তাপগতিবিদ্যার সমাধানকৃত অনুশীলনী

পাঠ্য অনুশীলন: লাপ্লাসের সূত্রসমূহ

অনুশীলনী 18 · পাঠ 5 — আদর্শ গ্যাসে প্রয়োগ

পাঠ্য অনুশীলন
লাপ্লাসের সূত্র
রুদ্ধতাপীয় সূচক
গামা
রুদ্ধতাপীয় প্রসারণ
প্রথম সূত্রের অন্তরক রূপ

প্রশ্ন

ধ্রুব বলে অনুমিত রুদ্ধতাপীয় সূচক $γ = c_{P} / c_{V}$ -বিশিষ্ট $n$ মোল আদর্শ গ্যাস বিবেচনা করা যাক। তন্ত্রটিকে বদ্ধ বলে ধরা হয়। মায়ারের সম্পর্ক $c_{P} - c_{V} = R$ স্বীকার করা হলো ( $c_{P}$ আবিষ্কার-সংক্রান্ত অনুশীলনটি দেখুন)।

দেখান যে $c_{V} = \frac{R}{γ - 1}, c_{P} = \frac{γ R}{γ - 1} .$
গ্যাসটি এমন একটি অর্ধ-স্থিতিশীল রুদ্ধতাপীয় রূপান্তরের মধ্য দিয়ে যায়, যার জন্য $P_{ext} = P$ ধরা হয়। প্রথম সূত্রের অন্তরক রূপ থেকে শুরু করে দেখান যে $\frac{d T}{T} + (γ - 1) \frac{d V}{V} = 0,$ তারপর এ থেকে দেখান যে রূপান্তরটির পথে $T V^{γ - 1} = ধ্রুবক$ ।
এ থেকে লাপ্লাসের সূত্রের অন্য দুটি রূপ নির্ণয় করুন: $P V^{γ} = ধ্রুবক$ এবং $T^{γ} P^{1 - γ} = ধ্রুবক$ ।
এমন একটি প্রসারণে একপরমাণুক গ্যাসের ( $γ = 5/3$ ) আয়তন দ্বিগুণ হয়; $n = 1$ mol এবং প্রাথমিক তাপমাত্রা $T_{i} = 300$ K। $T_{f}$ , তারপর $Δ T$ ও $W$ নির্ণয় করুন এবং $Δ T$ ও $W$ -এর চিহ্ন ব্যাখ্যা করুন।
ক্ল্যাপেরন $(P, V)$ লেখচিত্রে একই বিন্দুতে এমন একটি রুদ্ধতাপীয় রেখার ঢাল ও একটি সমতাপ রেখার ঢাল তুলনা করুন।

ইঙ্গিত

প্রশ্ন ২-এর জন্য:

d U = n c_{V} d T

এবং

δ W = - P d V

, যেখানে

P = n R T / V

; তারপর চলকগুলি পৃথক করুন। প্রশ্ন ৫-এর জন্য

P V^{γ} = ধ্রুবক

ও

P V = ধ্রুবক

-কে অন্তরিত করুন।

বিস্তারিত সমাধান

সমাধান

প্রশ্ন ১।

c_{P} = γ c_{V}

এবং

c_{P} - c_{V} = R

থেকে

c_{V} (γ - 1) = R

পাওয়া যায়; সেখান থেকেই সূত্র দুটি মেলে। প্রশ্ন ২। রূপান্তরটি রুদ্ধতাপীয়:

δ Q = 0

, অতএব

d U = δ W

, অর্থাৎ

n c_{V} d T = - P d V = - \frac{n R T}{V} d V

।

c_{V} = R / (γ - 1)

ব্যবহার করলে:

\frac{d T}{T} = - (γ - 1) \frac{d V}{V} .

সমাকলন করে পাই: $ln T + (γ - 1) ln V = ধ্রুবক$ , অর্থাৎ $T V^{γ - 1} = ধ্রুবক$ ।

প্রশ্ন ৩।

T = P V / (n R)

প্রতিস্থাপন করলে

P V^{γ} = ধ্রুবক

পাওয়া যায়, কারণ

n

ধ্রুব।

V = n R T / P

প্রতিস্থাপন করলে

T (\frac{T}{P})^{γ - 1} = ধ্রুবক

, এবং তাই

T^{γ} P^{1 - γ} = ধ্রুবক

। প্রশ্ন ৪। লাপ্লাসের সূত্র

T V^{γ - 1} = ধ্রুবক

ব্যবহার করাই সবচেয়ে সহজ। এটি দেয়:

T_{i} V_{i}^{γ - 1} = T_{f} V_{f}^{γ - 1}

, অর্থাৎ

T_{f} = T_{i} 2^{- (γ - 1)} = 300 \times 2^{- 2/3} \approx 189

K। ভুল এড়াতে এই হিসাবে তাপমাত্রা অবশ্যই কেলভিনে নিতে হবে! এ থেকে

Δ T = T_{f} - T_{i} \approx - 111

K। কাজের ক্ষেত্রে, যেহেতু

Q = 0

W = Δ U = \frac{3}{2} R Δ T \approx \frac{3}{2} \times 8, 314 \times (- 111) \approx - 1, 4 kJ .

$W < 0$ : প্রসারণের সময় গ্যাস বাইরের দিকে কাজ প্রদান করে। কোনো তাপের উৎস থেকে শক্তি নিতে না পারায় ( $Q = 0$ ), এটি নিজের অভ্যন্তরীণ শক্তি ব্যবহার করে; তাই শীতলীকরণ ঘটে, $Δ T < 0$ ।

প্রশ্ন ৫।

P V = ধ্রুবক

-কে অন্তরিত করলে:

(\frac{d P}{d V})_{isoT} = - \frac{P}{V}

।

P V^{γ} = ধ্রুবক

-কে অন্তরিত করলে:

(\frac{d P}{d V})_{adiab} = - γ \frac{P}{V}

। রুদ্ধতাপীয় রেখাটি সমতাপ রেখার তুলনায়

γ

গুণ বেশি খাড়া: তাপ অপসারণ না করে সংকুচিত করলে চাপ দ্রুত বাড়ে, কারণ তাপমাত্রাও বৃদ্ধি পায়।