তাপগতিবিদ্যার সমাধানকৃত অনুশীলনী

ত্রিভুজাকার চক্র

অনুশীলনী 12 · পাঠ 5 — আদর্শ গ্যাসে প্রয়োগ

কাজ-উৎপাদক চক্র
ক্ল্যাপেরন লেখচিত্র
চক্রের ক্ষেত্রফল
প্রথম সূত্র
দক্ষতা

প্রশ্ন

ধ্রুব মোলার তাপধারণ ক্ষমতা $c_V$ -বিশিষ্ট $n$ মোল আদর্শ গ্যাস $A\to B\to C\to A$ অর্ধ-স্থিতিশীল চক্রটি সম্পন্ন করে, যেখানে

A=(P_0,V_0), \qquad B=(2P_0,V_0), \qquad C=(P_0,2V_0).

$A\to B$ শাখাটি সমআয়তন, $B\to C$ শাখাটি $(P,V)$ সমতলে একটি সরলরেখাংশ এবং $C\to A$ শাখাটি সমচাপ।

একটি কাজ-উৎপাদক চক্রের দক্ষতা সংজ্ঞায়িত হয়

\eta=\frac{W_{\mathrm{fourni}}}{Q_{\mathrm{in}}} =\frac{-W_{\mathrm{cycle}}}{Q_{\mathrm{in}}},

যেখানে $Q_{\mathrm{in}}$ হলো চক্রের সময় গ্যাসের গৃহীত $\delta Q>0$ অতিক্ষুদ্র তাপ স্থানান্তরগুলির যোগফল।

ক্ল্যাপেরন লেখচিত্রে চক্রটি উপস্থাপন করুন এবং এটি অতিক্রমের দিক নির্দেশ করুন। এটি কাজ-উৎপাদক, না কাজ-গ্রাহী?
$B$ ও $C$ -কে সংযোগকারী সরলরেখার $P(V)$ সমীকরণ নির্ণয় করুন।
$T_0=P_0V_0/(nR)$ ধরে $T_A$ , $T_B$ ও $T_C$ তাপমাত্রা নির্ণয় করুন। শাখাটি সমতাপ না হওয়া সত্ত্বেও $\Delta U_{B\to C}$ শূন্য কেন?
তিনটি শাখার প্রতিটিতে এবং তারপর সম্পূর্ণ চক্রে গৃহীত কাজ নির্ণয় করুন। ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল থেকে মোট কাজের পরম মানটি পুনরুদ্ধার করুন।
শুধু $P_0$ , $V_0$ ও $c_V$ -এর সাহায্যে প্রতিটি শাখায় $\Delta U$ ও $Q$ নির্ণয় করুন, তারপর যাচাই করুন যে $\Delta U_{\mathrm{cycle}}=0$ এবং $Q_{\mathrm{cycle}}=-W_{\mathrm{cycle}}$ ।
$a = \frac{c_V}{R} >1$ এবং $x = V/V_0$ ধরে দেখান যে $B\to C$ শাখার একটি বিন্দুতে $\delta Q$ -এর চিহ্ন বদলে যায়। এ থেকে $Q_{\mathrm{in}}$ , তারপর এই চক্রের দক্ষতা $\eta$ নির্ণয় করুন। যে একপরমাণুক আদর্শ গ্যাসের জন্য $c_V=\frac32R$ , তার ক্ষেত্রে এর মান দিন।

ইঙ্গিত

B\to C

-তে

B

ও

C

বিন্দু দিয়ে যাওয়ার শর্ত আরোপ করে

P(V)=aV+b

নির্ণয় করুন। অভ্যন্তরীণ শক্তির পরিবর্তন নির্ণয়ে শুধু শাখাটির দুই প্রান্তের তাপমাত্রাই প্রয়োজন। প্রশ্ন ৬-এর জন্য প্রথম সূত্রের অন্তরক রূপ ব্যবহার করুন।

বিস্তারিত সমাধান

সমাধান

প্রশ্ন ১—২। চক্রটি ঘড়ির কাঁটার দিকে অতিক্রান্ত হয়: এটি কাজ-উৎপাদক।

B\to C

সরলরেখার সমীকরণ হলো

P(V)=P_0\left(3-\frac{V}{V_0}\right).

