আয়তাকার শীতলীকরণ চক্র?

প্রশ্ন ১। $A$, $B$, $C$ ও $D$ বিন্দুগুলি যথাক্রমে নিচে বাঁ দিকে, নিচে ডান দিকে, উপরে ডান দিকে ও উপরে বাঁ দিকে অবস্থিত। $A\to B$ ও $C\to D$ শাখা দুটি সমচাপ; $B\to C$ ও $D\to A$ শাখা দুটি সমআয়তন। $A\to B\to C\to D\to A$ পথটি ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে অতিক্রান্ত হয়।

প্রশ্ন ২। গ্যাসের গৃহীত কাজ

$$W=-\int P_{\mathrm{ext}}\mathrm{d}V.$$

$B\to C$ ও $D\to A$ সমআয়তন শাখায় এটি শূন্য। দুটি সমচাপ শাখায়,

$$W_{AB}=-P_1(V_2-V_1)=-P_1\Delta V,W_{CD}=-P_2(V_1-V_2)=P_2\Delta V.$$

অতএব,

$$\boxed{W_{\mathrm{cycle}}=(-P_1+P_2)\Delta V=\Delta P\Delta V>0}$$

এই মানটিই ক্ল্যাপেরন লেখচিত্রে আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল।

প্রশ্ন ৩। একপরমাণুক আদর্শ গ্যাসের জন্য,

$$\Delta U=n{c}_V\Delta T=\frac{3}{2}nR\Delta T.$$

সমচাপ রূপান্তরে অবস্থার সমীকরণ দেয় $nR\Delta T=P\Delta V_{\mathrm{branch}}$। অতএব,

$$\Delta U_{AB}=\frac{3}{2}{P}_1\Delta V,\Delta U_{CD}=-\frac{3}{2}{P}_2\Delta V.$$

সমআয়তন রূপান্তরে এটি দেয় $nR\Delta T=V\Delta P_{\mathrm{branch}}$, তাই

$$\Delta U_{BC}=\frac{3}{2}{V}_2\Delta P,\Delta U_{DA}=-\frac{3}{2}{V}_1\Delta P.$$

সবশেষে, প্রথম সূত্র $\Delta U=Q+W$, অর্থাৎ $Q=\Delta U-W$, থেকে সারসংক্ষেপ সারণিটি পাওয়া যায়:

$$\begin{array}{r}\begin{array}{cccc}\text{শাখা}& W& \Delta U& Q=\Delta U-W\\ A\to B& -P_1\Delta V& \frac{3}{2}{P}_1\Delta V& \frac{5}{2}{P}_1\Delta V\\ B\to C& 0& \frac{3}{2}{V}_2\Delta P& \frac{3}{2}{V}_2\Delta P\\ C\to D& P_2\Delta V& -\frac{3}{2}{P}_2\Delta V& -\frac{5}{2}{P}_2\Delta V\\ D\to A& 0& -\frac{3}{2}{V}_1\Delta P& -\frac{3}{2}{V}_1\Delta P\end{array}\end{array}$$

প্রশ্ন ৪। যেকোনো অবস্থা অপেক্ষকের মতোই, একটি চক্রে অভ্যন্তরীণ শক্তির পরিবর্তনগুলির যোগফল শূন্য। তাই প্রথম সূত্র দেয়

$$Q_{\mathrm{cycle}}=-W_{\mathrm{cycle}}=-\Delta P\Delta V<0.$$

সামগ্রিকভাবে গ্যাস কাজ গ্রহণ করে: চক্রটি কাজ-গ্রাহী। সারণি অনুযায়ী গ্যাস $A\to B$ ও $B\to C$ শাখায় তাপ গ্রহণ করে এবং $C\to D$ ও $D\to A$ শাখায় তাপ ছেড়ে দেয়:

$$Q_{\mathrm{in}}=Q_{AB}+Q_{BC}=\frac{5}{2}{P}_1\Delta V+\frac{3}{2}{V}_2\Delta P,Q_{\mathrm{out}}=-(Q_{CD}+Q_{DA})=\frac{5}{2}{P}_2\Delta V+\frac{3}{2}{V}_1\Delta P.$$

বিয়োগ করে, $P_2-P_1=\Delta P$ ও $V_2-V_1=\Delta V$ ব্যবহার করলে,

$$Q_{\mathrm{out}}-Q_{\mathrm{in}}=\frac{5}{2}\Delta P\Delta V-\frac{3}{2}\Delta P\Delta V=\Delta P\Delta V=W_{\mathrm{cycle}},$$

অতএব

$$\boxed{Q_{\mathrm{out}}=Q_{\mathrm{in}}+W_{\mathrm{cycle}}}$$

একটি চক্রে গ্যাস গৃহীত সমস্ত শক্তি, তাপ ও কাজ উভয়ই, তাপ হিসেবে ছেড়ে দেয়।

প্রশ্ন ৫। অবস্থার সমীকরণ প্রতিটি শীর্ষবিন্দুতে $T=PV/(nR)$ দেয়:

$$T_A=\frac{P_1{V}_1}{nR},T_B=\frac{P_1{V}_2}{nR},T_C=\frac{P_2{V}_2}{nR},T_D=\frac{P_2{V}_1}{nR}.$$

যেহেতু $P_1<P_2$ এবং $V_1<V_2$, গুণফল $PV$ বিন্দু $A$-তে ক্ষুদ্রতম ও $C$-তে বৃহত্তম: $T_A$ চক্রের সর্বনিম্ন তাপমাত্রা, $T_C$ সর্বোচ্চ, এবং $T_B$ ও $T_D$ মধ্যবর্তী।

