করুন যে প্রতি মুহূর্তে গ্যাসের চাপ $P$ বহিঃচাপ $P_{ext}$ -এর সমান। তখন গ্যাসের পরপর অবস্থাগুলি সম্পর্কিত করতে কোন সূত্র ব্যবহার করা যায়? $x$ ও $γ$ -এর সাহায্যে $P_{B} / P_{0}$ , $T_{B} / T_{0}$ এবং $V_{B} / V_{0}$ নির্ণয় করুন।
এখন $B$ অবস্থা থেকে শুরু করে অতিরিক্ত ভারটি খুব ধীরে, এক দানা বালি করে, সরান যতক্ষণ না বহিঃচাপ আবার $P_{0}$ হয়। আগের প্রশ্নের একই সূত্র ব্যবহার করে দেখান যে গ্যাস ঠিক তার প্রাথমিক অবস্থা $A$ -তে ফিরে আসে।
আবার $A$ থেকে শুরু করে এবার পুরো $M$ ভর একবারে রাখুন: বহিঃচাপ আকস্মিকভাবে ধ্রুব $P_{1}$ মান নেয়। চূড়ান্ত অবস্থা $B^{'}$ সম্পূর্ণভাবে এবং $W_{A B^{'}}$ , $Q_{A B^{'}}$ ও $Δ U_{A B^{'}}$ নির্ণয় করুন।
প্রথমে $γ = 5/3$ ও $x = 2$ উদাহরণটি নিয়ে $T_{B^{'}}$ এবং $T_{B}$ -এর সাংখ্যিক তুলনা করুন। তারপর সব $γ > 1$ ও $x > 1$ -এর জন্য বিশ্লেষণাত্মকভাবে তুলনাটি প্রতিষ্ঠা করুন এবং $V_{B^{'}}$ ও $V_{B}$ তুলনা করুন। কোন সংকোচনটি গ্যাসকে বেশি উত্তপ্ত করে এবং কোনটি বেশি সংকুচিত করে?
$B^{'}$ থেকে পুরো অতিরিক্ত ভারটি আকস্মিকভাবে সরানো হয়; বহিঃচাপ আবার বায়ুমণ্ডলীয় চাপ $P_{0}$ হয়। চূড়ান্ত অবস্থা $B^{''}$ নির্ণয় করুন। $T_{B^{''}}$ ও $V_{B^{''}}$ তাদের প্রাথমিক মানের চেয়ে বড় না ছোট তা দেখান।
$A \to B^{'} \to B^{''}$ যাওয়া-আসার শক্তির হিসাব করুন। এই তুলনায় পাঠ ৬ কী যোগ করবে তা ব্যাখ্যা করুন।

ইঙ্গিত

আকস্মিক রূপান্তরের জন্য

W = - P_{ext} (V_{f} - V_{i})

ব্যবহার করুন এবং শুধু প্রাথমিক ও চূড়ান্ত সাম্যাবস্থায় অবস্থার সমীকরণ প্রয়োগ করুন।

B

ও

B^{'}

তুলনা করতে

T_{B^{'}} / T_{B}

অনুপাতের লগারিদম বিশ্লেষণ করা যেতে পারে।

বিস্তারিত সমাধান

সমাধান

স্মরণ করি,

c_{V} = \frac{R}{γ - 1}

। প্রশ্ন ১। অতিরিক্ত ভারটি যথেষ্ট ছোট ছোট ভরে ভাগ করা হয়েছে এবং পরের ভরটি যোগ করার আগে প্রতিটি নতুন সাম্যে পৌঁছানো হয়। ফলে গ্যাস সাম্যাবস্থার একটি অবিচ্ছিন্ন অনুক্রমের মধ্য দিয়ে যায়: রূপান্তরটি অর্ধ-স্থিতিশীল। পিস্টনের ভর নগণ্য এবং ঘর্ষণ না থাকায় প্রতি মুহূর্তের যান্ত্রিক সাম্য থেকে

P S = P_{ext} S

, অর্থাৎ

P = P_{ext}

। দেয়াল তাপরোধী বলে

δ Q = 0

। এই অবস্থায় লাপ্লাসের সূত্র ব্যবহার করা যায়।

A

ও

B

-এর মধ্যে দুটি উপযোগী রূপ হলো

P_{0} V_{0}^{γ} = P_{B} V_{B}^{γ}, T_{0}^{γ} P_{0}^{1 - γ} = T_{B}^{γ} P_{B}^{1 - γ} .

