তাপগতিবিদ্যার সমাধানকৃত অনুশীলনী

পাঠ্য অনুশীলন: প্রাথমিক রূপান্তর

অনুশীলনী 9 · পাঠ 5 — আদর্শ গ্যাসে প্রয়োগ

পাঠ্য অনুশীলন
একপরমাণুক আদর্শ গ্যাস
সমআয়তন রূপান্তর
সমতাপ রূপান্তর
সমচাপ রূপান্তর
অভ্যন্তরীণ শক্তি
কাজ
তাপ
প্রথম সূত্র

প্রশ্ন

প্রাথমিকভাবে $A(P_A,V_A,T_i)$ অবস্থায় থাকা $n$ মোল একপরমাণুক আদর্শ গ্যাস বিবেচনা করা যাক। $A$ থেকে শুরু হওয়া তিনটি অর্ধ-স্থিতিশীল রূপান্তরকে আলাদাভাবে বিশ্লেষণ করা হবে, যেখানে $T_f>T_i$ :

$A\to B$ : $T_i$ থেকে $T_f$ পর্যন্ত সমআয়তন উত্তাপন;
$A\to C$ : $T_i$ তাপমাত্রায় $V_A$ থেকে $V_A/2$ পর্যন্ত সমতাপ সংকোচন;
$A\to D$ : $T_i$ থেকে $T_f$ পর্যন্ত সমচাপ উত্তাপন।

ব্যাংকারের চিহ্নরীতি গ্রহণ করা হলো: গ্যাস যে স্থানান্তর গ্রহণ করে তা ধনাত্মক।

একই ক্ল্যাপেরন $(P,V)$ লেখচিত্রে তিনটি রূপান্তর উপস্থাপন করুন এবং $B$ , $C$ ও $D$ অবস্থাগুলি প্রতীকীভাবে নির্ণয় করুন।
তিনটি রূপান্তরের প্রতিটির জন্য $W$ , $\Delta U$ ও $Q$ প্রতীকীভাবে নির্ণয় করুন।
শক্তি স্থানান্তরের চিহ্নগুলি ব্যাখ্যা করুন।
সাংখ্যিক প্রয়োগ: $n=1\ \mathrm{mol}$ , $T_i=300\ \mathrm{K}$ , $T_f=500\ \mathrm{K}$ এবং $R=8{,}314\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}$ ।

ইঙ্গিত

একপরমাণুক আদর্শ গ্যাসের জন্য

\Delta U=\frac32nR\Delta T

।

W=-\int P\,\mathrm{d}V

এবং প্রথম সূত্র

\Delta U=Q+W

ব্যবহার করুন।

বিস্তারিত সমাধান

সমাধান

প্রশ্ন ১। আদর্শ গ্যাসের সমীকরণ থেকে পাই

\begin{aligned} \begin{array}{c|c|c|c} \text{অবস্থা} & P & V & T \\ \hline A & P_A & V_A & T_i \\ B & P_A\dfrac{T_f}{T_i} & V_A & T_f \\[4pt] C & 2P_A & \dfrac{V_A}{2} & T_i \\[4pt] D & P_A & V_A\dfrac{T_f}{T_i} & T_f \end{array} \end{aligned}

$(P,V)$ লেখচিত্রে $A\to B$ একটি উল্লম্ব রেখা, $A\to C$ বাম দিকে $T_i$ সমতাপ রেখা অনুসরণ করে এবং $A\to D$ ডান দিকে একটি অনুভূমিক রেখা।

প্রশ্ন ২।

সমআয়তন উত্তাপন $A\to B$ । যেহেতু $\mathrm{d}V=0$ ,

W_{AB}=0, \qquad \Delta U_{AB}=\frac32nR(T_f-T_i), \qquad Q_{AB}=\frac32nR(T_f-T_i).

সমতাপ সংকোচন $A\to C$ । তাপমাত্রা ধ্রুব, তাই $\Delta U_{AC}=0$ । তদুপরি,

W_{AC} =-\int_{V_A}^{V_A/2}\frac{nRT_i}{V}\,\mathrm{d}V =nRT_i\ln2, \qquad Q_{AC}=-nRT_i\ln2.

সমচাপ উত্তাপন $A\to D$ । ধ্রুব চাপে, $P_A(V_D-V_A)=nR(T_f-T_i)$ , তাই

W_{AD}=-nR(T_f-T_i), \qquad \Delta U_{AD}=\frac32nR(T_f-T_i), \qquad Q_{AD}=\frac52nR(T_f-T_i).

প্রশ্ন ৩। সমআয়তন রূপান্তরে গৃহীত সমস্ত তাপ অভ্যন্তরীণ শক্তি বাড়ায়। সমতাপ সংকোচনের সময় গ্যাস কাজ গ্রহণ করে এবং ঠিক সমপরিমাণ শক্তি তাপ হিসেবে ছেড়ে দেয়। সমচাপ রূপান্তরে গ্যাস তাপ গ্রহণ করে, তার অভ্যন্তরীণ শক্তি বাড়ায় এবং প্রসারণের সময় কাজ প্রদান করে।

প্রশ্ন ৪। যখন $T_f-T_i=200\ \mathrm{K}$ :

\begin{aligned} \begin{array}{c|r|r|r} \text{রূপান্তর} & W\ (\mathrm{kJ}) & \Delta U\ (\mathrm{kJ}) & Q\ (\mathrm{kJ}) \\ \hline \text{সমআয়তন }A\to B & 0 & +2{,}49 & +2{,}49 \\ \text{সমতাপ }A\to C & +1{,}73 & 0 & -1{,}73 \\ \text{সমচাপ }A\to D & -1{,}66 & +2{,}49 & +4{,}16 \end{array} \end{aligned}