তাপগতিবিদ্যার সমাধানকৃত অনুশীলনী

ধ্রুব চাপে উত্তাপন: cPc_P-এর আবিষ্কার

অনুশীলনী 13 · পাঠ 5 — আদর্শ গ্যাসে প্রয়োগ

  • তাপধারণ ক্ষমতা
  • ধ্রুব চাপ
  • মায়ারের সম্পর্ক
  • সমচাপ উত্তাপন
  • আদর্শ গ্যাস

প্রশ্ন

মোলার তাপধারণ ক্ষমতা cVc_V-বিশিষ্ট এক মোল আদর্শ গ্যাসকে প্রাথমিক আয়তন V0V_0-এর একটি সিলিন্ডারে আবদ্ধ করা হয়েছে। সিলিন্ডারটি ঘর্ষণহীন চলমান ও রুদ্ধতাপীয় পিস্টন দিয়ে বন্ধ, যার উপর ধ্রুব বহিঃচাপ P0P_0 ক্রিয়া করে। গ্যাসের অভ্যন্তরের একটি বৈদ্যুতিক রোধ অর্ধ-স্থিতিশীলভাবে গ্যাসটিকে Q>0Q>0 তাপ সরবরাহ করে।

  1. যন্ত্রটির একটি সরল নকশা আঁকুন। গ্যাস, পিস্টন, রোধ, বহিঃচাপ P0P_0 এবং শক্তি বিনিময়গুলি নির্দেশ করুন।
  2. কোনো সাংখ্যিক মান ব্যবহার না করে প্রাথমিক তাপমাত্রা T0T_0 প্রকাশ করুন, তারপর চূড়ান্ত অবস্থা (Pf,Vf,Tf)(P_f,V_f,T_f), গ্যাসের গৃহীত কাজ WW এবং তার অভ্যন্তরীণ শক্তির পরিবর্তন ΔU\Delta U নির্ণয় করুন।
  3. এ থেকে ধ্রুব চাপে মোলার তাপধারণ ক্ষমতা cP=(δQ/dT)Pc_P=(\delta Q/\mathrm{d}T)_P-কে cVc_V ও RR-এর সাহায্যে প্রকাশ করুন।
  4. একটি একপরমাণুক আদর্শ গ্যাসের জন্য সাংখ্যিক প্রয়োগ: cV=32Rc_V=\frac32R, V0=25 LV_0=25\ \mathrm{L}, P0=1,0×105 PaP_0=1{,}0\times10^5\ \mathrm{Pa}, Q=1000 JQ=1000\ \mathrm{J} এবং R=8,314 J mol−1 K−1R=8{,}314\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}।

ইঙ্গিত
রূপান্তরটি সমচাপ: W=−P0 ΔVW=-P_0\,\Delta V। এক মোল আদর্শ গ্যাসের জন্য P0 ΔV=R ΔTP_0\,\Delta V=R\,\Delta T। সম্পর্কগুলি প্রথম সূত্রে বসান।

বিস্তারিত সমাধান

সমাধান
প্রশ্ন ১। নকশায় একটি চলমান পিস্টন দিয়ে বন্ধ সিলিন্ডারের ভিতরের গ্যাস দেখাতে হবে। সিলিন্ডারের ভিতরের একটি তির রোধের সরবরাহ করা QQ তাপকে নির্দেশ করে। বহিঃচাপ P0P_0 পিস্টনের উপর ক্রিয়া করে; গ্যাস প্রসারিত হলে পিস্টনটি উপরে সরে যায়।

প্রশ্ন ২। প্রাথমিক অবস্থার সমীকরণ দেয়

T0=P0V0R.T_0=\frac{P_0V_0}{R}.

চাপ ধ্রুব থাকে, তাই Pf=P0P_f=P_0। তদুপরি, W=−P0ΔV=−RΔTW=-P_0\Delta V=-R\Delta T। তখন প্রথম সূত্র দেয়

ΔU=cVΔT=Q+W=Q−RΔT,\Delta U=c_V\Delta T=Q+W=Q-R\Delta T,

যেখান থেকে

ΔT=QcV+R.\Delta T=\frac{Q}{c_V+R}.

অতএব চূড়ান্ত অবস্থা

Pf=P0,Tf=T0+QcV+R,Vf=V0+RQP0(cV+R).P_f=P_0,\qquad T_f=T_0+\frac{Q}{c_V+R},\qquad V_f=V_0+\frac{RQ}{P_0(c_V+R)}.

সবশেষে,

W=−RQcV+R,ΔU=cVQcV+R.W=-\frac{RQ}{c_V+R}, \qquad \Delta U=\frac{c_VQ}{c_V+R}.

প্রশ্ন ৩। ধ্রুব চাপে Q=(cV+R)ΔTQ=(c_V+R)\Delta T হওয়ায়,

cP=cV+R.c_P=c_V+R.

এটিই মায়ারের সম্পর্ক।

প্রশ্ন ৪। একপরমাণুক গ্যাসের জন্য,

cP=52R≃20,8 J mol−1 K−1.c_P=\frac52R\simeq20{,}8\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.

পাওয়া যায়

T0≃301 K,ΔT≃48,1 K,Tf≃349 K,Vf=29,0 L.T_0\simeq301\ \mathrm{K},\qquad \Delta T\simeq48{,}1\ \mathrm{K},\qquad T_f\simeq349\ \mathrm{K},\qquad V_f=29{,}0\ \mathrm{L}.

সবশেষে,

W=−400 J,ΔU=600 J.W=-400\ \mathrm{J},\qquad \Delta U=600\ \mathrm{J}.