যেহেতু $P_{B} = P_{1} = x P_{0}$ , প্রথম সম্পর্ক থেকে সরাসরি $V_{B} / V_{0} = x^{- 1/ γ}$ এবং দ্বিতীয়টি থেকে $T_{B} / T_{0} = x^{(γ - 1) / γ}$ পাওয়া যায়। অতএব $P_{B} / P_{0} = x$ , $T_{B} / T_{0} = x^{(γ - 1) / γ}$ এবং $V_{B} / V_{0} = x^{- 1/ γ}$ ।

প্রশ্ন ২। ভারটি ক্রমশ সরানোর সময় গ্যাস বাইরের সঙ্গে যান্ত্রিক সাম্যে থাকে এবং একই লাপ্লাসীয় রুদ্ধতাপীয় পথ বিপরীত দিকে অনুসরণ করে। শেষে

P_{f} = P_{0}

। লাপ্লাসের সম্পর্কগুলি তখন দেয়

T_{f} = T_{B} (\frac{P _{0}}{P _{1}})^{(γ - 1) / γ} = T_{0} x^{(γ - 1) / γ} x^{- (γ - 1) / γ} = T_{0},

এবং

V_{f} = V_{B} (\frac{P _{1}}{P _{0}})^{1/ γ} = V_{0} x^{- 1/ γ} x^{1/ γ} = V_{0} .

গ্যাস তাই ঠিক $A = (P_{0}, V_{0}, T_{0})$ অবস্থাটি ফিরে পায়। সাম্যাবস্থার একই অনুক্রম দিয়ে রূপান্তরটিকে দুই দিকেই অতিক্রম করা যায়; তাই রূপান্তরটি প্রত্যাবর্তনীয়।

প্রশ্ন ৩। এখানে লাপ্লাসের সূত্র ব্যবহার করা যাবে না: এই আকস্মিক রূপান্তরে গ্যাস সাম্যাবস্থার কোনো অনুক্রমের মধ্য দিয়ে যায় না। পরিবর্তনের সময় কাজে শুধু ধ্রুব বহিঃচাপ

P_{1}

অংশ নেয়:

W_{A B^{'}} = - P_{1} (V_{B^{'}} - V_{0})

। চূড়ান্ত সাম্যে

P_{B^{'}} = P_{1}

।

P_{0} V_{0} = n R T_{0}

P_{1} V_{B^{'}} = n R T_{B^{'}}

Q_{A B^{'}} = 0

এবং

Δ U_{A B^{'}} = n c_{V} (T_{B^{'}} - T_{0})

ব্যবহার করলে প্রথম সূত্র দেয়

T_{B^{'}} = T_{0} \frac{1 + ( γ - 1 ) x}{γ} .

ধরি

θ = \frac{1 + ( γ - 1 ) x}{γ} .

তাহলে

P_{B^{'}} = x P_{0}, T_{B^{'}} = θ T_{0}, V_{B^{'}} = \frac{θ}{x} V_{0} .

প্রশ্ন ৪। প্রথমে $γ = 5/3$ ও $x = 2$ উদাহরণটি বিবেচনা করি। ক্রমশ সংকোচনে $T_{B} / T_{0} = 2^{2/5} ≃ 1, 32$ , আর আকস্মিক সংকোচনে

T_{B^{'}} / T_{0} = θ = [1 + (2/3) \times 2] / (5/3) = 7/5 = 1, 40.

