আয়তাকার শীতলীকরণ চক্র

প্রশ্ন ১। $A$, $B$, $C$ ও $D$ বিন্দুগুলি যথাক্রমে নিচে বাঁ দিকে, নিচে ডান দিকে, উপরে ডান দিকে ও উপরে বাঁ দিকে অবস্থিত। $A\to B$ ও $C\to D$ শাখা দুটি সমচাপ; $B\to C$ ও $D\to A$ শাখা দুটি সমআয়তন। $A\to B\to C\to D\to A$ পথটি ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে অতিক্রান্ত হয়।

প্রশ্ন ২। গ্যাসের গৃহীত কাজ

$$W=-\int P_{\mathrm{ext}}\,\mathrm dV.$$

$B\to C$ ও $D\to A$ সমআয়তন শাখায় এটি শূন্য। দুটি সমচাপ শাখায়,

$$W_{AB}=-P_1(V_2-V_1)=-P_1\Delta V, \qquad W_{CD}=-P_2(V_1-V_2)=P_2\Delta V.$$

অতএব,

$$\boxed{W_{\mathrm{cycle}} =(-P_1+P_2)\Delta V =\Delta P\,\Delta V>0}.$$

এই মানটিই ক্ল্যাপেরন লেখচিত্রে আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল।

প্রশ্ন ৩। একপরমাণুক আদর্শ গ্যাসের জন্য,

$$\Delta U=nc_V\Delta T=\frac32nR\Delta T.$$

সমচাপ রূপান্তরে অবস্থার সমীকরণ দেয় $nR\Delta T=P\Delta V_{\mathrm{branche}}$। অতএব,

$$\Delta U_{AB}=\frac32P_1\Delta V, \qquad \Delta U_{CD}=-\frac32P_2\Delta V.$$

সমআয়তন রূপান্তরে এটি দেয় $nR\Delta T=V\Delta P_{\mathrm{branche}}$, তাই

$$\Delta U_{BC}=\frac32V_2\Delta P, \qquad \Delta U_{DA}=-\frac32V_1\Delta P.$$

সবশেষে, প্রথম সূত্র $\Delta U=Q+W$, অর্থাৎ $Q=\Delta U-W$, থেকে সারসংক্ষেপ সারণিটি পাওয়া যায়:

$$\begin{aligned} \begin{array}{c|c|c|c} \text{শাখা} & W & \Delta U & Q=\Delta U-W\\ \hline A\to B & -P_1\Delta V & \frac32P_1\Delta V & \frac52P_1\Delta V\\[2pt] B\to C & 0 & \frac32V_2\Delta P & \frac32V_2\Delta P\\[2pt] C\to D & P_2\Delta V & -\frac32P_2\Delta V & -\frac52P_2\Delta V\\[2pt] D\to A & 0 & -\frac32V_1\Delta P & -\frac32V_1\Delta P \end{array} \end{aligned}$$

প্রশ্ন ৪। অভ্যন্তরীণ শক্তির পরিবর্তনগুলির যোগফল শূন্য। তাই প্রথম সূত্র অনুযায়ী

$$Q_{\mathrm{cycle}}=-W_{\mathrm{cycle}}=-\Delta P\,\Delta V<0.$$

গ্যাস সামগ্রিকভাবে কাজ গ্রহণ করে: চক্রটি কাজ-গ্রাহী। $A\to B$ ও $B\to C$ শাখায় এটি তাপ গ্রহণ করে। এই দুই শাখায় এটি সংস্পর্শে থাকা শীতল তাপাধার থেকে তাপ অপসারণ করে: অতএব গ্যাসীয় কার্যকরী পদার্থটি নয়, বরং এই বাহ্যিক তাপাধারগুলিকেই (যেমন রেফ্রিজারেটরের প্রকোষ্ঠ ও ভিতরের খাদ্য) ঠান্ডা করা হয়।

$C\to D$ ও $D\to A$ শাখায় গ্যাস উল্টোভাবে উষ্ণ তাপাধারে, যেমন ঘরের বাতাসে, তাপ ছেড়ে দেয়। এই তাপাধারগুলির গৃহীত মোট তাপকে $Q_{\mathrm{chaud}}>0$ লিখলে,

$$Q_{\mathrm{chaud}} =-(Q_{CD}+Q_{DA}) =\frac52P_2\Delta V+\frac32V_1\Delta P.$$

এভাবে চক্রটি তার গৃহীত কাজের সাহায্যে শীতল তাপাধার থেকে উষ্ণ তাপাধারে তাপ স্থানান্তর করে।

প্রশ্ন ৫। গ্যাসের অপসারিত তাপ

$$Q_f =Q_{AB}+Q_{BC} =\frac52P_1\Delta V+\frac32V_2\Delta P.$$

এ থেকে পাই

$$\boxed{ \mathrm{COP} =\frac{\frac52P_1\Delta V+\frac32V_2\Delta P} {\Delta P\,\Delta V}. }$$

প্রশ্ন ৬। বিনিয়োগ করা কাজের তুলনায় অর্জিত হিমায়ন সুবিধা COP দিয়ে মাপা হয়: COP-এর মান $k$ হলে সরবরাহ করা প্রতি জুল কাজের সাহায্যে শীতল তাপাধার থেকে $k$ জুল তাপ অপসারণ করা যায়।

তাপ ইঞ্জিনের দক্ষতার বিপরীতে COP কোনো গৃহীত শক্তির কাজে রূপান্তরিত ভগ্নাংশ নয়। গ্যাস $W_{\mathrm{in}}$ কাজ এবং শীতল তাপাধার থেকে অপসারিত $Q_f$ তাপ উভয়ই গ্রহণ করে, তারপর তাদের যোগফল উষ্ণ তাপাধারে বর্জন করে:

$$\boxed{Q_{\mathrm{chaud}}=Q_f+W_{\mathrm{in}}}.$$

সুতরাং $Q_f$-কে $W_{\mathrm{in}}$-এর চেয়ে ছোট হতে হবে এমন কোনো কারণ নেই, এবং শক্তির সংরক্ষণ লঙ্ঘন না করেই COP অনায়াসে 1-এর বেশি হতে পারে।

প্রশ্ন ৭। এখানে $\Delta P=2{,}0\times10^5$ Pa এবং $\Delta V=1{,}0\times10^{-2}$ m$^3$:

$$\begin{aligned} \begin{array}{c|r|r|r} \text{শাখা} & W\ (\mathrm J) & \Delta U\ (\mathrm J) & Q\ (\mathrm J)\\ \hline A\to B & -1000 & 1500 & 2500\\ B\to C & 0 & 4500 & 4500\\ C\to D & 3000 & -4500 & -7500\\ D\to A & 0 & -1500 & -1500 \end{array} \end{aligned}$$

অতএব $W_{\mathrm{cycle}}=+2000$ J, $Q_{\mathrm{cycle}}=-2000$ J এবং $\Delta U_{\mathrm{cycle}}=0$। অপসারিত তাপের মান

$$Q_f=2500+4500=7000\ \mathrm{J},$$

আর উষ্ণ তাপাধারে ছেড়ে দেওয়া তাপ

$$Q_{\mathrm{chaud}}=7500+1500=9000\ \mathrm{J} =Q_f+W_{\mathrm{cycle}}.$$

অতএব হিমায়ন কার্যক্ষমতা গুণাঙ্ক

$$\mathrm{COP}=\frac{7000}{2000}=3{,}5.$$