পাঠ্য অনুশীলন: লাপ্লাসের সূত্রসমূহ

প্রশ্ন ২। রূপান্তরটি রুদ্ধতাপীয়: $\delta Q = 0$, অতএব $\mathrm{d}U = \delta W$, অর্থাৎ $n c_V\,\mathrm{d}T = -P\,\mathrm{d}V = -\dfrac{nRT}{V}\mathrm{d}V$। $c_V = R/(\gamma-1)$ ব্যবহার করলে:

সমাকলন করে পাই: $\ln T + (\gamma-1)\ln V = \text{ধ্রুবক}$, অর্থাৎ $TV^{\gamma-1} = \text{ধ্রুবক}$।

প্রশ্ন ৩। $T = PV/(nR)$ প্রতিস্থাপন করলে $PV^\gamma = \text{ধ্রুবক}$ পাওয়া যায়, কারণ $n$ ধ্রুব। $V = nRT/P$ প্রতিস্থাপন করলে $T \left(\frac{T}{P}\right)^{\gamma-1} = \text{ধ্রুবক}$, এবং তাই $T^\gamma P^{1-\gamma} = \text{ধ্রুবক}$।

প্রশ্ন ৪। লাপ্লাসের সূত্র $T V^{\gamma - 1} = \text{ধ্রুবক}$ ব্যবহার করাই সবচেয়ে সহজ। এটি দেয়: $T_i V_i^{\gamma - 1} = T_f V_f^{\gamma - 1}$, অর্থাৎ $T_f = T_i\,2^{-(\gamma-1)} = 300 \times 2^{-2/3} \approx 189$ K। ভুল এড়াতে এই হিসাবে তাপমাত্রা অবশ্যই কেলভিনে নিতে হবে! এ থেকে $\Delta T = T_f-T_i \approx -111$ K। কাজের ক্ষেত্রে, যেহেতু $Q = 0$:

$W < 0$: প্রসারণের সময় গ্যাস বাইরের দিকে কাজ প্রদান করে। কোনো তাপের উৎস থেকে শক্তি নিতে না পারায় ($Q=0$), এটি নিজের অভ্যন্তরীণ শক্তি ব্যবহার করে; তাই শীতলীকরণ ঘটে, $\Delta T < 0$।

প্রশ্ন ৫। $PV = \text{ধ্রুবক}$-কে অন্তরিত করলে: $\left(\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}V}\right)_{\text{isoT}} = -\dfrac{P}{V}$। $PV^\gamma = \text{ধ্রুবক}$-কে অন্তরিত করলে: $\left(\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}V}\right)_{\text{adiab}} = -\gamma\dfrac{P}{V}$। রুদ্ধতাপীয় রেখাটি সমতাপ রেখার তুলনায় $\gamma$ গুণ বেশি খাড়া: তাপ অপসারণ না করে সংকুচিত করলে চাপ দ্রুত বাড়ে, কারণ তাপমাত্রাও বৃদ্ধি পায়।