এই উদাহরণে আকস্মিক সংকোচন গ্যাসকে বেশি উত্তপ্ত করে। এবার ফলটি সাধারণভাবে প্রমাণ করি। ধরি

f (x) = ln (\frac{T _{B^{'}}}{T _{B}}) = ln (\frac{1 + ( γ - 1 ) x}{γ}) - \frac{γ - 1}{γ} ln x .

$f (1) = 0$ , এবং

f^{'} (x) = \frac{γ - 1}{1 + ( γ - 1 ) x} - \frac{γ - 1}{γ x} = \frac{( γ - 1 ) ( x - 1 )}{γ x [ 1 + ( γ - 1 ) x ]}

$γ > 1$ ও $x > 1$ হলে হরের সব গুণনীয়ক ধনাত্মক এবং $f^{'} (x) > 0$ । তাই $f (x) > f (1) = 0$ , অর্থাৎ $T_{B^{'}} / T_{B} > 1$ , সুতরাং $T_{B^{'}} > T_{B}$ । দুই অবস্থার চাপ একই $P_{1}$ ; আদর্শ গ্যাসের সমীকরণ তাই $V_{B^{'}} > V_{B}$ -ও দেয়। আকস্মিক সংকোচন গ্যাসকে বেশি উত্তপ্ত করে, কিন্তু ক্রমশ সংকোচনের তুলনায় কম সংকুচিত করে।

প্রশ্ন ৫। অতিরিক্ত ভারটি আকস্মিকভাবে সরালে বহিঃচাপ

P_{1}

থেকে

P_{0} = P_{1} / x

-এ যায়। তাই প্রশ্ন ৩-এর গণনায় চাপের অনুপাত

x

-এর জায়গায় তার বিপরীত

1/ x

বসাই। ফলটি হয়

\frac{T _{B^{''}}}{T _{B^{'}}} = \frac{1 + ( γ - 1 ) P _{0} / P _{1}}{γ} = \frac{1 + ( γ - 1 ) / x}{γ} .

ধরি

φ = \frac{1 + ( γ - 1 ) / x}{γ},

তাহলে

P_{B^{''}} = P_{0}, T_{B^{''}} = θ φ T_{0}, V_{B^{''}} = θ φ V_{0} .

আর

θ φ - 1 = \frac{γ - 1}{γ ^{2}} (x + \frac{1}{x} - 2) .

এখানে $x > 1$ , তাই $x > 0$ এবং $x + 1/ x - 2 = (x - 1)^{2} / x > 0$ । যেহেতু $γ > 1$ , তাই $θ φ - 1 > 0$ । অতএব

T_{B^{''}} > T_{0} V_{B^{''}} > V_{0}

বহিঃচাপকে প্রাথমিক মানে ফিরিয়ে আনার পরেও গ্যাস $A$ অবস্থায় ফিরে আসে না। এই পার্থক্যটি অপ্রত্যাবর্তনীয়তার প্রথম লক্ষণ: বাইরের বাধাকে প্রাথমিক মানে ফিরিয়ে আনাই তন্ত্রকে প্রাথমিক অবস্থায় ফেরানোর জন্য যথেষ্ট নয়।

প্রশ্ন ৬। আকস্মিক প্রসারণটি রুদ্ধতাপীয়; তাই সম্পূর্ণ যাওয়া-আসায়

Q_{tot} = 0, W_{tot} = Δ U_{tot} = n c_{V} T_{0} (θ φ - 1) > 0.

বাইরের হস্তক্ষেপ চাপকে তার প্রাথমিক মানে ফিরিয়ে আনে, কিন্তু গ্যাস মোট ধনাত্মক কাজ পেয়েছে এবং আরও উত্তপ্ত ও প্রসারিত থাকে। পাঠ ৬ একই অবস্থাগুলিতে ফিরে দেখাবে যে প্রত্যাবর্তনীয় সংকোচনে এনট্রপি উৎপন্ন হয় না, কিন্তু দুটি আকস্মিক রূপান্তরের প্রতিটিতে এনট্রপি উৎপন্ন হয়।