সমচাপ শাখা $A\to B$-তে স্থির চাপে $V$ বাড়ে, তাই $T$ বেড়ে $T_A$ থেকে $T_B$ হয়। সমআয়তন শাখা $B\to C$-তে স্থির আয়তনে $P$ বাড়ে, তাই $T$ বেড়ে $T_B$ থেকে $T_C$ হয়। একইভাবে $C\to D$-তে $T$ কমে $T_C$ থেকে $T_D$ হয়, তারপর $D\to A$-তে $T_D$ থেকে $T_A$ হয়। অতএব গ্যাস তাপ গ্রহণ করে যখন তার তাপমাত্রা সর্বনিম্ন মান $T_A$ থেকে সর্বোচ্চ মান $T_C$ পর্যন্ত ওঠে, এবং তাপ ছেড়ে দেয় যখন তা আবার $T_C$ থেকে $T_A$-তে নামে। প্রশ্ন ৬। তাপ গ্রহণ করতে হলে গ্যাসকে এমন উৎসের সংস্পর্শে থাকতে হবে যেগুলি অন্তত তার সমান উষ্ণ; কোয়াসি-স্থিতিশীল সীমায় এদের তাপমাত্রা গ্যাসের তাপমাত্রাকে অনুসরণ করে। তাই যে উৎসগুলি গ্যাসকে তাপ দেয়, তাদের তাপমাত্রা $T_A$ থেকে চক্রের সর্বোচ্চ তাপমাত্রা $T_C$ পর্যন্ত বিস্তৃত। বিপরীতে, যে উৎসগুলি গ্যাসের তাপ নেয়, তাদের তাপমাত্রা $T_C$ থেকে চক্রের সর্বনিম্ন তাপমাত্রা $T_A$ পর্যন্ত বিস্তৃত। অর্থাৎ আলাদা শীতল দিক ও উষ্ণ দিক বলে কিছু নেই: গ্যাস খুব উষ্ণ উৎস থেকে তাপ নেয় এবং খুব শীতল উৎসকে তাপ দেয়। এই চক্র রেফ্রিজারেটর হিসেবে কাজ করতে পারে না, কারণ রেফ্রিজারেটরকে সর্বনিম্ন তাপমাত্রায় তাপ নিতে এবং সর্বোচ্চ তাপমাত্রায় ছেড়ে দিতে হয়। এটি কাজ গ্রহণ করে এবং পুরোটাই তাপ হিসেবে ফিরিয়ে দেয় ($Q_{\mathrm{cycle}}=-W_{\mathrm{cycle}}$), সেই সঙ্গে বিভিন্ন তাপমাত্রার উৎসের মধ্যে তাপ পুনর্বণ্টন করে। বিপরীতে, রেফ্রিজারেটরকে তার চক্রের সবচেয়ে শীতল অংশে তাপ শোষণ করতে এবং সবচেয়ে উষ্ণ অংশে তাপ ছেড়ে দিতে হয়। পাঠ ৬-এ আলোচিত, বিপরীত দিকে চালানো কার্নো চক্রে ঠিক তাই ঘটে: গ্যাস শীতল সমোষ্ণ রেখা বরাবর তাপ গ্রহণ করে এবং উষ্ণ সমোষ্ণ রেখা বরাবর তাপ ছেড়ে দেয়। তাই কোনো চক্র কাজ-গ্রাহী হলেই তা শীতলীকরণ চক্র হয় না। প্রশ্ন ৭। এখানে $\Delta P=2,0\times 10^5$ Pa এবং $\Delta V=1,0\times 10^{-2}$ m${}^3$:

$$\begin{array}{r}\begin{array}{crrr}\text{শাখা}& W(\mathrm{J})& \Delta U(\mathrm{J})& Q(\mathrm{J})\\ A\to B& -1000& 1500& 2500\\ B\to C& 0& 4500& 4500\\ C\to D& 3000& -4500& -7500\\ D\to A& 0& -1500& -1500\end{array}\end{array}$$

এভাবে $W_{\mathrm{cycle}}=+2000\mathrm{J}$, $Q_{\mathrm{cycle}}=-2000\mathrm{J}$ এবং $\Delta U_{\mathrm{cycle}}=0$। গৃহীত তাপ $Q_{\mathrm{in}}=2500+4500=7000\mathrm{J}$ এবং ছেড়ে দেওয়া তাপ $Q_{\mathrm{out}}=7500+1500=9000\mathrm{J}=Q_{\mathrm{in}}+W_{\mathrm{cycle}}$। তাপমাত্রার অনুপাতগুলি $n$-এর ওপর নির্ভর করে না:

$$\frac{T_B}{T_A}=\frac{V_2}{V_1}=3,\frac{T_C}{T_A}=\frac{P_2{V}_2}{P_1{V}_1}=9,\frac{T_D}{T_A}=\frac{P_2}{P_1}=3.$$

চক্রের সর্বনিম্ন তাপমাত্রা যদি কোনো শীতল প্রকোষ্ঠের তাপমাত্রা হত, যেমন $T_A=270\mathrm{K}$, তবে গ্যাসকে $T_C=9T_A\simeq 2400\mathrm{K}$ পর্যন্ত তাপমাত্রার উৎস থেকে তাপ নিতে হত। স্পষ্টতই এমন চক্র প্রকোষ্ঠটিকে শীতল করে না।