ক্ল্যাপেরন লেখচিত্রে A B C A ত্রিভুজাকার চক্র। — চিত্র 1. ক্ল্যাপেরন লেখচিত্রে $A\to B\to C\to A$ ত্রিভুজাকার চক্র।

প্রশ্ন ৩। অবস্থার সমীকরণ থেকে পাই

T_A=T_0, \qquad T_B=T_C=2T_0.

$B\to C$ বরাবর তাপমাত্রা পরিবর্তিত হয়, কিন্তু শাখাটির দুই প্রান্তে তা একই মানে ফিরে আসে। নির্দিষ্ট পদার্থের পরিমাণে আদর্শ গ্যাসের অভ্যন্তরীণ শক্তি শুধু তাপমাত্রার উপর নির্ভর করায় $\Delta U_{B\to C}=0$ ।

প্রশ্ন ৪। গৃহীত কাজগুলি হলো

W_{AB}=0, \qquad W_{BC}=-\int_{V_0}^{2V_0}P(V)\,dV=-\frac32P_0V_0, \qquad W_{CA}=-P_0 \Delta V = P_0V_0.

অতএব,

\boxed{W_{\mathrm{cycle}}=-\frac12P_0V_0}.

এর চিহ্ন ঋণাত্মক: চক্রের সময় গ্যাস কাজ প্রদান করে। এর পরম মানটি সত্যিই $V_0$ ভূমি ও $P_0$ উচ্চতাবিশিষ্ট ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল; সমকোণী ত্রিভুজের জন্য $A=\frac12\text{ভূমি}\times\text{উচ্চতা}$ সূত্র থেকে এটি পাওয়া যায়।

প্রশ্ন ৫। যেহেতু $nRT_0=P_0V_0$ ,

\begin{aligned} \begin{array}{c|c|c|c} \text{শাখা} & W & \Delta U & Q=\Delta U-W\\ \hline A\to B & 0 & \dfrac{c_V}{R}P_0V_0 & \dfrac{c_V}{R}P_0V_0\\[4pt] B\to C & -\dfrac32P_0V_0 & 0 & \dfrac32P_0V_0\\[4pt] C\to A & P_0V_0 & -\dfrac{c_V}{R}P_0V_0 & -\left(\dfrac{c_V}{R}+1\right)P_0V_0 \end{array} \end{aligned}

তিনটি শাখা যোগ করলে পাওয়া যায়

\boxed{ \Delta U_{\mathrm{cycle}}=0, \qquad Q_{\mathrm{cycle}}=\frac12P_0V_0=-W_{\mathrm{cycle}}. }

প্রশ্ন ৬। $a=c_V/R$ ও $x=V/V_0$ ধরি। $B\to C$ শাখায় $P=P_0(3-x)$ এবং $T=T_0(3x-x^2)$ । প্রথম সূত্র দেয়

\delta Q=\mathrm{d}U-\delta W =P_0V_0\left[3(a+1)-(2a+1)x\right]\mathrm{d}x.

এই অতিক্ষুদ্র তাপের মান শূন্য হয় যখন

x_\star=\frac{3(a+1)}{2a+1}.

$a>1$ হলে $1<x_\star<2$ : $B$ থেকে $x_\star$ ভুজবিশিষ্ট বিন্দু পর্যন্ত গ্যাস তাপ গ্রহণ করে, তারপর $C$ পর্যন্ত তাপ ছেড়ে দেয়। $A\to B$ শাখায়ও এটি $Q_{AB}=aP_0V_0$ তাপ গ্রহণ করে। অতএব,

\begin{aligned} Q_{\mathrm{in}} &=P_0V_0\left[ a+\int_1^{x_\star}\left(3(a+1)-(2a+1)x\right)\mathrm{d}x \right]\\ &=P_0V_0\left[a+\frac{(a+2)^2}{2(2a+1)}\right]. \end{aligned}

সুতরাং দক্ষতা

\boxed{ \eta =\frac{\frac12P_0V_0}{Q_{\mathrm{in}}} =\frac{2a+1}{5a^2+6a+4}, \qquad a=\frac{c_V}{R}. }

একপরমাণুক আদর্শ গ্যাসের জন্য $a=\frac32$ , তাই

\eta=\frac{16}{97}\simeq16{,}5\,\%.